Fórmula de Herón o como calcular áreas facilmente.

 

Normalmente para calcular el área de un triángulo se calcula mediante la fórmula conocida de la mitad de la base por la altura. Sin embargo en la práctica sería más fácil si no tuviéramos que elegir una base y trazar una perpendicular (altura) para calcular el área y pudiéramos hacerlo solo conociendo la medida de los tres lados. Esa es la ventaja que tiene la fórmula de Herón que para hacer cualquier medida  del área de un campo o una superficie grande o pequeña, triangular, nos basta con conocer sus tres lados. 

Triangulación de polígonos

Además sabiendo que  cualquier polígono simple  puede ser partido en triángulos. Esta subdivisión y la aplicación de la fórmula  herodiana para el área triangular, facilita el cálculo del área de la región plana encerrada por cualquier polígono simple de lados rectos  con solo medir longitudes, allí radica su importancia de la fórmula de Herón.

Así pues la  la fórmula de Herón, cuya invención se atribuye al matemático griego Herón de Alejandría  da el área del triángulo conociendo las longitudes de sus tres lados a, b y c y donde s es el semiperímetro del triángulo.

A´rea=s(s−a)(s−b)(s−c)

La fórmula de Herón ofrece varias ventajas en el cálculo de áreas de triángulos

Simplicidad: Es fácil de entender y aplicar, incluso con conocimientos matemáticos básicos como pueden ser nuestros alumnos del aula.

Eficiencia: A menudo converge rápidamente hacia la respuesta correcta lo que lo hace útil para cálculos manuales.

Versatilidad: Puede ser utilizada para encontrar áreas de cualquier triángulo, siempre que se conozca las longitudes de los lados.

Aplicaciones prácticas: Se utiliza en diversas disciplinas, como la construcción, la topografía y la ingeniería, donde ser requieren calcular áreas de terrenos en forma triangular o en cualquier forma irregular con lados rectos, pues como ya hemos dicho cualquier polígono se puede triangular.

 Hablamos, para acabar de Herón de Alejandría, que  fue un ingeniero, físico y matemático (10-75, Alejandría) considerado un personaje clave de la ciencia antigua. Se sabe muy poco de su vida pero vivió en el siglo I d.C. cuando Alejandría ya estaba un poco en decadencia.

Se supone que ejerció durante años como profesor del Museo de Alejandría. Sabía  matemáticas, física y astronomía pero sobre todo era lo que hoy en día llamaríamos un ingeniero. Desplegó una actitud casi moderna para la mecánica, ya que descubrió de forma arcaica la ley de acción y reacción. Describió muchas máquinas sencillas y generalizó el principio de Arquímedes. 

Eolípila

Algunos de sus dispositivos representan la primera investigación formal sobre cibernética. Fue el inventor de la eolípila, una esfera que giraba con vapor que fue  una máquina precursora de la máquina de vapor que se inventaría en el siglo XVIII.

También se le atribuye la invención del primer instrumento musical eólico, una forma de órgano que utilizaba la fuerza del viento para generar sonidos. Además, fue el inventor de la máquina expendedora más antigua que permitía dispensar agua bendita. Y también inventó muchos mecanismos para el teatro griego de marionetas como el teatro automático de Garza de Alejandría realizado con sistemas de cuerdas, nudos y mecanismos sencillo accionados por una rueda dentada cilíndrica giratoria. En matemáticas Herón ideó, también,  una técnica para calcular raíces cuadradas mediante iteraciones.

Su obra principal es La Neumática, donde trata sobre el uso del aire, agua y el vapor. Otras tratan sobre las catapultas, sobre la propagación y reflexión de la luz y  Mecánica que trata sobre la construcción de mecanismos y máquinas sencillas.

PARA LOS MÁS CURIOSOS

Historia de Heron y sus inventos en el enlace: 

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Demostración que la fórmula de Heron es equivalente a la conocida área de cálculo de área de un triángulo en el enlace:

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María Gaetana Agnesi: Religiosa, matemática y ¿bruja?

 

María Gaetana Agnesi nació en Milán, el 16 de mayo de 1718, y procedía de una familia pudiente e interesada en las artes y las ciencias. Su padre, Pietro Agnesi, fue profesor de matemáticas en la Universidad de Bolonia. Su madre, Anna Fortunata Brivio, era de  la familia aristocrática Brivio.

La joven María perdió a su madre a la edad de trece años, por lo que  su padre llegó a casarse dos veces más, y extendió la familia a 21 hijos.  María fue una niña muy brillante: a los cinco años hablaba francés perfectamente, como su italiano natal. Unos pocos años más tarde, dominaba el latín, el griego, el hebreo y el español, y ya desde una temprana edad, se preocupó por los derechos de la mujer y su acceso a la educación.

