Los números que se enamoran de su propia imagen. Números narcisistas.

 

Narciso de Michelangelo Merisi da Caravaggio (pintado entre 1597-99)

Dentro de los números curiosos, de los cuales, ya hemos visto algunos en otras entregas, hoy nos vamos a fijar en los números que se enamoran de su propia imagen, es decir, los números narcisistas.

Un número narcisista es aquel que es igual a la suma de sus dígitos elevados a la potencia de su número de cifras.

Por ejemplo, 371 es un número narcisista, ya que si elevamos sus cifras a 3, que es el número de cifras, nos sale el mismo número:

3³ + 7³ + 1³ = 27 + 343 + 1 = 371

También lo es, por ejemplo, 93084 pues elevadas sus cifras a 5 (número de cifras) nos da el mismo número

9⁵ + 3⁵ + 0⁵ + 8⁵ + 4⁵ = 59049 + 243 + 0 + 32768 + 1024 = 93084

 También lo son, todos los que vemos en la siguiente imagen. 

¿Por qué lo de llamar a estos números narcisistas? Su nombre tiene que ver con lo mucho que parecen «quererse a sí mismos. Para quien no lo sepa, el narcisismo es el amor que dirige un sujeto a sí mismo tomado como objeto, y alude al mito de Narciso.

Como ya se habrán imaginado el adjetivo guarda relación con el personaje de la mitología griega Narciso, un joven tan bello, tan bello, que todos los días iba a contemplar su propia belleza reflejada en el agua de un estanque, y tan fascinado quedaba de su propia visión que un día se inclinó tanto que terminó por caer y se ahogó. Dicen que en ese mismo lugar nació una flor, a la que llamaron narciso. En fin ya sabe cómo son los mitos clásicos.

Bueno pues parece ser que lo de narcisistas viene de ahí, de que hay números que se quieren mucho a sí mismos, ¿metáfora matemática?, una afirmación que ignoramos cuánto tendrá de cierto, pero tampoco lo es menos el hecho de que, como números, presentan unas singularidades matemáticas de lo más llamativas y bellas.

Son conocidos también como números de Armstrong, supuestamente por un tal Michael F. Armstrong del que no hay referencia científica fiable y quien pasa por ser su descubridor. Al parecer era un profesor de matemáticas de la Universidad de Rochester, al norte de Nueva York, quien durante una clase puso un ejercicio de este tipo de números a sus alumnos.

 Pero vamos a fijarnos en uno en concreto, el número narcisista 8.208. Este ha alcanzado una cierta fama por haber aparecido en la serie televisiva Los Simpson. Como puede leerse en el libro Los Simpson y las matemáticas del matemático y divulgador Simon Singh, la historia de ese y otros dos números que aparecen en un capítulo de la temporada 17 de esta serie es muy curiosa.

Dentro de la comunidad matemática es conocido que algunos de los guionistas y productores de la serie Los Simpson, así como de la serie Futurama, tienen estudios de matemáticas, y en general, de ciencias, lo que ha motivado que en ambas series aparezcan muchísimas referencias matemáticas. 

Imagen del episodio Marge, Homer y el deporte en pareja, en la que aparecen tres números curiosos, uno de ellos un número narcisista, 8.208

De hecho, solamente hay 88 números narcisistas (como fue demostrado por D. T. Winter, en 1985). Además, el mayor de ellos solamente tiene 39 cifras, es   115.132.219.018.763.992.565.095.597.973.971.522.401.

