Los números que se enamoran de su propia imagen. Números narcisistas.

 

Narciso de Michelangelo Merisi da Caravaggio (pintado entre 1597-99)

Dentro de los números curiosos, de los cuales, ya hemos visto algunos en otras entregas, hoy nos vamos a fijar en los números que se enamoran de su propia imagen, es decir, los números narcisistas.

Un número narcisista es aquel que es igual a la suma de sus dígitos elevados a la potencia de su número de cifras.

Por ejemplo, 371 es un número narcisista, ya que si elevamos sus cifras a 3, que es el número de cifras, nos sale el mismo número:

3³ + 7³ + 1³ = 27 + 343 + 1 = 371

También lo es, por ejemplo, 93084 pues elevadas sus cifras a 5 (número de cifras) nos da el mismo número

9⁵ + 3⁵ + 0⁵ + 8⁵ + 4⁵ = 59049 + 243 + 0 + 32768 + 1024 = 93084

 También lo son, todos los que vemos en la siguiente imagen. 

¿Por qué lo de llamar a estos números narcisistas? Su nombre tiene que ver con lo mucho que parecen «quererse a sí mismos. Para quien no lo sepa, el narcisismo es el amor que dirige un sujeto a sí mismo tomado como objeto, y alude al mito de Narciso.

Como ya se habrán imaginado el adjetivo guarda relación con el personaje de la mitología griega Narciso, un joven tan bello, tan bello, que todos los días iba a contemplar su propia belleza reflejada en el agua de un estanque, y tan fascinado quedaba de su propia visión que un día se inclinó tanto que terminó por caer y se ahogó. Dicen que en ese mismo lugar nació una flor, a la que llamaron narciso. En fin ya sabe cómo son los mitos clásicos.

Bueno pues parece ser que lo de narcisistas viene de ahí, de que hay números que se quieren mucho a sí mismos, ¿metáfora matemática?, una afirmación que ignoramos cuánto tendrá de cierto, pero tampoco lo es menos el hecho de que, como números, presentan unas singularidades matemáticas de lo más llamativas y bellas.

Son conocidos también como números de Armstrong, supuestamente por un tal Michael F. Armstrong del que no hay referencia científica fiable y quien pasa por ser su descubridor. Al parecer era un profesor de matemáticas de la Universidad de Rochester, al norte de Nueva York, quien durante una clase puso un ejercicio de este tipo de números a sus alumnos.

 Pero vamos a fijarnos en uno en concreto, el número narcisista 8.208. Este ha alcanzado una cierta fama por haber aparecido en la serie televisiva Los Simpson. Como puede leerse en el libro Los Simpson y las matemáticas del matemático y divulgador Simon Singh, la historia de ese y otros dos números que aparecen en un capítulo de la temporada 17 de esta serie es muy curiosa.

Dentro de la comunidad matemática es conocido que algunos de los guionistas y productores de la serie Los Simpson, así como de la serie Futurama, tienen estudios de matemáticas, y en general, de ciencias, lo que ha motivado que en ambas series aparezcan muchísimas referencias matemáticas. 

Imagen del episodio Marge, Homer y el deporte en pareja, en la que aparecen tres números curiosos, uno de ellos un número narcisista, 8.208

De hecho, solamente hay 88 números narcisistas (como fue demostrado por D. T. Winter, en 1985). Además, el mayor de ellos solamente tiene 39 cifras, es   115.132.219.018.763.992.565.095.597.973.971.522.401.

Y los demás  son los siguientes:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, 54748, 92727, 93084, 548834, 1741725, 4210818, 9800817, 9926315, 24678050, 24678051, 88593477, 146511208, 472335975, 534494836, 912985153, 4679307774, 32164049650, 32164049651, 40028394225, 42678290603, 44708635679, 49388550606, 82693916578, 94204591914, 28116440335967, 4338281769391370, 4338281769391371, 21897142587612075, 35641594208964132, 35875699062250035, 1517841543307505039, 3289582984443187032, 4498128791164624869, 4929273885928088826, 63105425988599693916, 128468643043731391252, 449177399146038697307, 21887696841122916288858, 27879694893054074471405, 27907865009977052567814, 28361281321319229463398, 35452590104031691935943, 174088005938065293023722, 188451485447897896036875, 239313664430041569350093, 1550475334214501539088894, 1553242162893771850669378, 3706907995955475988644380, 3706907995955475988644381, 4422095118095899619457938, 121204998563613372405438066, 121270696006801314328439376, 128851796696487777842012787, 174650464499531377631639254, 177265453171792792366489765, 14607640612971980372614873089, 19008174136254279995012734740, 19008174136254279995012734741, 23866716435523975980390369295, 1145037275765491025924292050346, 1927890457142960697580636236639, 2309092682616190307509695338915, 17333509997782249308725103962772, 186709961001538790100634132976990, 186709961001538790100634132976991, 1122763285329372541592822900204593, 12639369517103790328947807201478392, 12679937780272278566303885594196922, 1219167219625434121569735803609966019, 12815792078366059955099770545296129367, 115132219018763992565095597973971522400 y 115132219018763992565095597973971522401.

