TODOS LOS MIÉRCOLES , UNA NUEVA ENTREGA

miércoles, 24 de abril de 2024

PROBLEMAS ABIERTOS PARA MOTIVAR Y APRENDER

 

Generalmente los alumnos perciben los problemas como algo aburrido, pues  conciben la escuela como un lugar al que van a aprender y no como un lugar de  diversión. Sin embargo, los problemas divergentes son bien acogidos pues suelen ser interesantes y asequibles, es decir, los alumnos  se interesan en buscar la solución y además todos pueden participar, desde los menos avanzados hasta los más dotados. Estos problemas van a estar también muy relacionados con la atención a la diversidad pues dependiendo de la naturaleza del problema, éste puede ser planteado para observar diferentes niveles de conocimiento, de relación, de afectividad, etc.

Llamamos problemas divergentes a unos problemas totalmente abiertos en los que el alumno mismo busca los datos, el razonamiento de resolución, las técnicas operatorias correspondientes y la solución, siguiendo las etapas de Polya. Son problemas que permiten varias maneras de resolución, en las que el alumno toma sus propias decisiones y en consecuencia obtiene sus soluciones.

Un ejemplo típico de este tipo de problemas es el siguiente:

       Si tuvieras 30 euros ¿qué te comprarías?

Estos problemas pueden plantearse en todo el año, por ejemplo:

Un familiar (abuelo, padre, tía ...) te ha regalado 30 euros como regalo de cumpleaños ¿qué te comprarías con ese dinero?

El problema puede acotarse añadiendo sin que te sobre ni te falte nada. Si analizamos un problema como éste podemos observar que es de enunciado sencillo y asequible a todos los alumnos, pues la etapa de comprensión es prácticamente nula.  Es un problema interesante, en el sentido de que el alumno se interesa enseguida por él y por su resolución.

Es un problema abierto en el que el alumno aporta los datos correspondientes, pero esos datos suelen ser de su propio interés y extraídos  del entorno en el que se desenvuelve su vida ordinaria, pues, aunque sea de una forma ficticia, comprará aquellos objetos que más le gustan: unos elegirán ropas, otros música, otros deportes,… o varias de estas cosas a la vez. El profesor  adquiere así una información adicional de las cosas preferidas por sus alumnos.

Las operaciones que realice se harán resolviendo un problema que es de su interés. El profesor ira recomendando un plan de resolución a aquellos alumnos que los demande.  Podemos observar como docentes que el problema tendrá diferentes niveles de planteamiento y resolución,  según el nivel matemático de los alumnos. Esta información  puede ser utilizada por el profesor  en la evaluación continua  pues le dará a conocer: el ritmo de  aprendizaje; dificultades tiene para comunicar lo encontrado;  problemas para  adquirir sus conocimientos. También,  podrá valorar la predisposición del alumno, habilidades y capacidades inherentes o adquiridas.

 También se pueden plantear lo que se llaman problemas con distintas composiciones de datos:

Estos problemas consisten en que dada una serie de objetos con sus precios se le plantean a los alumnos  cuestiones que tiene que resolver. Los objetos se pueden colocar sobre una mesa o bien en una ficha de imágenes como la que se muestra arriba  en esta entrega. Es también un tipo de problema abierto, por ejemplo:

- ¿Qué te comprarías  con 20 euros de los objetos de la figura  de arriba? ¿qué te comprarías con 15 euros, sin que te sobrara ni te faltara nada?

 También se pueden hacer problemas más sencillos como los siguientes:

- Si Ana compra la muñeca y el osito ¿Cuánto tiene que pagar?

- ¿Cuánto cuesta la cartera mochila  más que el balón?

- Compro la calculadora, el balón y las tijeras. Pago con un billete de 50 euros

 ¿Cuánto dinero me sobra? 

La experiencia nos muestra los debates tan interesantes que se entablan entre los alumnos y profesor, todos aprenden y se conocen.  

El alumno se da cuenta que la resolución de problemas es de utilidad en su vida ordinaria.  

Para leer más sobre etapas de Polya y resolución de problemas en Primaria  se puede leer el artículo:

La resolución de  problemas aritméticos y su tratamiento didáctico  en la Educación Primaria

Que se obtiene en el enlace:

https://www.researchgate.net/publication/346944070_La_resolucion_de_problemas_aritmeticos_y_su_tratamiento_didactico_en_la_Educacion_Primaria

 o bien nuestro texto:

Barrantes, M., Zapata, M. y Barrantes, M.C. (2022). Didáctica de los números y las operaciones en la Educación Primaria. Ed. Universidad de Piura. Piura (Perú).

