Los números que se enamoran de su propia imagen. Números narcisistas.

 

Narciso de Michelangelo Merisi da Caravaggio (pintado entre 1597-99)

Dentro de los números curiosos, de los cuales, ya hemos visto algunos en otras entregas, hoy nos vamos a fijar en los números que se enamoran de su propia imagen, es decir, los números narcisistas.

Un número narcisista es aquel que es igual a la suma de sus dígitos elevados a la potencia de su número de cifras.

Por ejemplo, 371 es un número narcisista, ya que si elevamos sus cifras a 3, que es el número de cifras, nos sale el mismo número:

3³ + 7³ + 1³ = 27 + 343 + 1 = 371

También lo es, por ejemplo, 93084 pues elevadas sus cifras a 5 (número de cifras) nos da el mismo número

9⁵ + 3⁵ + 0⁵ + 8⁵ + 4⁵ = 59049 + 243 + 0 + 32768 + 1024 = 93084

 También lo son, todos los que vemos en la siguiente imagen. 

¿Por qué lo de llamar a estos números narcisistas? Su nombre tiene que ver con lo mucho que parecen «quererse a sí mismos. Para quien no lo sepa, el narcisismo es el amor que dirige un sujeto a sí mismo tomado como objeto, y alude al mito de Narciso.

Como ya se habrán imaginado el adjetivo guarda relación con el personaje de la mitología griega Narciso, un joven tan bello, tan bello, que todos los días iba a contemplar su propia belleza reflejada en el agua de un estanque, y tan fascinado quedaba de su propia visión que un día se inclinó tanto que terminó por caer y se ahogó. Dicen que en ese mismo lugar nació una flor, a la que llamaron narciso. En fin ya sabe cómo son los mitos clásicos.

Bueno pues parece ser que lo de narcisistas viene de ahí, de que hay números que se quieren mucho a sí mismos, ¿metáfora matemática?, una afirmación que ignoramos cuánto tendrá de cierto, pero tampoco lo es menos el hecho de que, como números, presentan unas singularidades matemáticas de lo más llamativas y bellas.

Son conocidos también como números de Armstrong, supuestamente por un tal Michael F. Armstrong del que no hay referencia científica fiable y quien pasa por ser su descubridor. Al parecer era un profesor de matemáticas de la Universidad de Rochester, al norte de Nueva York, quien durante una clase puso un ejercicio de este tipo de números a sus alumnos.

 Pero vamos a fijarnos en uno en concreto, el número narcisista 8.208. Este ha alcanzado una cierta fama por haber aparecido en la serie televisiva Los Simpson. Como puede leerse en el libro Los Simpson y las matemáticas del matemático y divulgador Simon Singh, la historia de ese y otros dos números que aparecen en un capítulo de la temporada 17 de esta serie es muy curiosa.

Dentro de la comunidad matemática es conocido que algunos de los guionistas y productores de la serie Los Simpson, así como de la serie Futurama, tienen estudios de matemáticas, y en general, de ciencias, lo que ha motivado que en ambas series aparezcan muchísimas referencias matemáticas. 

Imagen del episodio Marge, Homer y el deporte en pareja, en la que aparecen tres números curiosos, uno de ellos un número narcisista, 8.208

De hecho, solamente hay 88 números narcisistas (como fue demostrado por D. T. Winter, en 1985). Además, el mayor de ellos solamente tiene 39 cifras, es   115.132.219.018.763.992.565.095.597.973.971.522.401.