El matemático británico G. H. Hardy (1877 – 1947), en su libro Apología de un matemático, dice en referencia a estos números…

Se trata de hechos excepcionales, ideales para las columnas de acertijos y similares que aparecen en la sección de pasatiempos del periódico para entretener a los aficionados a las matemáticas, pero no hay nada en ellos que atraiga mucho a un matemático.

 Nosotros podemos añadir que para nuestros alumnos pueden ser curiosos y divertidos, a la vez que podemos reforzar el estudio de las potencias mientras los alumnos se entretienen.

PARA LOS MÁS CURIOSOS

En este video se nos explica lo que hemos visto en esta entrega.

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El tablero de ajedrez y los granos de trigo.

 Thabit ibn Qurrá (836- 901) fue un matemático árabe que tradujo al árabe del original, en griego, varias obras famosas de Apolonio, Arquímides, Euclides y Ptolomeo.

También escribió sobre la teoría de números y él fue el primer matemático en mencionar el famoso problema del ajedrez que hoy nos ocupa y que podemos encontrar también en el capítulo XVI del texto El Hombre que calculaba de  Malba Tahan y cuyo enlace señalamos al final de esta entrega.

Comenzamos:

Cuenta la leyenda que hace mucho tiempo reinaba en cierta parte de la India un rey llamado Sheram.En una de las batallas en las que participó su ejército perdió a su hijo, y eso le dejó profundamente consternado. Nada de lo que le ofrecían sus súbditos lograba alegrarle.

Un buen día un tal Sissa se presentó en su corte y pidió audiencia. El rey la aceptó y Sissa le presentó un juego que, aseguró, conseguiría divertirle y alegrarle de nuevo: el ajedrez. Después de explicarle las reglas y entregarle un tablero con sus piezas el rey comenzó a jugar y se sintió maravillado: jugó y jugó y su pena desapareció en gran parte. Sissa lo había conseguido. Sheram, agradecido por tan preciado regalo, le dijo a Sissa que como recompensa pidiera lo que deseara.

 Sissa, quiero recompensarte dignamente por el ingenioso juego que has inventado, dijo el rey. El sabio contestó con una inclinación. Soy bastante rico como para poder cumplir tu deseo más elevado —continuó diciendo el rey—. Di la recompensa que te satisfaga y la recibirás. Sissa continuó callado. – No seas tímido —le animó el rey—. Expresa tu deseo. No escatimaré nada para satisfacerlo. – Grande es tu magnanimidad, soberano. Pero concédeme un corto plazo para meditar la respuesta. Mañana, tras maduras reflexiones, te comunicaré mi petición.

Cuando al día siguiente Sissa se presentó de nuevo ante el trono, dejó maravillado al rey con su petición, sin precedente por su modestia.

– Soberano —dijo Sissa—, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero del ajedrez. – ¿Un simple grano de trigo? —contestó admirado el rey.
– Sí, soberano. Por la segunda casilla, ordena que me den dos granos; por la tercera, 4;por la cuarta, 8; por la quinta, 16; por la sexta, 32… – Basta —le interrumpió irritado el rey—. Recibirás el trigo correspondiente a las 64 casillas del tablero de acuerdo con tu deseo: por cada casilla doble cantidad que por la precedente.

Pero has de saber que tu petición es indigna de mi generosidad. Al pedirme tan mísera recompensa, menosprecias, irreverente, mi benevolencia. En verdad que, como sabio que eres, deberías haber dado mayor prueba de respeto ante la bondad de tu soberano. Retírate. Mis servidores te sacarán un saco con el trigo que solicitas.
Sissa sonrió, abandonó la sala y quedó esperando a la puerta del palacio.

Durante la comida, el rey se acordó del inventor del ajedrez y envió a que se enteraran de si habían ya entregado al irreflexivo Sissa su mezquina recompensa.

– Soberano, están cumpliendo tu orden —fue la respuesta—. Los matemáticos de la corte calculan el número de granos que le corresponde. El rey frunció el ceño. No estaba acostumbrado a que tardaran tanto en cumplir sus órdenes.

Por la noche, al retirarse a descansar, el rey preguntó de nuevo cuánto tiempo hacía que Sissa había abandonado el palacio con su saco de trigo.– Soberano —le contestaron—, tus matemáticos trabajan sin descanso y esperan terminar los cálculos al amanecer.
– ¿Por qué va tan despacio este asunto? —gritó iracundo el rey—. Que mañana, antes de que me despierte, hayan entregado a Sissa hasta el último grano de trigo. No acostumbro a dar dos veces una misma orden.