 

 

miércoles, 17 de abril de 2024

MATEMÁTICAS Y CINE EN EL AULA

    A mi amigo y compañero Alejandro Pachón

El pensamiento humano se basa en estructuras matemáticas, de modo que cualquier campo de su actividad puede ser considerado en clave matemática. Así ocurre con el cine. Los docentes podemos aprovecharlo como recurso didáctico novedoso y motivador, siempre con una finalidad didáctica que sea la que oriente sus decisiones sobre cómo y cuándo hacerlo.

Empezamos preguntándonos: ¿hay matemáticas en el cine?

La presencia de las matemáticas en largometrajes y series (en adelante ambas modalidades las pasaremos a denominar genéricamente "el cine") se produce de diferentes formas:

       

·         Hay personajes que son matemáticos. Salvo excepciones, suelen ser presentados adornados por tópicos que oscilan entre lo caricaturesco y lo hiriente: hombres casi siempre, grandes calculadores, obsesivos, despistados y abstraídos respecto del mundo que les rodea, torpes en habilidades sociales e incluso mentalmente perjudicados (Una mente maravillosa (2001), Pi. Fe en el caos (1998)Proof (2005),  The imitation game (2014), El hombre que conocía el infinito (2015) ). Un detalle de ambiente les acompaña, donde hay un matemático hay una pizarra repleta de símbolos.

 

·      La presencia más abundante de matemáticas en pantalla se da en ambientes escolares. Los recuerdos de infancia y adolescencia del protagonista (Amarcord (1973)Cinema Paradiso (1988)Adiós muchachos (1987)) muchas veces transcurren en la clase de Matemáticas, enfatizando el divorcio entre el descubrimiento de la vida por aquel y la distante frialdad de ésta. En estos casos hay dos tópicos, un profesorado temible y la angustia del examen, frente a la cual se despliegan variadas estrategias de copia.

         

Se recurre a las matemáticas en títulos y carteles. Pueden ser películas que luego nada tengan de matemático, como sucede en La ecuación del amor y la muerte (Cao Baoping, 2008); o tratarse tan sólo de metáforas descriptivas, como ocurre en Symetria (Konrad Niewolski, 2003).


·   La geometría está presente en planos y escenarios donde los directores aprovechan sus valores estético, simbólico y expresivo. En algunos maestros del cine esa presencia geométrica ha llegado a ser un elemento esencial. Así, por ejemplo: el perfeccionista y recurrente uso de la simetría con punto de fuga que hacía Stanley Kubrick; la omnipresencia de las espirales en Vértigo de Alfred Hitchcock (1958); los ángulos agudos del universo amenazante de El gabinete del Doctor Caligari (Robert Wienner, 1920) y  la ortogonalidad alienadora de la modernidad de acero y cristal en Playtime (Jacques Tati, 1958).

      

                                    Duelo final de El bueno, el feo y el malo (1966) de Sergio Leone.

Aunque en ellas no se hable de matemáticas ni tal enfoque haya pasado por la mente de guionistas ni directores, algunas escenas se entienden mejor, o de otra manera, cuando las vemos con una mirada matemática. Un caso emblemático es el duelo final de El bueno, el feo y el malo (Sergio Leone. 1966) analizado desde el cálculo de probabilidades.

 

·         Pero la presencia matemática en el cine más frecuente, como en la vida real, no es deliberada sino que viene provocada por el hecho de que los personajes deben resolver problemas. Y la resolución de problemas es el terreno propio del pensamiento matemático. Esos problemas pueden plantearse en situaciones extremas de acción y riesgo, como en Misión Imposible III (J.J. Abrams, 2006) y en Jungla de cristal III: La venganza (John MacTiernan, 1995); aunque también son problemas cotidianos de gente normal, amorosos o banales incluso, como en Dos colgaos muy fumaosFuga de Guantánamo (Jon Hurwitz y Hayden Schlossberg, 2008) y en Dime con cuántos (Mark Mylod, 2011).

¿Qué matemáticas aparecen en las películas?

La presencia de las matemáticas en el cine es desigual si nos referimos a los contenidos. Suele tratarse de simples cálculos aritméticos, las cuentas del día a día, con frecuentes errores (como en la vida misma), de los que no están exentas algunas buenas películas. Por ejemplo, en El bazar de las sorpresas (Ernest Lubitsch, 1940) el jefe de ventas (James Stewart) yerra con un porcentaje al calcular un precio en rebajas.

Si se trata de mostrar el genio matemático del protagonista, a menudo se le suele presentar como una “calculadora humana”, identificando de forma equívoca el pensamiento matemático con el cálculo. Así se hace con el joven talento protagonista (Jim Sturges) de 21 Black Jack  (Robert Luketic, 2008)... ¡y también se equivoca!

Para otros fines especiales se recurre a los números primos, a la serie de Fibonacci o al número π, tal vez por ser los conceptos matemáticos más sofisticados al alcance del ciudadano medio; éstos pueden tratarse de claves esotéricas e incluso de comunicación extraterrestre, como en Contact (Robert Zemeckis, 1997) y en Red Planet Mars (Harry Horner, 1952).