Y los demás  son los siguientes:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, 54748, 92727, 93084, 548834, 1741725, 4210818, 9800817, 9926315, 24678050, 24678051, 88593477, 146511208, 472335975, 534494836, 912985153, 4679307774, 32164049650, 32164049651, 40028394225, 42678290603, 44708635679, 49388550606, 82693916578, 94204591914, 28116440335967, 4338281769391370, 4338281769391371, 21897142587612075, 35641594208964132, 35875699062250035, 1517841543307505039, 3289582984443187032, 4498128791164624869, 4929273885928088826, 63105425988599693916, 128468643043731391252, 449177399146038697307, 21887696841122916288858, 27879694893054074471405, 27907865009977052567814, 28361281321319229463398, 35452590104031691935943, 174088005938065293023722, 188451485447897896036875, 239313664430041569350093, 1550475334214501539088894, 1553242162893771850669378, 3706907995955475988644380, 3706907995955475988644381, 4422095118095899619457938, 121204998563613372405438066, 121270696006801314328439376, 128851796696487777842012787, 174650464499531377631639254, 177265453171792792366489765, 14607640612971980372614873089, 19008174136254279995012734740, 19008174136254279995012734741, 23866716435523975980390369295, 1145037275765491025924292050346, 1927890457142960697580636236639, 2309092682616190307509695338915, 17333509997782249308725103962772, 186709961001538790100634132976990, 186709961001538790100634132976991, 1122763285329372541592822900204593, 12639369517103790328947807201478392, 12679937780272278566303885594196922, 1219167219625434121569735803609966019, 12815792078366059955099770545296129367, 115132219018763992565095597973971522400 y 115132219018763992565095597973971522401.

El matemático británico G. H. Hardy (1877 – 1947), en su libro Apología de un matemático, dice en referencia a estos números…

Se trata de hechos excepcionales, ideales para las columnas de acertijos y similares que aparecen en la sección de pasatiempos del periódico para entretener a los aficionados a las matemáticas, pero no hay nada en ellos que atraiga mucho a un matemático.

 Nosotros podemos añadir que para nuestros alumnos pueden ser curiosos y divertidos, a la vez que podemos reforzar el estudio de las potencias mientras los alumnos se entretienen.

PARA LOS MÁS CURIOSOS

En este video se nos explica lo que hemos visto en esta entrega.

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El tablero de ajedrez y los granos de trigo.

 Thabit ibn Qurrá (836- 901) fue un matemático árabe que tradujo al árabe del original, en griego, varias obras famosas de Apolonio, Arquímides, Euclides y Ptolomeo.

También escribió sobre la teoría de números y él fue el primer matemático en mencionar el famoso problema del ajedrez que hoy nos ocupa y que podemos encontrar también en el capítulo XVI del texto El Hombre que calculaba de  Malba Tahan y cuyo enlace señalamos al final de esta entrega.

Comenzamos:

Cuenta la leyenda que hace mucho tiempo reinaba en cierta parte de la India un rey llamado Sheram.En una de las batallas en las que participó su ejército perdió a su hijo, y eso le dejó profundamente consternado. Nada de lo que le ofrecían sus súbditos lograba alegrarle.

Un buen día un tal Sissa se presentó en su corte y pidió audiencia. El rey la aceptó y Sissa le presentó un juego que, aseguró, conseguiría divertirle y alegrarle de nuevo: el ajedrez. Después de explicarle las reglas y entregarle un tablero con sus piezas el rey comenzó a jugar y se sintió maravillado: jugó y jugó y su pena desapareció en gran parte. Sissa lo había conseguido. Sheram, agradecido por tan preciado regalo, le dijo a Sissa que como recompensa pidiera lo que deseara.

 Sissa, quiero recompensarte dignamente por el ingenioso juego que has inventado, dijo el rey. El sabio contestó con una inclinación. Soy bastante rico como para poder cumplir tu deseo más elevado —continuó diciendo el rey—. Di la recompensa que te satisfaga y la recibirás. Sissa continuó callado. – No seas tímido —le animó el rey—. Expresa tu deseo. No escatimaré nada para satisfacerlo. – Grande es tu magnanimidad, soberano. Pero concédeme un corto plazo para meditar la respuesta. Mañana, tras maduras reflexiones, te comunicaré mi petición.