Por la mañana comunicaron al rey que el matemático mayor de la corte solicitaba audiencia para presentarle un informe muy importante. El rey mandó que le hicieran entrar.
– Antes de comenzar tu informe —le dijo Sheram—, quiero saber si se ha entregado por fin a Sissa la mísera recompensa que ha solicitado. – Precisamente por eso me he atrevido a presentarme tan temprano —contestó el anciano—. Hemos calculado escrupulosamente la cantidad total de granos que desea recibir Sissa. Resulta una cifra tan enorme… – Sea cual fuere su magnitud —le interrumpió con altivez el rey— mis graneros no empobrecerán. He prometido darle esa recompensa, y por lo tanto, hay que entregársela.
– Soberano, no depende de tu voluntad el cumplir semejante deseo. En todos tus graneros no existe la cantidad de trigo que exige Sissa. Tampoco existe en los graneros de todo el reino. Hasta los graneros del mundo entero son insuficientes. Si deseas entregar sin falta la recompensa prometida, ordena que todos los reinos de la Tierra se conviertan en labrantíos, manda desecar los mares y océanos, ordena fundir el hielo y la nieve que cubren los lejanos desiertos del Norte. Que todo el espacio sea totalmente sembrado de trigo, y ordena que toda la cosecha obtenida en estos campos sea entregada a Sissa. Sólo entonces recibirá su recompensa.

El rey escuchaba lleno de asombro las palabras del anciano sabio.
– Dime cuál es esa cifra tan monstruosa —dijo reflexionando.– ¡Oh, soberano! Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince.

La solución de «fuerza bruta» consiste en duplicar manualmente cada potencia de dos e ir acumulando la sumatoria correspondiente a esta serie geométrica.

donde  corresponde al número total de granos.

Esta serie puede ser expresada como exponentes:

También puede resolverse de forma mucho más fácil por medio de:

resultando:

 granos

Para hacernos una idea de la cantidad de trigo de la que estamos hablando podemos estimar que en un kilo de trigo hay aproximadamente 25.000 granos de trigo (el peso de 1.000 granos de trigo se puede considerar de unos 40 gramos), por lo tanto:

18.446.744.073.709.551.615 granos -> 737.869.762.948.382 Kg

es decir 737.869.762.948 Tm

 Tomando la estimación de producción de trigo para la cosecha de un año actual. Nos sale que serían necesarias las cosechas mundiales totales de algo más de un milenio, es decir ¡¡más de mil años!! para sumar esa cantidad de trigo.

PARA LOS MÁS CURIOSOS

El hombre que calculaba de Malba Tahan podemos encontrarlo en el enlace de abajo aunque para los que le gusten las ediciones en papel  o libro electrónico también es fácil conseguirlo.  

EL HOMBRE QUE CALCULABA

 

El cero, el número que cambió la historia de las Matemáticas

 

“Eres un cero a la izquierda”, dice el dicho popular para señalar que uno no es nada.

Hace miles de años, los mayas, de Mesoamérica (donde ahora es México), usaron el cero que se representaba como un símbolo de caracol que representaba el vacío o la nada. Tenían múltiples representaciones para este número como vemos en la imagen de abajo.  Era un número muy importante para realizar cálculos matemáticos y para registrar fechas en su calendario. 

 ceros mayas 

Los babilonios usaban el cero como marcador de posición en su sistema numérico que se representaba con números en forma de cuñas que se imprimían en sus tablillas de arcilla.

 Cero babilónico   

El astrónomo y matemático indio Brahmagupta (628 d. C.) trató el cero como un número, no como un mero marcador de posición, y postuló reglas para su operación. 

Y fue Leonardo de Pisa, alias Fibonacci, quien en su Liber Abaci (Libro del Ábaco), publicado en 1202, introduce en Occidente el sistema de numeración indo-arábigo que incluye ya al cero y  que es el que nosotros usamos actualmente. Él reconoció el poder del uso del símbolo adicional 0 combinado con los símbolos indios 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

El sistema romano  decimal romano, que para cada número tenemos que poner un símbolo diferente (V es cinco, X es 10, etcétera), una de las carencias que tenía es que al no tener cero no podía representar todos los números. Sin embargo con con el sistema indo-arábigo, que usamos actualmente, formado por 9 números y el cero posicional, o sea con 10 símbolos, se puede representar cualquier cantidad.

El cero se podría comparar con la introducción de la coma en el lenguaje: ambos ayudan a leer el significado correcto.

 Por ejemplo, 1 más 0 son 10, 1 más 00 son 100, uno con 000 son 1000… y así hasta infinito.