Una de las películas más relacionada con la Geometría  es Donald en el País de las Matemáticas (1959) en la que, además, se tratan otros temas matemáticos. La película fue nominada a los Premios Oscar, y se convirtió en la película educativa más vista de las escuelas estadounidenses durante la década de 1960.

 

La geometría tiene poca presencia y casi siempre en pizarras escolares y  el cálculo diferencial, también en pizarras, pero ahora de científicos, como elemento exclusivo de una élite intelectual. La estadística en el cine no queda bien parada; aparece poco y con fines espurios, como medio de manipulación social, como por ejemplo en The Wire (2002).

¿Podemos usar el cine como recurso en clase de Matemáticas?

  Hay que evitar que las clases sean una rutina previsible, para lo cual no es necesario reinventarlo todo sino que basta con introducir elementos no tradicionales que, por nuevos caminos, nos lleven hacia las matemáticas.

En la clase así entendida sigue habiendo explicaciones, ejercicios, repasos y evaluaciones... pero también caben esos otros caminos no convencionales, que a menudo confluyen.

Es desde ese punto de vista que proponemos usar el cine en clase de Matemáticas. La propuesta puede encontrar el rechazo de quien objeta: “Pero las matemáticas son algo importante y reflexivo y el cine es un pasatiempo”. A este respecto, declaro mi convencimiento de que lo importante no debe confundirse con lo aburrido (confusión que lleva al fatal olvido de la didáctica y justifica algunas incompetencias docentes). Y también, que lo divertido no tiene por qué ser trivial.

Pero hay más razones, específicas para el cine:

·         Aporta credibilidad desde la ficción. Algo paradójico, pues todos sabemos que el cine es ficticio, pero real dada su importancia social.

·        El cine facilita “Formular, emplear e interpretar las matemáticas en diferentes contextos”, enfoque éste recomendado en el tan valorado Informe PISA.

·         El cine permite vincular las matemáticas con las emociones, la aventura, la intriga, el humor... con la vida. Así se vencen tópicos antipáticos muy arraigados en la población que ve las matemáticas como algo ajeno, incluso amenazante.

Antes de dar un uso didáctico al cine en las clases de Matemáticas, conviene reflexionar y decidir sobre algunas cuestiones previas:

·     No basta con que haya matemáticas para que una película sea apta para el aula. Hay que estar seguros de que su aportación es pertinente y que no contiene elementos indeseados. A este respecto, no cultivemos los prejuicios anti-matemáticos que demasiadas veces se fomentan en el cine. Por ejemplo, que “las matemáticas son para inteligentes” y que “aquellos a quienes les gustan las matemáticas son gente rara, incluso algo loca”.

Si queremos transmitir el mensaje de que “las matemáticas son necesarias para todos y en cualquier etapa de la vida”, tal vez no convengan películas donde son utilizadas por matemáticos o en ambientes escolares y sean preferibles otras vinculadas a la acción, la aventura, el amor, la risa, la vida cotidiana, etc.

·         Hay que escoger entre dos modalidades de uso donde el tiempo establece la diferencia: ver una película completa o escenas aisladas.

  

Una película completa exige más tiempo y rara vez ofrece núcleos de interés matemático en todo su desarrollo. Sólo conozco dos casos donde me parece justificada esa opción: La habitación de Fermat (L. Piedrahita y R. Sopeña, 2007) y Marte (Ridley Scott, 2015). Ambas se basan en la resolución de problemas, acertijos en la primera y situaciones problemáticas en la segunda. Puede verse La habitación de Fermat parando el vídeo ante cada nueva prueba para su resolución en el aula y posterior continuación. Sin embargo en Marte los problemas se extienden a lo largo de la película y se entrelazan en el tiempo, por lo que conviene verla íntegramente para después volver sobre ellos y plantearlos uno a uno mediante un debate con los alumnos.

La opción que nosotros proponemos  consiste en utilizar escenas previamente seleccionadas por el dicente. Creemos  que debe aplicarse en el momento adecuado, con escenas que en sí mismas, de forma aislada, tengan un significado comprensible y que refuercen nuestros objetivos pedagógicos. Después, plantear cuestiones a partir de la escena, siendo muy conveniente que de sus conclusiones quede un registro escrito.

Los aprovechamientos que podemos dar a esas escenas o películas son:

- Motivar conceptos.
- Repasar lo aprendido.
- Resolver problemas planteados o sugeridos.
- Detectar errores matemáticos.

Estas propuestas son adecuadas con  los alumnos de cualquier edad, siempre que haya concordancia entre su capacidad de comprensión y el nivel de lectura que requiere la escena. El comienzo o el final del período lectivo suelen ser los momentos idóneos, pero puede utilizarse este recurso en cualquier momento que lo consideremos adecuado.