Cuando al día siguiente Sissa se presentó de nuevo ante el trono, dejó maravillado al rey con su petición, sin precedente por su modestia.

– Soberano —dijo Sissa—, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero del ajedrez. – ¿Un simple grano de trigo? —contestó admirado el rey.
– Sí, soberano. Por la segunda casilla, ordena que me den dos granos; por la tercera, 4;por la cuarta, 8; por la quinta, 16; por la sexta, 32… – Basta —le interrumpió irritado el rey—. Recibirás el trigo correspondiente a las 64 casillas del tablero de acuerdo con tu deseo: por cada casilla doble cantidad que por la precedente.

Pero has de saber que tu petición es indigna de mi generosidad. Al pedirme tan mísera recompensa, menosprecias, irreverente, mi benevolencia. En verdad que, como sabio que eres, deberías haber dado mayor prueba de respeto ante la bondad de tu soberano. Retírate. Mis servidores te sacarán un saco con el trigo que solicitas.
Sissa sonrió, abandonó la sala y quedó esperando a la puerta del palacio.

Durante la comida, el rey se acordó del inventor del ajedrez y envió a que se enteraran de si habían ya entregado al irreflexivo Sissa su mezquina recompensa.

– Soberano, están cumpliendo tu orden —fue la respuesta—. Los matemáticos de la corte calculan el número de granos que le corresponde. El rey frunció el ceño. No estaba acostumbrado a que tardaran tanto en cumplir sus órdenes.

Por la noche, al retirarse a descansar, el rey preguntó de nuevo cuánto tiempo hacía que Sissa había abandonado el palacio con su saco de trigo.– Soberano —le contestaron—, tus matemáticos trabajan sin descanso y esperan terminar los cálculos al amanecer.
– ¿Por qué va tan despacio este asunto? —gritó iracundo el rey—. Que mañana, antes de que me despierte, hayan entregado a Sissa hasta el último grano de trigo. No acostumbro a dar dos veces una misma orden.

Por la mañana comunicaron al rey que el matemático mayor de la corte solicitaba audiencia para presentarle un informe muy importante. El rey mandó que le hicieran entrar.
– Antes de comenzar tu informe —le dijo Sheram—, quiero saber si se ha entregado por fin a Sissa la mísera recompensa que ha solicitado. – Precisamente por eso me he atrevido a presentarme tan temprano —contestó el anciano—. Hemos calculado escrupulosamente la cantidad total de granos que desea recibir Sissa. Resulta una cifra tan enorme… – Sea cual fuere su magnitud —le interrumpió con altivez el rey— mis graneros no empobrecerán. He prometido darle esa recompensa, y por lo tanto, hay que entregársela.
– Soberano, no depende de tu voluntad el cumplir semejante deseo. En todos tus graneros no existe la cantidad de trigo que exige Sissa. Tampoco existe en los graneros de todo el reino. Hasta los graneros del mundo entero son insuficientes. Si deseas entregar sin falta la recompensa prometida, ordena que todos los reinos de la Tierra se conviertan en labrantíos, manda desecar los mares y océanos, ordena fundir el hielo y la nieve que cubren los lejanos desiertos del Norte. Que todo el espacio sea totalmente sembrado de trigo, y ordena que toda la cosecha obtenida en estos campos sea entregada a Sissa. Sólo entonces recibirá su recompensa.

El rey escuchaba lleno de asombro las palabras del anciano sabio.
– Dime cuál es esa cifra tan monstruosa —dijo reflexionando.– ¡Oh, soberano! Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince.

La solución de «fuerza bruta» consiste en duplicar manualmente cada potencia de dos e ir acumulando la sumatoria correspondiente a esta serie geométrica.

donde  corresponde al número total de granos.