Un cero a la izquierda de cualquier dígito, del 1 al 9, no significa nada: 020 o 0020 siempre serán 20. Ese cero a la izquierda no tiene un valor para expresar una cantidad. Pero si lo colocamos a la derecha entonces nos ayuda a saber la cantidad correspondiente, por ejemplo, no es lo mismo 2, que 20, que 200. etc.  También cuando en un número faltan unidades de algún orden, el cero nos ayuda a saber que no existen dichas unidades, por ejemplo en el número 2304 se nos indica que no hay decenas, sin el cero el número se expresaría como 234 y  podría llegar a confusión pues parece que las decenas son tres.   

Pero si a un cero le antepongo un punto decimal (.0) es diferente, empiezo a contar decimales. El cero vuelve a tener valor, pero un valor que se hace más pequeño. Por ejemplo,  cada vez que antes del punto decimal pongo un cero y un 1. Cada cero que voy poniendo es un factor de 10 más chico: un décimo (.01), un centésimo (.001), un milésimo (.0001), etcétera.

El cero se descubrió porque es lo que necesitamos para poder contar y poder representar cualquier cantidad de cosas. El cero es muy útil en muchos procedimientos matemáticos involucrados con la vida diaria. 

Los ordenadores siempre están haciendo cálculos para que funcionen los programas (software). Hacen cálculo y nos lo regresan en imágenes, sonidos y otras cosas.
Para hacer esos cálculos necesitan unos cuantos dígitos, y uno de ellos es el cero. Sin este número no se podría hacer cálculos.
Las computadoras funcionan con un sistema binario: 01, es decir solo usan 0 y 1 representar todos los números, por ejemplo 01 es el 1, el 10 es el 2, el 11 es el tre3, 100 es el 4  y así sucesivamente.

En la naturaleza se aplica la Tercera Ley de la Termodinámica, que versa sobre el cero absoluto. El cero absoluto es la temperatura más baja posible que corresponde a -273,15 grados centígrados. Sin embargo, esa ley creada por Walther Nernst postula que es imposible llegar al cero absoluto. Hay experimentos a temperaturas increíblemente frías (.000000001 o .000000000001 grados Kelvin) pero nunca llegan al cero absoluto.

El cero representa una revolución. Está presente en nuestro concepto de contar. Nos permite contar el tiempo (los días, los años, etcétera) y tantas cosas.

Presente en nuestra vida diaria sin darnos cuenta, el cero puede ser  una calificación o algo que no tenemos. Si uno no tiene dinero, tiene cero euros. La tecnología de todo tipo y la medicina está invadida de cero. En unos análisis clínicos, si una persona no tiene nada, tiene cero. O en política, si por un candidato nadie votó, tiene cero votos.

PARA LOS MÁS CURIOSOS

Si quieres saber más sobre el cero de los mayas.

Vista de EL “CERO” MAYA Y SU FUNCION

También puedes consultar:

https://culturahistorica.es/numeros-mayas/

También podemos estudiar el sistema babilónico con su cero correspondiente.

Sistema-de-numeracion-Babilonia

 

Problemas abiertos para la Navidad

 

Llamamos problemas divergentes a unos problemas totalmente abiertos en los que el alumno mismo busca los datos, el razonamiento de resolución, las técnicas operatorias correspondientes y la solución, siguiendo las etapas de Polya. Son problemas que permiten varias maneras de resolución, en las que el alumno toma sus propias decisiones y en consecuencia obtiene sus soluciones.

Generalmente los alumnos perciben los problemas como algo aburrido, pues  conciben la escuela como un lugar al que van a aprender y no como un lugar de  diversión. Sin embargo, los problemas divergentes son bien acogidos pues suelen ser interesantes y asequibles, es decir, los alumnos se interesan en buscar la solución y además todos pueden participar, desde los menos avanzados hasta los más dotados.

Estos problemas van a estar también muy relacionados con la atención a la diversidad pues dependiendo de la naturaleza del problema, éste puede ser planteado para observar diferentes niveles de conocimiento, de relación, de afectividad, etc.

Un ejemplo típico de este tipo de problemas es el siguiente:

       Si tuvieras 30 euros ¿Qué te comprarías?

Aunque estos problemas pueden plantearse en todo el año, en esta época podemos añadirle un texto más acorde.

Un familiar (abuelo, padre, tía,…) te ha regalado 30 euros como regalo de Navidad ¿Qué te comprarías con ese dinero?

El problema puede acotarse añadiendo sin que te sobre ni te falte nada. 

Si analizamos un problema como éste podemos observar que es de enunciado sencillo y asequible a todos los alumnos, pues la etapa de comprensión es prácticamente nula.  

Es un problema interesante, en el sentido de que el alumno se interesa enseguida por él y por su resolución.

Es un problema abierto en el que el alumno aporta los datos correspondientes, pero esos datos suelen ser de su propio interés y extraídos  del entorno en el que se desenvuelve su vida ordinaria, pues, aunque sea de una forma ficticia, comprará aquellos objetos que más le gustan: unos elegirán ropas, otros música, otros deportes,… o varias de estas cosas a la vez.

