Thabit ibn Qurrá (836- 901) fue un matemático árabe que tradujo al árabe del original, en griego, varias obras famosas de Apolonio, Arquímides, Euclides y Ptolomeo.
También
escribió sobre la teoría de números y él fue el primer matemático en mencionar
el famoso problema del ajedrez que hoy nos ocupa y que podemos encontrar
también en el capítulo XVI del texto El
Hombre que calculaba de Malba Tahan y cuyo enlace señalamos al
final de esta entrega.
Comenzamos:
Cuenta la
leyenda que hace mucho tiempo reinaba en cierta parte de la India un rey
llamado Sheram.En una de las batallas en las que participó su ejército perdió a
su hijo, y eso le dejó profundamente consternado. Nada de lo que le ofrecían
sus súbditos lograba alegrarle.
Un buen día
un tal Sissa se presentó en su corte y pidió audiencia. El rey la aceptó y
Sissa le presentó un juego que, aseguró, conseguiría divertirle y alegrarle de
nuevo: el ajedrez. Después de
explicarle las reglas y entregarle un tablero con sus piezas el rey comenzó a
jugar y se sintió maravillado: jugó y jugó y su pena desapareció en gran parte.
Sissa lo había conseguido. Sheram, agradecido por tan preciado regalo, le dijo
a Sissa que como recompensa pidiera lo que deseara.
Sissa, quiero
recompensarte dignamente por el ingenioso juego que has inventado, dijo el rey. El sabio contestó con una
inclinación. Soy bastante rico como para poder cumplir tu deseo más elevado —continuó diciendo el rey—. Di la
recompensa que te satisfaga y la recibirás. Sissa continuó callado. – No seas tímido —le
animó el rey—. Expresa tu deseo. No escatimaré nada para satisfacerlo.
– Grande es tu magnanimidad, soberano. Pero concédeme un corto
plazo para meditar la respuesta. Mañana, tras maduras reflexiones, te
comunicaré mi petición.
Cuando al
día siguiente Sissa se presentó de nuevo ante el trono, dejó maravillado al rey
con su petición, sin precedente por su modestia.
– Soberano —dijo Sissa—, manda que me entreguen un grano de trigo por
la primera casilla del tablero del ajedrez. – ¿Un simple grano de trigo? —contestó admirado el rey.
– Sí, soberano. Por la segunda casilla,
ordena que me den dos granos; por la tercera, 4;por la cuarta, 8; por la
quinta, 16; por la sexta, 32… – Basta
—le interrumpió irritado el rey—. Recibirás
el trigo correspondiente a las 64 casillas del tablero de acuerdo con tu deseo:
por cada casilla doble cantidad que por la precedente.
Pero has de saber que tu petición es indigna de mi
generosidad. Al pedirme tan mísera recompensa, menosprecias, irreverente, mi
benevolencia. En verdad que, como sabio que eres, deberías haber dado mayor
prueba de respeto ante la bondad de tu soberano. Retírate. Mis servidores te
sacarán un saco con el trigo que solicitas.
Sissa sonrió, abandonó la sala y quedó esperando a la puerta del palacio.
Durante la
comida, el rey se acordó del inventor del ajedrez y envió a que se enteraran de
si habían ya entregado al irreflexivo Sissa su mezquina recompensa.
– Soberano, están cumpliendo tu orden —fue la
respuesta—. Los matemáticos de la corte calculan el número de granos que le
corresponde. El rey frunció
el ceño. No estaba acostumbrado a que tardaran tanto en cumplir sus órdenes.
Por la noche, al retirarse a descansar, el rey
preguntó de nuevo cuánto tiempo hacía que Sissa había abandonado el palacio con
su saco de trigo.– Soberano —le contestaron—, tus matemáticos trabajan sin
descanso y esperan terminar los cálculos al amanecer.
– ¿Por qué va tan despacio este asunto? —gritó iracundo el rey—. Que mañana,
antes de que me despierte, hayan entregado a Sissa hasta el último grano de
trigo. No acostumbro a dar dos veces una misma orden.
Por la mañana comunicaron al rey que el matemático
mayor de la corte solicitaba audiencia para presentarle un informe muy
importante. El rey mandó que le hicieran entrar.
– Antes de comenzar tu informe —le dijo Sheram—, quiero saber si
se ha entregado por fin a Sissa la mísera recompensa que ha solicitado.
– Precisamente por eso me he atrevido a presentarme tan temprano —contestó el anciano—. Hemos
calculado escrupulosamente la cantidad total de granos que desea recibir Sissa.
Resulta una cifra tan enorme… – Sea cual fuere su magnitud —le interrumpió con altivez el rey—
mis graneros no empobrecerán. He prometido darle esa recompensa, y por lo
tanto, hay que entregársela.
– Soberano, no depende de tu voluntad el cumplir semejante deseo.
En todos tus graneros no existe la cantidad de trigo que exige Sissa. Tampoco
existe en los graneros de todo el reino. Hasta los graneros del mundo entero
son insuficientes. Si deseas entregar sin falta la recompensa prometida, ordena
que todos los reinos de la Tierra se conviertan en labrantíos, manda desecar
los mares y océanos, ordena fundir el hielo y la nieve que cubren los lejanos
desiertos del Norte. Que todo el espacio sea totalmente sembrado de trigo, y
ordena que toda la cosecha obtenida en estos campos sea entregada a Sissa. Sólo
entonces recibirá su recompensa.
El rey escuchaba lleno de asombro las palabras del
anciano sabio.
– Dime cuál es esa cifra tan monstruosa —dijo reflexionando.– ¡Oh,
soberano! Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos
cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones
quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince.
La solución de «fuerza bruta» consiste en duplicar manualmente cada potencia de dos e ir acumulando la sumatoria correspondiente a esta serie geométrica.
donde 
Esta serie
puede ser expresada como exponentes:
También
puede resolverse de forma mucho más fácil por medio de:
resultando:
granosPara
hacernos una idea de la cantidad de trigo de la que estamos hablando podemos
estimar que en un kilo de trigo hay aproximadamente 25.000 granos de trigo (el
peso de 1.000 granos de trigo se puede considerar de unos 40 gramos), por lo
tanto:
18.446.744.073.709.551.615
granos -> 737.869.762.948.382 Kg
es decir
737.869.762.948 Tm
Tomando la estimación de producción de trigo
para la cosecha de un año actual. Nos sale que serían necesarias las cosechas mundiales totales de algo más de un milenio, es
decir ¡¡más de mil años!! para
sumar esa cantidad de trigo.
PARA LOS MÁS CURIOSOS
El hombre
que calculaba de Malba
Tahan podemos
encontrarlo en el enlace de abajo aunque para los que le gusten las ediciones
en papel o libro electrónico también es
fácil conseguirlo.