Esta serie puede ser expresada como exponentes:

También puede resolverse de forma mucho más fácil por medio de:

resultando:

 granos

Para hacernos una idea de la cantidad de trigo de la que estamos hablando podemos estimar que en un kilo de trigo hay aproximadamente 25.000 granos de trigo (el peso de 1.000 granos de trigo se puede considerar de unos 40 gramos), por lo tanto:

18.446.744.073.709.551.615 granos -> 737.869.762.948.382 Kg

es decir 737.869.762.948 Tm

 Tomando la estimación de producción de trigo para la cosecha de un año actual. Nos sale que serían necesarias las cosechas mundiales totales de algo más de un milenio, es decir ¡¡más de mil años!! para sumar esa cantidad de trigo.

PARA LOS MÁS CURIOSOS

El hombre que calculaba de Malba Tahan podemos encontrarlo en el enlace de abajo aunque para los que le gusten las ediciones en papel  o libro electrónico también es fácil conseguirlo.  

EL HOMBRE QUE CALCULABA

 

El Mundo de Mondrian y las Matemáticas.

 

Piet Mondrian (Amersfoort 1872, Nueva York 1944) fue un pintor vanguardista neerlandés. Comenzó su carrera como maestro de educación primaria, pero mientras enseñaba también practicaba la pintura. La mayor parte de su trabajo naturalista o impresionista está constituida por paisajes evolucionando posteriormente hacía la pintura abstracta que es la que le dio la fama mundialmente. Mostramos algunos cuadros de esta etapa.

La obra de Mondrian ha sido siempre un recurso importante para estudiar la Geometría desde los niveles de Primaria incluso hasta la Secundaria.  Mondrian es  ideal para cuando se trabaje en el aula la línea recta, las formas básicas y los colores primarios  pues  él las utiliza  en muchos de sus cuadros, y de ello nos podremos servir para vincular su aprendizaje con la obra del pintor. Así, los niños pueden hacer sus propias creaciones y aprender sobre este gran pintor a través de su biografía y sus obras.

Los alumnos pueden observar cuadros del pintor e identificar las formas geométricas que utiliza. Se puede estudiar la biografía del pintor profundizando según el nivel del curso. Y también, atendiendo al nivel, pueden realizar sus propios cuadros con diferentes materiales (bloques lógicos, cartulinas, pintura, bolitas de papel, palos …) como mostramos en las fotografías. Posteriormente podemos realizar una exposición, en la fiesta del centro,  para mostrar los cuadros realizados a la comunidad educativa, compañeros y padres.   

Es importante hacer observar a los alumnos la atemporalidad del arte. Podemos mostrar un cuadro y preguntarles en qué año creen ha sido pintado. Tengamos en cuenta que los cuadros mostrados son del 1920 a  alrededor del 1930 ¿parecen tan antiguos?

El cuadro que mostramos abajo, preguntado a los estudiantes para maestros, sobre la fecha de realización,   siempre daban fechas de este siglo, cuando realmente fue pintado casi un siglo antes. Hagan la prueba.  Esto nos demuestra que el arte no tiene edad, cuando es arte.

Composición en rojo, amarillo, azul y negro, Piet Mondrian, (1926)

 Los alumnos deben conocer que en el mundo de los diseños Mondrian ha influido y sigue influyendo mostrándose en diferentes objetos y decoraciones como muestran las fotografías. También, nuestro autor ha tenido cabida en la moda como en los diseños de Yves Saint Laurent. 

Vale la pena enseñar las matemáticas de una forma divertida utilizando con recurso las obras de este gran pintor.

PARA LOS MÁS CURIOSOS

Es muy fácil encontrar actividades para niños y objetos relacionados con Mondrian en internet.

Con  las palabras claves Modrian niños infantil y  objetos modrian  obtenemos un buen número de páginas y videos útiles para nuestra enseñanza. Mostramos algunas:

Bing Vídeos 

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Desde bolsos a fundas de iPhone: por qué tienes a Mondrian hasta en la sopa

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El Triángulo de Kanizsa

 

“Vemos tanto con nuestro cerebro como con nuestros ojos.”

Sandra J. Kuhlman.