 El profesor  adquiere así una información adicional de las cosas preferidas por sus alumnos.

Las operaciones que realice se harán resolviendo un problema que es de su interés.

El profesor ira recomendando un plan de resolución a aquellos alumnos que los demande.  

Podemos observar como docentes que el problema tendrá diferentes niveles de planteamiento y resolución,  según el nivel matemático de los alumnos. Esta información  puede ser utilizada por el profesor  en la evaluación continua  pues le dará a conocer: el ritmo de  aprendizaje; dificultades tiene para comunicar lo encontrado;  problemas para  adquirir sus conocimientos. También,  podrá valorar la predisposición del alumno, habilidades y capacidades inherentes o adquiridas.

 También se pueden plantear lo que se llaman problemas con distintas composiciones de datos.

Estos problemas consisten en que dada una serie de objetos con sus precios se le plantean a los alumnos unas cuestiones que tiene que resolver. Los objetos se pueden colocar sobre una mesa o bien en una ficha de imágenes como la que se muestra arriba  en esta entrega. Es también un tipo de problema abierto, por ejemplo:

- ¿Qué te comprarías  con 20 euros de los objetos de la figura  de arriba? ¿Qué te comprarías con 15 euros, sin que te sobrara ni te faltara nada?

 También se pueden hacer problemas más sencillos como los siguientes:

- Si Ana compra la muñeca y el osito ¿Cuánto tiene que pagar?

- ¿Cuánto cuesta la cartera mochila  más que el balón?

- Compro la calculadora, el balón y las tijeras. Pago con un billete de 50 euros  ¿Cuánto dinero me sobra?

La experiencia nos muestra los debates tan interesantes que se entablan entre los alumnos y profesor, todos aprenden y se conocen mediante estos problemas abiertos.   

El alumno se da cuenta que la resolución de problemas es de utilidad en su vida ordinaria.  

PARA LOS MÁS CURIOSOS

Para leer más sobre etapas de Polya y resolución de problemas en Primaria  se puede leer nuestro artículo:

La resolución de  problemas aritméticos y su tratamiento didáctico  en la Educación Primaria

Que se obtiene en el enlace:

https://www.researchgate.net/publication/346944070_La_resolucion_de_problemas_aritmeticos_y_su_tratamiento_didactico_en_la_Educacion_Primaria

 

HABLEMOS DEL NÚMERO TRES

 

Ya lo dice el refranero No hay dos sin tres. El número tres es uno de los primeros números naturales, después del uno y el dos. Múltiples referencias y curiosidades podemos contar de dicho número, en esta entrada vamos a desglosar algunas que consideramos interesantes para nuestra labor de profesores.

Para los pitagóricos cada uno de los números tenía un significado especial. El número tres, la tríada, nace como la suma de la unidad y la pareja, 1 + 2 = 3, es decir, combina la mónada con la díada. Es símbolo de armonía universal, puesto que combina la unidad con la diversidad. Además, es un número sagrado, en el sentido de que es el primero que tiene principio, medio y fin. Por otra parte, para la escuela de Pitágoras el número tres era el símbolo del principio masculino –por extensión, los números impares–, mientras que el número dos era el símbolo del principio femenino –y, por extensión, los números pares–, y juntos formaban el símbolo del matrimonio, 2 + 3 = 5.

Aunque nos parezca un número muy pequeño existieron “pueblos primitivos” que solamente contaban “uno, dos, muchos”. Para algunos pueblos el “tres” se relacionara con “muchos” y quedaba conectado al plural. Así, en los  jeroglíficos egipcios, se utilizaba la repetición tres veces para pluralizar. El  pictograma de “agua” eran tres para indicar muchas olas, el de “pelo” eran tres pelos individuales para indicar muchos pelos, el de “inundación” como un cielo con tres (muchas) jarras de agua o “llorar” un ojo con tres líneas para indicar muchas lágrimas.

En la Biblia las veces que aparece este número (que son pocas) tiene gran importancia: marca la divinidad: Padre, Hijo y Espíritu santo. El número 3 se usa también para representar intensidad, énfasis o más fuerza.

 Eclesiastés 4:12 Una cuerda triple no puede ser rota en dos pronto.

 En las bendición sacerdotal el nombre de Jehová aparece 3 veces. Números 6:23-26 y en la bendición apostólica, el apóstol pide a las 3 personas de la trinidad que dispensen 3 bendiciones: gracia, amor y comunión. 

Corintios 13:14

La gracia del Señor Jesucristo, el amor de Dios y la comunión del Espíritu Santo sean con todos vosotros. Amén.

La pregunta que por tres veces Jesús formuló a Pedro, después que este le negó tres veces, denotaba intensidad o énfasis. 