Y los demás  son los siguientes:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, 54748, 92727, 93084, 548834, 1741725, 4210818, 9800817, 9926315, 24678050, 24678051, 88593477, 146511208, 472335975, 534494836, 912985153, 4679307774, 32164049650, 32164049651, 40028394225, 42678290603, 44708635679, 49388550606, 82693916578, 94204591914, 28116440335967, 4338281769391370, 4338281769391371, 21897142587612075, 35641594208964132, 35875699062250035, 1517841543307505039, 3289582984443187032, 4498128791164624869, 4929273885928088826, 63105425988599693916, 128468643043731391252, 449177399146038697307, 21887696841122916288858, 27879694893054074471405, 27907865009977052567814, 28361281321319229463398, 35452590104031691935943, 174088005938065293023722, 188451485447897896036875, 239313664430041569350093, 1550475334214501539088894, 1553242162893771850669378, 3706907995955475988644380, 3706907995955475988644381, 4422095118095899619457938, 121204998563613372405438066, 121270696006801314328439376, 128851796696487777842012787, 174650464499531377631639254, 177265453171792792366489765, 14607640612971980372614873089, 19008174136254279995012734740, 19008174136254279995012734741, 23866716435523975980390369295, 1145037275765491025924292050346, 1927890457142960697580636236639, 2309092682616190307509695338915, 17333509997782249308725103962772, 186709961001538790100634132976990, 186709961001538790100634132976991, 1122763285329372541592822900204593, 12639369517103790328947807201478392, 12679937780272278566303885594196922, 1219167219625434121569735803609966019, 12815792078366059955099770545296129367, 115132219018763992565095597973971522400 y 115132219018763992565095597973971522401.

El matemático británico G. H. Hardy (1877 – 1947), en su libro Apología de un matemático, dice en referencia a estos números…

Se trata de hechos excepcionales, ideales para las columnas de acertijos y similares que aparecen en la sección de pasatiempos del periódico para entretener a los aficionados a las matemáticas, pero no hay nada en ellos que atraiga mucho a un matemático.

 Nosotros podemos añadir que para nuestros alumnos pueden ser curiosos y divertidos, a la vez que podemos reforzar el estudio de las potencias mientras los alumnos se entretienen.

PARA LOS MÁS CURIOSOS

En este video se nos explica lo que hemos visto en esta entrega.

Bing Vídeos

¿Te ha gustado? No te pierdas ninguna entrada del blog y suscríbete a los avisos por correo electrónico. Puedes hacerlo a la derecha de la página en el enlace Seguir (encuadrado en azul) Sabrás al instante cuándo se ha publicado una entrada nueva.

El tablero de ajedrez y los granos de trigo.

 Thabit ibn Qurrá (836- 901) fue un matemático árabe que tradujo al árabe del original, en griego, varias obras famosas de Apolonio, Arquímides, Euclides y Ptolomeo.

También escribió sobre la teoría de números y él fue el primer matemático en mencionar el famoso problema del ajedrez que hoy nos ocupa y que podemos encontrar también en el capítulo XVI del texto El Hombre que calculaba de  Malba Tahan y cuyo enlace señalamos al final de esta entrega.

Comenzamos:

Cuenta la leyenda que hace mucho tiempo reinaba en cierta parte de la India un rey llamado Sheram.En una de las batallas en las que participó su ejército perdió a su hijo, y eso le dejó profundamente consternado. Nada de lo que le ofrecían sus súbditos lograba alegrarle.

Un buen día un tal Sissa se presentó en su corte y pidió audiencia. El rey la aceptó y Sissa le presentó un juego que, aseguró, conseguiría divertirle y alegrarle de nuevo: el ajedrez. Después de explicarle las reglas y entregarle un tablero con sus piezas el rey comenzó a jugar y se sintió maravillado: jugó y jugó y su pena desapareció en gran parte. Sissa lo había conseguido. Sheram, agradecido por tan preciado regalo, le dijo a Sissa que como recompensa pidiera lo que deseara.

 Sissa, quiero recompensarte dignamente por el ingenioso juego que has inventado, dijo el rey. El sabio contestó con una inclinación. Soy bastante rico como para poder cumplir tu deseo más elevado —continuó diciendo el rey—. Di la recompensa que te satisfaga y la recibirás. Sissa continuó callado. – No seas tímido —le animó el rey—. Expresa tu deseo. No escatimaré nada para satisfacerlo. – Grande es tu magnanimidad, soberano. Pero concédeme un corto plazo para meditar la respuesta. Mañana, tras maduras reflexiones, te comunicaré mi petición.

Cuando al día siguiente Sissa se presentó de nuevo ante el trono, dejó maravillado al rey con su petición, sin precedente por su modestia.

– Soberano —dijo Sissa—, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero del ajedrez. – ¿Un simple grano de trigo? —contestó admirado el rey.
– Sí, soberano. Por la segunda casilla, ordena que me den dos granos; por la tercera, 4;por la cuarta, 8; por la quinta, 16; por la sexta, 32… – Basta —le interrumpió irritado el rey—. Recibirás el trigo correspondiente a las 64 casillas del tablero de acuerdo con tu deseo: por cada casilla doble cantidad que por la precedente.