El Triángulo de Kanizsa es una ilusión óptica descrita por primera vez por el psicólogo italiano Gaetano Kanizsa en 1955.​ En la figura de arriba se percibe un triángulo equilátero blanco, pero de hecho no existe ninguno. Este efecto es conocido como contorno subjetivo. En la ilusión visual el inexistente triángulo blanco parece ser más brillante que el área circundante, aunque tienen el mismo brillo.

Si percibimos algo incompleto lo completamos con nuestra mente. Nuestra percepción tiende a entender como formas completas todos aquellos trazados que presenten (aunque con cortes) una forma que visualmente entendamos como probable. 

Para comprobar que es una ilusión óptica y que nuestra mente tiende a formar el triángulo basta con tapar dos objetos  o aislar un elemento para ver que el triángulo desaparece como hemos hecho en las fotografías inferiores. 

Estas son algunas variaciones que están basadas en el triángulo de Kanizsa. En la primera podemos ver una esfera que no existe, en la segunda aparece el triángulo sobre las agujas del reloj y en la tercera observamos claramente un cuadrado que no existe. 

Otro trabajo de Kanizsa es este par de figuras (de 1979). En la de la izquierda los trozos podrían formar un cubo de Necker pero para distinguirlo es necesario un gran esfuerzo. En la de la derecha, sin embargo, la disposición de los trozos y, sobre todo, la ausencia de algunos contornos dan lugar a que aparezcan bandas oblicuas "vacías" muy claramente.

 Este tema podemos trabajarlo con los alumnos, como motivación para el estudio de las formas geométricas. Una actividad motivante para los alumnos sería buscar en internet,  dibujar o construir mediante collages ilusiones ópticas y estudiar el porqué ocurren éstas.

PARA LOS MÁS CURIOSOS

Gaetano Kanizsa (1913-1993) fue un importante psicólogo e investigador italiano. Fundó el Instituto de psicología de la Universidad de Trieste y fue uno de las figuras más influyentes de la investigación en Psicología en Italia.

Gramática de la Visión. Percepción y pensamiento (Gaetano Kanizsa). Paidós, 1986. Recoge muchos de sus brillantes ejemplos de figuras con contornos ilusorios y se puede consultar en:

https://teoriadelaimagenfcps.files.wordpress.com/2016/09/kanizsa-gaetano-gramatica-de-la-vision-cap-1-y-2.pdf

Matemáticas en las tapas de alcantarilla.

 

Buscando ejemplos para relacionar la geometría que se estudia en la Primaria con los objetos de la vida ordinaria, traemos hoy el de las tapas de alcantarillas.

Nos preguntamos ¿porqué las tapas de las alcantarillas son redondas? La razón matemática es muy sencilla además de ser una razón de seguridad, pues estas tapas cierran agujeros de alcantarillas en las que los obreros tienen acceso. Así pues  lo importante es que no se nos caiga la tapa por el agujero.

 Para que la tapa no caiga necesitamos una forma geométrica de la tapa que tenga anchura constante que en los círculos es el diámetro. Esto implica, en nuestro caso, que si colocamos la tapa en el agujero de la alcantarilla, es imposible que dicha tapa entre por el agujero.

Si la tapa fuera cuadrada o rectangular entonces la anchura no es constante, ya que, por ejemplo, la distancia de la diagonal es mayor que cualquiera de los lados ( por Pitágoras). Así pues, la tapa cabe por el agujero si la metemos en diagonal, por lo que corremos el riesgo de que se nos caiga por él y cause algún accidente.  Si fuera cuadrada, un bromista podría sostener la cubierta en diagonal sobre el agujero y dejarla caer, para ser seguido por quién sabe cuántos  peatones.

Efectivamente podemos encontrar tapas cuadradas o rectangulares pero estas se utilizan para tapar agujeros con muy poca profundidad, pues si no colocamos bien la tapa, o se nos resbala y se nos cae, podremos cogerla fácilmente.           