Mateo 26:34

Jesús le dijo: --De cierto te digo que esta noche, antes que el gallo cante, me negarás tres veces.

Juan 21:15-17

 Después de comer, Jesús dijo a Simón Pedro: -

-Simón, hijo de Jonás, ¿me amas más que estos? Le respondió: --Sí, Señor; tú sabes que te quiero. Él le dijo: --Apacienta mis corderos. Volvió a decirle la segunda vez: --Simón, hijo de Jonás, ¿me amas? Pedro le respondió: --Sí, Señor; tú sabes que te quiero. Le dijo: --Pastorea mis ovejas. Le dijo la tercera vez: --Simón, hijo de Jonás, ¿me quieres? Pedro se entristeció de que le dijera por tercera vez: «¿Me quieres?», y le respondió: --Señor, tú lo sabes todo; tú sabes que te quiero. Jesús le dijo: --Apacienta mis ovejas.

La santidad y limpieza perfectas del Señor se recalcan con el carácter enfático de la declaración de las criaturas celestiales, que dicen: Santo, santo, santo es Jehová. Esta triple repetición tiene la fuerza de un superlativo. 

Isaías 6:3

Y el uno al otro daba voces diciendo: «¡Santo, santo, santo, Jehová de los ejércitos! ¡Toda la tierra está llena de su gloria!»  E igualmente aparece en  Apocalipsis 4:8

Acabamos con Apocalipsis 8:13 donde la intensidad de los ayes que les sobrevienen a los habitantes de la Tierra también se representa mediante la repetición triple de la interjección "ay" y de la fatalidad de los toques de trompeta que tocarán tres ángeles.  

Miré, y oí un ángel que volaba en medio del cielo y decía a gran voz: «¡Ay, ay, ay de los que habitan en la tierra, a causa de los otros toques de trompeta que están para tocar los tres ángeles!»

 Por último, como se explica en el magnífico libro Historia universal de las cifras, de Georges Ifrah, las cifras básicas de nuestro sistema de numeración moderno, tienen su origen en las cifras brahmi de la antigua India (registradas por primera vez en el siglo III a.C.), que eran tres palotes horizontales, que evolucionaron en el tiempo –durante siglos– y en el espacio –viajando de la India a Europa a través de los países árabes– a través de diferentes grafías, que podemos ver de forma esquemática en la siguiente imagen del libro Historia universal de las cifras.

Muchas más citas y curiosidades del número tres podemos descubrir en internet que no desarrollamos aquí para no hacer más extensa esta entrega.  

PARA LOS MÁS CURIOSOS 

 En este enlace tenemos más curiosidades del Número tres.

Las emocionantes aventuras del número tres (I) — Cuaderno de Cultura Científica (culturacientifica.com)

REBAJAS, CALCULADORAS Y CÁLCULO MENTAL

Buscando la utilidad de las matemáticas, hoy proponemos actividades de tanto por ciento que se hacen rápidamente con la calculadora y que nos enseñan a estimar mentalmente en las compras de la vida cotidiana. Estas actividades también se pueden hacer mentalmente pues una vez aprendidas no se necesita más que hacer una multiplicación sencilla. 

Comenzamos haciendo cálculo de cantidades con % incluido. La tecla % de la calculadora es, también, útil para calculo de cantidades a las que se le aumenta un % dado. Nuestro objetivo es calcular directamente la nueva cantidad, en una sola operación, sin necesidad de calcular primero el % y luego sumarlo a la cantidad.,  Por ejemplo:

- Si una prenda cuesta 500 euros y le aumentamos un 8% ¿cuál será su precio nuevo?

Si la prenda costara 100 euros, su precio final sería 108 euros. Luego la operación será multiplicar por  108%, o multiplicar por 1.08 en tanto por 1. Es decir hacemos con la calculadora, usando la tecla %:  

500 x 108% = 540 o bien 500 x 1,08 =540

 Sin embargo. el caso más útil en la vida ordinaria es el de los descuentos porcentuales, que admite un tratamiento similar. Descontar un 20% significa multiplicar por 80% el precio original o multiplicar por 0,80, pues si el precio fuera 100 euros, el resultado sería 80 que equivale a multiplicar por 80% o por 0,80 a esta se le llama cantidad complemento. 

Así pues en la vida ordinaria podemos estimar el coste de un artículo de la siguiente forma:

Si una prenda cuesta 50 euros y nos hacen un 30 %. Sabemos que la cantidad complemento de 30 es 70 luego multiplico el precio total 50 por el complemento 70 y me dan 35 pues como hay que dividir por cien suprimo las dos últimas cifras. Mentalmente se multiplica 5 por 7.

 En otro ejemplo, si cuesta 70 euros y me hacen un 40 por ciento (complemento 60)   sería 7 por 6 =  42 euros y obtenemos el precio de la prenda.

