Es posible que
pensemos que solo existe una forma de hacer las multiplicaciones (algoritmo) y
que es la que nos enseñaron en la escuela. En esta entrega
vamos a ver dos formas distintas de hacer las multiplicaciones, a como lo
aprendimos nosotros, y sin necesidad de aprender ninguna tabla. Podemos
observar que el resultado sigue siendo el mismo.
La
primera forma es el algoritmo egipcio de multiplicación es
un algoritmo sencillo que aparece en el papiro
de Rhind, del escriba Ahmes, que data de
1650 a.C. El algoritmo, la forma de multiplicar utilizada en Egipto, se basa en
las duplicaciones. Vamos a mostrar el método con un ejemplo.
-
Un agricultor egipcio, ayudado por su hijo,
ha colocado 35 filas de plantas en su parcela. Si cada fila tiene 43
plantas ¿Cuántas ha plantado en total?
Tomemos los
números 35 y 43. Para multiplicarlos construimos dos filas encabezadas por el 1 y
uno de los factores, por ejemplo el 35. A continuación duplicamos ambos números
para obtener una segunda columna de
números; duplicando ésta obtenemos una tercera, y así sucesivamente. El proceso
se repite hasta que el primer número de la nueva columna así obtenida exceda al otro factor (el 43, en nuestro
ejemplo).
1 2 4 8 16 32
35 70 140 280 560 1120
Ahora lo único que hay que hacer es
seleccionar los números de la primera fila que sumen 43, en nuestro caso son
32, 8, 2 y 1. La suma de los números correspondientes
de la segunda fila nos proporcionará el resultado de la multiplicación: 1120 +
280+70+35 = 1505. Este algoritmo se
fundamenta en la propiedad distributiva, pues
multiplicar 35 x 43 es lo mismo que
multiplicar 35 x (32 + 8 + 4 + 1). Tiene también la
ventaja de que no hace falta construir nuevas filas si queremos multiplicar 35 por otro número.
Por ejemplo, si queremos hacer 35 x 16 basta con coger los números de la
primera fila que sumen 14, es decir, 8, 4 , 2 y sus correspondientes homólogos
que serían 70 + 280 + 140 = 490. Si el número fuera más grande habría que seguir
construyendo la serie. Por ejemplo 35 x 70.
1 2 4 8 16 32
64
35 70 140 280 560 1120 2240
Tomaríamos 2, 4, 64, y sus homólogos 70, 140, 2240 que sumados nos dan 2450.
La imagen nos
muestran 27
por 13, en este caso también se ha usado paralelamente los signos
egipcios. La foto nos
muestra una multiplicación egipcia realizada por niños.
El
segundo algoritmo es el llamado de multiplicación rusa es
un algoritmo clásico llamado así porque se dice que lo utilizaban los
campesinos rusos para realizar multiplicaciones. Lo consideramos adecuado para
los alumnos de Primaria porque todas las operaciones que se hacen son duplicar
y calcular la mitad de los números correspondientes. Vamos a ver con
un ejemplo cómo se realizan estas operaciones. El profesor plantea el problema.
-
Si tu abuelo te da 34 euros cada mes ¿cuánto dinero te da al cabo de un año?
Para resolver
por el método ruso colocamos los números a multiplicar en dos columnas de forma
que en una de ellas vamos calculando la mitad del número correspondiente y en
la otra el doble.
Si al calcular
la mitad salen decimales se redondea al menor entero (la mitad de 17 se
redondea a 8).
|
34
|
12
|
|
17
8
4
2
1
|
24
48
96
192
384
|
Ahora el alumno
tacha los números pares de la
primera columna y sus correspondientes parejas de la segunda; en nuestro caso son: 8, 4 y 2. El resultado
final se obtiene sumando los números no tachados de la derecha es decir: 24 y
384, y nos sale:
|
34
|
12
|
|
17
 8
4
2
1
|
24
48
96
192
 384
|
24 + 384 = 408
Podemos ver que el resultado de este algoritmo es correcto porque multiplicar 34 x 12 es sumar 2 veces 12 (que
son 24) más 32 veces 12 (que son 384), es decir, 34 veces 12 (que son 408).
Sería
interesante mostrar a los alumnos estos algoritmos como ejemplo para trabajar
la historia de las Matemáticas y para que descubran que el que ellos aprenden no es único, no hay una única
forma de encontrar la solución. Una última
tarea:
-
Comprobar que los dos métodos verifican la propiedad conmutativa. Hágalo con los dos
números dados en los ejemplos anteriores.
Este contenido ha
sido extraido de nuestra publicación:
Barrantes, M., Zapata, M. y Barrantes, M.C. (2022). Didáctica de los números y las operaciones
en la Educación Primaria. Ed. Universidad de Piura. Piura (Perú).
PARA LOS MÁS CURIOSOS.
La pregunta para el lector que quiera profundizar más en el algoritmo ruso
sería : - ¿Por qué se toman
solamente los números impares?¿ hay alguna razón matemática? Esbozamos las razones con dos ejemplos. Suponemos que queremos multiplicar 16 x 5 entonces aplicando el
método tendríamos
Podemos observar que calcular la
mitad de uno y el doble del otro no varía el producto, esto es, siempre nos da
el mismo producto 16 x 5, 8 x 10, …1 x 80. Como todos son iguales nos quedamos
con el más sencillo 1 x 80 = 80, luego el resultado es el último número de la
derecha 80.
El problema surge cuando al
calcular la mitad de algún número este sea impar, como en el ejemplo siguiente:
multiplicar 36 x 12
|
|
|
Producto
|
|
36
|
12
|
432
|
|
18
|
24
|
432
|
|
* 9(8)
|
48
|
432
|
|
4
|
96
|
384
|
|
2
|
192
|
384
|
|
1
|
384
|
384
|
En este caso, al calcular la mitad de 9, como se desprecian los decimales,
sería como calcular la mitad de 8 por lo estamos calculando el producto (8/2) x 48 x 2 en lugar de calcular (8/2 + 0.5) x 48 x 2 . Así pues se pierden 0.5 x 48 x 2 . Que son exactamente 48, es decir el valor de la segunda columna cuando el
número es impar, en este caso 9.
Por lo tanto para que el producto sea correcto a 384 finales habrá que
añadirle estos 48 dándonos el resultado correcto 432.
En resumen, cuando haya números impares habrá que señalar dichos números y
sumar sus cantidades parejas al último resultado que es el emparejado con el
1,es decir, sumamos todos los resultados
de la columna derecha cuya número a la izquierda sea impar. De esta forma se
compensan las perdidas originadas en los números impares.