Explicada la razón podemos preguntarnos si hay otras formas que pueden ser utilizadas como tapas. La respuestas es sí, basta que cumplan la propiedad de anchura constante.

 Así encontramos el triángulo de Reuleaux que es una curva de anchura constante basada en un triángulo equilátero. Este triángulo de Reuleaux es fácil de construir. Partimos de un triángulo equilátero y después trazamos tres circunferencias cuyo centro sea cada uno de los vértices y cuyo radio sea el lado del triángulo, como vemos en la figura.

De esta forma tenemos otra figura además del círculo que cumplen que la anchura es constante. ¿Habrá en algún sitio tapas de alcantarilla con esta forma? Aquí tenemos unas tapas que se encuentra en San Francisco. 

Por último sería interesante hacer observar a los alumnos la cantidad de tapas que hay en los suelos de nuestras ciudades. Podrían estudiar la forma de cada una, así como la utilidad. 

PARA LOS MÁS CURIOSOS.

Hay mucha literatura en internet sobre los polígonos de Reuleaux , que son polígonos   de anchura constante, y sus aplicaciones en la vida ordinaria (monedas, taladradoras …). Una muestra es el  enlace que adjuntamos.

Triángulos de Reuleaux y otras curvas de ancho constante | divulgadores.com

MÁGICO 1089

 

Hay números MÁGICOS incluso podíamos decir que misteriosos, pero que a la vez nos sirven para divertirnos y hacer trabajar las matemáticas como el que nos ocupa. 

Escribe un número de tres cifras que unidades y centenas no sean iguales, por ejemplo: 428 y ahora ordénalo de forma ascendente y descendiente 248 y 842 ahora los restamos y nos da 594. Ahora sumamos este número con su inverso 495 es decir 594+495  nos da como resultado 1089.

 Pues elijas el número que elijas  DE TRES CIFRAS NO CAPICÚAS siempre obtendrás el mismo resultado  al realizar esas operaciones.

 También se pueden elegir números como 003 o 300  hay que tener en cuenta que el cero también cuenta como dígito, por ejemplo:

 Elegimos 003, inverso :  300  luego    300-003 = 297   ahora sumamos 297 +792 y obtenemos 1089.

Este número tiene, también, una curiosidad si hacemos la tabla de multiplicar de este número obtenemos en las unidades, decenas, centenas y unidades de millar, las diez cifras del 0 al 9 ordenadas, puedes observar que cada columna sigue un orden numérico.

Observamos que la columna de las unidades es 9,8,7,6,… y la columna de millar 1, 2, 3, 4, … e igualmente las otras dos.

1 x 1089 = 1 0 8 9

2 x 1089 = 2 1 7 8

3 x 1089 = 3 2 6 7

4 x 1089 = 4 3 5 6

5 x 1089 = 5 4 4 5

6 x 1089 = 6 5 3 4

7 x 1089 = 7 6 2 3

8 x 1089 = 8 7 1 2

9 x 1089 = 9 8 0 1

Si calculamos el inverso es decir 1/ 1089 obtenemos 0,00 09 18 27 36 45 54 … ¿no será la tabla del nueve?.

Y si hacemos 1/ 9801 obtenemos 0, 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 … ¿estamos enumerando los números naturales?

Estas curiosidades de los números como el 1089 se pueden aprovechar en el aula, si eres maestro, para trabajar con la calculadora con el factor constante, o simplemente como trabajos de investigación en los que los alumnos descubran, por ejemplo: que propiedades se dan si construimos la tabla de multiplicar de este número, o otras muchas que hay en internet sobre este número, como las que mostramos.

PARA LOS MÁS CURIOSOS

Esta página es muy divertida pues el autor nos enseña un truco para hacer magia con los amigos y dejarlos muy sorprendidos, usando el número 1089. Merece la pena verlo, aprenderlo y hacerlo.  Además nos explica la razón matemática de que nos salga siempre 1089 al hacer esas operaciones.