Decimos estimar porque algunos ejemplos no son tan sencillos. Por ejemplo, si  la  prenda cuesta 55 euros y nos hacen un 35 por ciento (complemento 65)  podemos estimar mediante las cantidades 50 euros y complemento 70 que nos daría 35 euros siendo la cantidad real 35,75, con lo que se  consigue una buena estimación. Es decir mentalmente no sería exacto multiplicar 5 (decenas) por 7 (complemento) pero se aproxima lo suficiente para decidir si lo compro o no.   

En el aula podemos seguir haciendo actividades que muestren a nuestros alumnos la importancia de los tantos por cientos en la vida ordinaria.

- Diseña una tabla  de precios para aplicar  el método dado,  para el caso de marcar los precios de las  prendas en una tienda con un 75% añadido sobre el precio de compra en fábrica. Estima primeramente los resultados y luego resuelve con la calculadora.  

-  Idem en el caso de marcar los artículos con una rebaja del 30%. 

- Aquel comerciante había descubierto un truco genial: si quería vender a un precio determinado, lo aumentaba en un 15% y así cuando venía el cliente le podía hacer un 15% de descuento, ¿qué opinamos de dicho comerciante? ¿Qué ganancias tenía? ¿ qué porcentaje? Resuelve con calculadora

- Hemos dividido los gastos de la excursión entre los 25 alumnos que asistieron. Posteriormente resulta que los dos profesores también pagan ¿ qué porcentaje se ahorran los alumnos? Resuelve con la calculadora.

- Siempre se comenta la incidencia que sobre los precios finales tiene la existencia de intermediarios. Es muy fácil matematizar tales comentarios. ¿qué ocurre con el precio de un producto que pasa por las manos de 3 intermediarios, cada uno de los cuales vende el producto un 50% más caro de lo que le costó?¡ A qué el resultado es sorprendente! Y eso que un margen del 50% no es gran cosa. Resuelve con la calculadora.

PARA LOS MÁS CURIOSOS. 

 Si queremos seguir leyendo sobre problemas de la vida ordinaria, de cálculo mental, estimación entre otros, recomendamos nuestro artículo: La resolución de problemas aritméticos y su tratamiento didáctico en la Educación Primaria. 

https://www.researchgate.net/publication/346944070_La_resolucion_de_problemas_aritmeticos_y_su_tratamiento_didactico_en_la_Educacion_Primaria

 

LA LEYENDA DE SISSA, EL AJEDREZ Y EL CRECIMIENTO EXPONENCIAL

 

Actualmente se habla mucho del crecimiento exponencial, término muy utilizado durante la pandemia donde sí se produjo un crecimiento exponencial de casos. En esta entrega vamos a diferencial este término para entender cuando se produce este crecimiento y no usarlo en cualquier problema como se está observando en las noticias actuales.

Para entenderlo mejor tenemos que contar La leyenda de Sisa,  bien conocida y, aparte de explicar el origen del ajedrez, se usa con frecuencia para ilustrar el crecimiento exponencial. Se trata de una leyenda relatada en el libro persa Shāh-nāmeh (c. siglo XI), aunque cuenta con varias versiones posteriores.

Cuenta la leyenda que hace mucho tiempo reinaba en cierta parte de la India un rey llamado Sheram. En una de las batallas en las que participó su ejército perdió a su hijo, y eso le dejó profundamente consternado. Nada de lo que le ofrecían sus súbditos lograba alegrarle.

Un buen día un tal Sissa se presentó en su corte y pidió audiencia. El rey la aceptó y Sissa le presentó un juego que, aseguró, conseguiría divertirle y alegrarle de nuevo: el ajedrez. Después de explicarle las reglas y entregarle un tablero con sus piezas el rey comenzó a jugar y se sintió maravillado: jugó y jugó y su pena desapareció en gran parte. Sissa lo había conseguido. Sheram, agradecido por tan preciado regalo, le dijo a Sissa que como recompensa pidiera lo que deseara.

– Sissa, quiero recompensarte dignamente por el ingenioso juego que has inventado —dijo el rey.

El sabio contestó con una inclinación.

– Soy bastante rico como para poder cumplir tu deseo más elevado —continuó diciendo el rey—. Di la recompensa que te satisfaga y la recibirás.

Sissa continuó callado.

– No seas tímido —le animó el rey—. Expresa tu deseo. No escatimaré nada para satisfacerlo.
– Grande es tu magnanimidad, soberano. Pero concédeme un corto plazo para meditar la respuesta. Mañana, tras maduras reflexiones, te comunicaré mi petición.

Cuando al día siguiente Sissa se presentó de nuevo ante el trono, dejó maravillado al rey con su petición, sin precedente por su modestia.

– Soberano —dijo Sissa—, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero del ajedrez.