El ambiente familiar influyó muy positivamente en que pudiera explotar todo su potencial intelectual. De hecho, una de sus hermanas, Maria Teresa Agnesi Pinottini, fue una famosa compositora que deleitaba a las visitas tocando el clavicémbalo.

María era una chica retraída y muy devota, deseaba entrar en un convento pero su padre no se lo permitió. Cuando la madre de María muere durante el parto de su octavo hijo, ella misma se hizo cargo de la casa y de sus hermanos, apartándose de la vida pública. Sus deseos se redujeron a poder ir a misa siempre que quisiera, vestir sencilla y humildemente, y no tener que asistir a bailes y fiestas. Probablemente esta vida austera fuera el mejor derrotero para María, ya que su padre pecaba de un afán exhibicionista con sus dos talentosas hijas, en un salón de los más concurridos por los intelectuales de toda Italia.

A los doce años, María había sufrió una enfermedad que los médicos no fueron capaces de diagnosticar. Sus convulsiones se achacaron al estudio excesivo, por lo que se le indicó que se divertirse más y pasearse a caballo. Sin embargo, estos remedios no resolvieron el problema y se le pidió que fuera moderada en todas sus actividades.

Portada de la  primera edición de las Instituciones Analíticas

María tuvo una excelente formación matemática; por ejemplo, a los catorce años ya estudiaba balística y geometría. Tuvo tutores que la iniciaron en estos estudios matemáticos, como el monje Ramiro Rampinelli, que había enseñado matemáticas en Roma y en Bolonia, y fue quién la puso en contacto con los Ricatti. Su fama matemática se consolidó con su obra Instituzioni analítiche ad uso della gioventú italiana, publicada en Milán en 1748, y dedicada al análisis matemático. La obra fue editada por ella misma, y adquirió rápidamente notoriedad entre los matemáticos de la época, porque puede considerarse como el primer texto completo de Cálculo, incluyendo el cálculo diferencial y el cálculo integral. Es un gran trabajo con unas 1000 páginas repletas de ilustraciones y ejemplos.

Fue traducida a varios idiomas y utilizada para aprender matemáticas durante más de cincuenta años en muchos países de Europa.

Entre 1750 y 1752 consta que era catedrática de matemáticas en la Universidad de Bolonia, ciudad que en esa época pertenecía a los Estados Pontificios. El Papa escribió a Agnesi el 2 de septiembre de 1750: En tiempos pasados Bolonia ha tenido en puestos públicos a personas de vuestro sexo. Nos parece adecuado continuar con esa honorable tradición. Hemos decidido que se le adjudique la bien conocida cátedra de matemáticas…. 

¿La bruja de Agnesi?

Hoy en día, María Gaetana es también recordada por su curva “embrujada”, pero que no se trata de ningún hechizo, ni María era una bruja. La historia por la que la curva recibió este nombre surge de la mala traducción del término versiera, del latín vertere, que es un término naval, que identifica la cuerda o cabo que hace girar la vela. John Colson, el traductor inglés, la confundió con la palabra avversiera, que significa diablesa o bruja. La ecuación de su curva embrujada es la siguiente:

donde a es un parámetro (de hecho, el radio de la circunferencia inicial con la que se construye la curva). Para a = 1/2, resulta:

y esta es su representación gráfica:

La magia de esta curva es que aunque su contorno sea infinito, el área encerrada bajo la curva es finita y proporcional al área de un círculo; además, el volumen engendrado por la revolución de esta curva alrededor de su asíntota es cuatro veces su hipotético volumen.

La curva tiene interesantes aplicaciones en física y en estadística. Desde el punto de vista de la estadística, la distribución de Cauchy de una variable aleatoria se expresa como una curva de Agnesi. Así mismo, en la física, pueden explicarse fenómenos de resonancia atómica cuando incide radiación monocromática sobre un electrón. La intensidad de esta radiación dependerá de la longitud de onda con que incide esta luz, y la relación entre estos dos parámetros puede modelizarse mediante la curva bruja de Agnesi.

Su padre Pietro Agnesi muere en 1752, y a partir de ese momento, María se siente libre y abandona las matemáticas para atender a sus tendencias religiosas, dedicando mucho tiempo al estudio de la Teología, especialmente de la Patrística. De hecho, María se desprendió de gran parte de su fortuna en obras de caridad y ejerció, desde 1771, por designación del arzobispo Tozzobonelli, el cargo de directora del Hospicio Trivulzio de Milán donde se concentró en el cuidado de los menesterosos y enfermos, sobre todo mujeres mayores, y donde ella misma muere el 9 de enero de 1799.

Al final de su vida era famosa en toda Europa como una de las mujeres de ciencia más capaces del siglo XVIII. Un cráter de Venus lleva su nombre en su honor. En la Biblioteca Ambrosiana de Milán se guardan sus obras inéditas que ocupan veinticinco volúmenes.