El NÚMERO MÁGICO 🎩 💫 1089 - Bing video

Para los que todavía no queden a gusto este video que ya riza el rizo rizado.

¡EL MARAVILLOSO NÚMERO 1089!

Publicidad y Simetría

 

La simetría ha sido siempre un concepto que muestra regularidad lo que se traduce en estados placenteros y agradables a los sentidos, en particular la vista. Este hecho ha sido utilizado por distintas marcas que hacen publicidad para millones de clientes, en muchos casos, y para captar otros tantos.

Vamos a desarrollar esto mejor con varios ejemplos. Si observamos las distintas publicidades de relojes que mostramos ¿podríamos decir que tienen en común? Hagamos el esfuerzo sin leer más abajo. 

  

Evidentemente el elemento común es que todas las esferas marcan las 10 y 10. Si buscamos más ejemplos en internet podemos observar que es la tendencia general en casi el cien por ciento de los casos ¿Cúal es la razón?  

Al mirar un reloj que marca esta hora parece que la esfera está sonriendo, con lo que esa simetría transmite una emoción positiva y, por tanto, contribuye de forma subliminal a construir una imagen de marca más amable y amena.

Es la misma razón por lo que los logotipos de empresas utilizan la sonrisa simétrica para sus logos.

Según el propio departamento de marketing de la compañía Danone, la sonrisa es símbolo de salud y bienestar, los valores que precisamente trata de transmitir la marca . Su color rojo sugiere la idea de "sabor" (combinado éste con la "frescura" del color azul). La boca sonriente transmite además la idea de vitalidad, alegría, optimismo, amistad, juventud e infancia.

Tenemos pues otros ejemplos de cómo las matemáticas se relacionan con la vida ordinaria mediante la publicidad y el marketing para hacernos más consumidores de sus productos. Esto puede dar lugar a establecer un debate con los alumnos, sobre la influencia de la publicidad en nuestras vidas y las herramientas utilizadas por ésta para convencernos mejor.    

 Por otra parte, buscando ejemplos para que los alumnos de Primaria y los estudiantes para profesores trabajen la Simetría, encontramos estos otros que vamos a comentar.

Podemos estudiar la simetría en el cuerpo y en particular en el rostro. Si nos fijamos un rostro simétrico es el que tiene las facciones compensadas, equilibradas y en armonía. Las facciones de la cara son cada uno de los rasgos que forman el rostro: cejas, ojos, nariz, mejillas, boca, labios, dientes, piel y barbilla. Sin embargo, ningún humano tiene la cara perfectamente simétrica, y por simetría nos referimos a que el lado izquierdo de la cara es idéntico al derecho, y las facciones colocadas a la misma distancia y altura de un eje que pasaría por medio de la nariz.

Varios fotógrafos han demostrado que si en una foto tomamos el lado izquierdo de la cara de una persona, y mediante el efecto espejo le damos la vuelta para construir un rostro con dos lados izquierdos (igualmente se hace con el derecho), el efecto que se produce es distinto a la cara normal como podemos ver en las fotografías.  

Diversos estudios han demostrados que los seres humanos se sienten más atraídos a las caras que tienen una mejor simetría que las que no la tienen, pero ¿seríamos más atrayentes si nuestra cara fuera perfectamente simétrica? Ahí dejamos la pregunta. 

Este efecto ha sido utilizado por la publicidad para diversos productos como el ejemplo de automóviles, de hace ya unos años, que mostramos.

 Aparte de estos ejemplos, hay todo un mundo simétrico en la publicidad actual  que los alumnos pueden descubrir mediante indagaciones en internet y trabajando en grupos.  

Esta es una forma muy didáctica y divertida de estudiar la Simetría, a la vez que le damos su importancia y utilidad en la vida ordinaria. Os invitamos, a los profesores, a que la pongáis en práctica.