Pero has de saber que tu petición es indigna de mi generosidad. Al pedirme tan mísera recompensa, menosprecias, irreverente, mi benevolencia. En verdad que, como sabio que eres, deberías haber dado mayor prueba de respeto ante la bondad de tu soberano. Retírate. Mis servidores te sacarán un saco con el trigo que solicitas.
Sissa sonrió, abandonó la sala y quedó esperando a la puerta del palacio.

Durante la comida, el rey se acordó del inventor del ajedrez y envió a que se enteraran de si habían ya entregado al irreflexivo Sissa su mezquina recompensa.

– Soberano, están cumpliendo tu orden —fue la respuesta—. Los matemáticos de la corte calculan el número de granos que le corresponde. El rey frunció el ceño. No estaba acostumbrado a que tardaran tanto en cumplir sus órdenes.

Por la noche, al retirarse a descansar, el rey preguntó de nuevo cuánto tiempo hacía que Sissa había abandonado el palacio con su saco de trigo.– Soberano —le contestaron—, tus matemáticos trabajan sin descanso y esperan terminar los cálculos al amanecer.
– ¿Por qué va tan despacio este asunto? —gritó iracundo el rey—. Que mañana, antes de que me despierte, hayan entregado a Sissa hasta el último grano de trigo. No acostumbro a dar dos veces una misma orden.

Por la mañana comunicaron al rey que el matemático mayor de la corte solicitaba audiencia para presentarle un informe muy importante. El rey mandó que le hicieran entrar.
– Antes de comenzar tu informe —le dijo Sheram—, quiero saber si se ha entregado por fin a Sissa la mísera recompensa que ha solicitado. – Precisamente por eso me he atrevido a presentarme tan temprano —contestó el anciano—. Hemos calculado escrupulosamente la cantidad total de granos que desea recibir Sissa. Resulta una cifra tan enorme… – Sea cual fuere su magnitud —le interrumpió con altivez el rey— mis graneros no empobrecerán. He prometido darle esa recompensa, y por lo tanto, hay que entregársela.
– Soberano, no depende de tu voluntad el cumplir semejante deseo. En todos tus graneros no existe la cantidad de trigo que exige Sissa. Tampoco existe en los graneros de todo el reino. Hasta los graneros del mundo entero son insuficientes. Si deseas entregar sin falta la recompensa prometida, ordena que todos los reinos de la Tierra se conviertan en labrantíos, manda desecar los mares y océanos, ordena fundir el hielo y la nieve que cubren los lejanos desiertos del Norte. Que todo el espacio sea totalmente sembrado de trigo, y ordena que toda la cosecha obtenida en estos campos sea entregada a Sissa. Sólo entonces recibirá su recompensa.

El rey escuchaba lleno de asombro las palabras del anciano sabio.
– Dime cuál es esa cifra tan monstruosa —dijo reflexionando.– ¡Oh, soberano! Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince.

La solución de «fuerza bruta» consiste en duplicar manualmente cada potencia de dos e ir acumulando la sumatoria correspondiente a esta serie geométrica.

donde  corresponde al número total de granos.

Esta serie puede ser expresada como exponentes:

También puede resolverse de forma mucho más fácil por medio de:

resultando:

 granos

Para hacernos una idea de la cantidad de trigo de la que estamos hablando podemos estimar que en un kilo de trigo hay aproximadamente 25.000 granos de trigo (el peso de 1.000 granos de trigo se puede considerar de unos 40 gramos), por lo tanto:

18.446.744.073.709.551.615 granos -> 737.869.762.948.382 Kg

es decir 737.869.762.948 Tm

 Tomando la estimación de producción de trigo para la cosecha de un año actual. Nos sale que serían necesarias las cosechas mundiales totales de algo más de un milenio, es decir ¡¡más de mil años!! para sumar esa cantidad de trigo.

PARA LOS MÁS CURIOSOS

El hombre que calculaba de Malba Tahan podemos encontrarlo en el enlace de abajo aunque para los que le gusten las ediciones en papel  o libro electrónico también es fácil conseguirlo.  

EL HOMBRE QUE CALCULABA