– ¿Un simple grano de trigo? —contestó admirado el rey.

– Sí, soberano. Por la segunda casilla, ordena que me den dos granos; por la tercera, 4; por la cuarta, 8; por la quinta, 16; por la sexta, 32… y así sucesivamente hasta completar las 64 casillas.

– Basta —le interrumpió irritado el rey—. Recibirás el trigo correspondiente a las 64 casillas del tablero de acuerdo con tu deseo: por cada casilla doble cantidad que por la precedente.

Pero has de saber que tu petición es indigna de mi generosidad. Al pedirme tan mísera recompensa, menosprecias, irreverente, mi benevolencia. En verdad que, como sabio que eres, deberías haber dado mayor prueba de respeto ante la bondad de tu soberano. Retírate. Mis servidores te sacarán un saco con el trigo que solicitas.

Sissa sonrió, abandonó la sala y quedó esperando a la puerta del palacio.

Durante la comida, el rey se acordó del inventor del ajedrez y envió a que se enteraran de si habían ya entregado al irreflexivo Sissa su mezquina recompensa.

– Soberano, están cumpliendo tu orden. Los matemáticos de la corte calculan el número de granos que le corresponde.

El rey frunció el ceño. No estaba acostumbrado a que tardaran tanto en cumplir sus órdenes.

Por la noche, al retirarse a descansar, el rey preguntó de nuevo cuánto tiempo hacía que Sissa había abandonado el palacio con su saco de trigo.

– Soberano —le contestaron—, tus matemáticos trabajan sin descanso y esperan terminar los cálculos al amanecer.

– ¿Por qué va tan despacio este asunto? —gritó iracundo el rey—. Que mañana, antes de que me despierte, hayan entregado a Sissa hasta el último grano de trigo. No acostumbro a dar dos veces una misma orden.

Por la mañana comunicaron al rey que el matemático mayor de la corte solicitaba audiencia para presentarle un informe muy importante.

El rey mandó que le hicieran entrar.

– Antes de comenzar tu informe —le dijo Sheram—, quiero saber si se ha entregado por fin a Sissa la mísera recompensa que ha solicitado.

– Precisamente por eso me he atrevido a presentarme tan temprano —contestó el anciano—. Hemos calculado escrupulosamente la cantidad total de granos que desea recibir Sissa. Resulta una cifra tan enorme…

– Sea cual fuere su magnitud —le interrumpió con altivez el rey— mis graneros no empobrecerán. He prometido darle esa recompensa, y por lo tanto, hay que entregársela.

– Soberano, no depende de tu voluntad el cumplir semejante deseo. En todos tus graneros no existe la cantidad de trigo que exige Sissa. Tampoco existe en los graneros de todo el reino. Hasta los graneros del mundo entero son insuficientes. Si deseas entregar sin falta la recompensa prometida, ordena que todos los reinos de la Tierra se conviertan en labrantíos, manda desecar los mares y océanos, ordena fundir el hielo y la nieve que cubren los lejanos desiertos del Norte. Que todo el espacio sea totalmente sembrado de trigo, y ordena que toda la cosecha obtenida en estos campos sea entregada a Sissa. Sólo entonces recibirá su recompensa.

El rey escuchaba lleno de asombro las palabras del anciano sabio.

– Dime cuál es esa cifra tan monstruosa —dijo reflexionando.

– ¡Oh, soberano! Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince, en números arábigos  18 446 744 073 709 551 615 (18,4 trillones) de granos de trigo. 

Esta leyenda nos muestra como es el crecimiento exponencial: empieza con cifras modestas… pero las multiplica cada vez. Pasado un tiempo, el crecimiento es cada vez mayor, enorme… exponencial. Como nos muestra la foto de principio. 

 Un ejemplo claro de nuestra época es la digitalización, la preponderancia de la información, es un factor decisivo, un habilitador, del crecimiento exponencial. Y en esa digitalización, en esa transformación digital, nos encontramos inmersos.

Pero hay un detalle adicional. Algo simple que nos revela Martin Ford en ‘The rise of the robots‘

La revolución que ahora está en marcha no ocurre solo por la aceleración en sí, sino porque esa aceleración ha estado ocurriendo durante tanto tiempo que la cantidad de progreso que ahora podemos esperar en cualquier año dado es potencialmente asombrosa.

Así es. No se trata sólo de que la digitalización induzca un cambio acelerado, exponencial. Es que además, llevamos ya unos cuantos años de digitalización. Por tanto, no estamos en el principio de la curva, donde los crecimientos  son moderados. Estamos ya en una parte avanzada de la curva donde la cantidad de progreso es espectacular.

Si volvemos a la leyenda de Sisa, lo que nos ocurre es que ya no estamos en las primeras casillas. Ahora, en la digitalización estamos en medio del tablero.