PARA LOS MÁS CURIOSOS

Algunas páginas y libros  relacionadas con el tema que nos ocupa.

Matemáticas de cine: una propuesta innovadora.

Raga.pdf (educacion.gob.es)

Matemáticas de cine, libro de José María Sorando.

Matemáticas De Cine : José María Sorando: Amazon.es: Libros

Matemáticas a través del cine libro de Alfonso Jesús Población Sáez.

Matemáticas a través del cine - Matemáticas y sus fronteras (madrimasd.org)

Hay también diferentes páginas de recopilación de películas como:

🚀 25 Películas Basadas En Las Matemáticas - Muñozparreño 🚀 (xn--muozparreo-u9ah.es)

 Y el texto (solo en papel):

 Pachón, A. (2018) Cine para enseñar. Espacio tiempo e imaginario.  Ed. Festival Ibérico. Colección cine. 

miércoles, 10 de abril de 2024

SELLOS MATEMÁTICOS


Es verdad que ya no compramos sellos pues no mandamos cartas, con la llegada del e-mail y el whatsApp, hemos perdido esta bonita tradición casi todo el mundo.

Pero históricamente, los sellos han formado parte de la sociedad, haciendo homenaje a aquellas personas, eventos u objetos que han sido importantes para el país emisor. Y efectivamente, las matemáticas no han sido la excepción, en diferentes sellos de países de todo el mundo han aparecido sellos de los matemáticos más sobresaliente del país correspondiente, o de matemáticos famosos internacionalmente, como es el caso de Pitágoras. En estos sellos suelen aparecer también las fórmulas matemáticas que los han hecho famosos en la historia de las Matemáticas.

En la entrega de hoy vamos a poner algunos ejemplos pues sería imposible enumerar a todos. Al final dejamos un enlace en el que los más curiosos, pueden seguir viendo muchos más sellos de matemáticos.

Comenzamos con sellos que recuerdan a las matemáticas de la antigua Grecia, como el sello griego en homenaje a Tales de Mileto. Otro sello que hace referencia a las matemáticas griegas, es el emitido en San Marino en el año 1983 con el gran matemático Pitágoras como protagonista. En España se emitió un sello de Arquímedes en 1963 e igualmente en Italia. 



Y también este sello conmemorativo de Euclides, impreso en las Islas Maldivas en 1988.

Todos sabemos de la importancia que tuvieron las matemáticas árabes en la baja edad media. En el mundo árabe se avanzó enormemente en ciencias. En el campo de las matemáticas destacó Al-Khwarizmi, al que Rusia le dedicó un sello en 1983. En este país, podemos encontrar el que se dedicó en 1946 a Chebyshev, matemático ruso que consiguió grandes avances en estadística. Y por supuesto, el que dedicó a Sofia Kovalévskaya, una mujer que tuvo que luchar muchísimo para ser admitida en un mundo en el que los hombres ninguneaban a las mujeres.

Otro país que ha rendido homenaje a sus matemáticos más importantes ha sido Alemania. Por supuesto uno de ellos está dedicado al mejor matemático que ha dado la historia, Carl Friedrich Gauss. Tampoco olvidaron a otro de sus más célebres matemáticos como fue Leibniz.

Si hay un país que destaca por su cantidad de buenos matemáticos y los sellos dedicados a ellos, ese es Francia. En 1937 se emite el sello de Descartes. Posteriormente el de Pierre de Fermat , en 1955 el de Laplace y  en 1958 el protagonista es Lagrange.



Luego llegaron el sello de Pascal en 1962 y el de Evariste Galois en 1984 y por último el que se dedicó a Cauchy en 1989.




Un matemático que tiene infinidad de sellos repartidos por el mundo es Isaac Newton, como el que se le dedicó en Malí.




En India,su país natal,  el matemático Ramanujan tuvo su sello en 1962.


 Y por supuesto, España no podía faltar, destacando a nuestro matemático más ilustre, Julio Rey Pastor, en el año 2000.


Las matemáticas, que algunas veces son vistas por la sociedad como algo raro y difícil, son fundamentales en nuestras vidas. Y  estos sellos,  que son un elemento que durante siglos ha hecho mención a las cosas importantes de cada país, no hacen más que corroborar que estas personas y estos resultados han sido fundamentales para la vida de todos.  

PARA LOS MÁS CURIOSOS

Los sellos de Jeff Miller un profesor de matemáticas y  poseedor de una gran colección de sellos de Matemáticos y sus fórmulas. En este enlace,  se pueden ver más de 1600 sellos de este profes.

Jeff Miller's postage stamps - MacTutor History of Mathematics (st-andrews.ac.uk)