¿Por qué una hora tiene 60 minutos y no 100?

 

¿Alguna vez te has preguntado por qué una hora tiene 60 minutos y no, 100? ¿De dónde viene esa curiosa elección y por qué tomó el número 60 como base? Pues bien, la respuesta no está en los relojes modernos, ni en la tecnología, ni siquiera en las matemáticas actuales.

De hecho, para encontrar la explicación, es necesario que viajemos miles de años atrás, a las civilizaciones antiguas de Mesopotamia y que prestemos atención a un detalle muy curioso que está, literalmente, al alcance de tus manos.

Sí, estamos hablando de tus dedos y las falanges que los componen: gracias a ellos y a la forma en que entendieron esas divisiones los antiguos mesopotámicos es que tenemos una forma tan precisa de medir el tiempo.

Pero para entender por qué las horas tienen 60 minutos y los minutos 60 segundos, primero debemos hablar del sistema sexagesimal, es decir, una forma de contar basada en el número 60. Este sistema fue desarrollado por los babilonios, una civilización que floreció hace más de 4,000 años en la región que hoy conocemos como Irak. Pero, ¿por qué eligieron este sistema y no otro?

La respuesta está en algo muy práctico: las manos humanas. En lugar de usar ambas manos para contar hasta 10, como hacemos ahora, los babilonios usaban una mano para contar las divisiones de los dedos de la otra mano. Si miras tu mano, verás que cada dedo (excepto el pulgar) tiene tres falanges o secciones. Usando el pulgar como un "marcador", puedes contar hasta 12 divisiones en una sola mano. Es decir, tendrás 3 para cada dedo, pero como usas el pulgar para contar, solo cuatro dedos hábiles y, en total, 12 fracciones disponibles.

 Ahora bien, ¿de dónde viene el 60? De usar la otra mano, la que tienes libre. De esta forma, si con la otra mano llevas la cuenta de cuántas veces completaste un ciclo de 12, puedes contar hasta 60 (12 x 5 = 60). En otras palabras, debes bajar un dedo de tu mano libre cada vez que marcas con el pulgar de la otra las 12 falanges. De esta forma, cuando hayas bajado todos los dedos de la mano, habrás contado un total de 60 divisiones con la otra.

Pero la idea de dividir el tiempo también se basó en esta lógica. Los babilonios ya habían dividido el día en 24 horas (probablemente influenciados por los egipcios y sus observaciones astronómicas que ya lo dividieron en 24 horas), y para subdividir esas horas, recurrieron a su familiar sistema sexagesimal. De esta manera, cada hora se dividió en 60 minutos, y cada minuto, a su vez, en 60 segundos. ¡Todo gracias a la forma en que contamos con nuestras manos!

Su facilidad de uso, sin embargo, es evidente. Sesenta se puede dividir entre uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, 10, 12, 15, 20, 30 y 60 sin necesidad de fracciones ni decimales.

En contraste, el 10 solo se puede dividir entre uno, dos, cinco y 10; sus ventajas comienzan a hacerse patentes.

Por ejemplo, en sistema sexagesimal, la mitad son 30, y la tercera parte 20 y la  cuarto parte son 15 y sin embargo en sistema decimal, la mitad sería 5, la tercera y cuarta parte ya son decimales.

La alta divisibilidad del 60 facilita la realización de fracciones. A diferencia de un sistema decimal (base 10), donde muchas fracciones resultan en decimales infinitos, el sistema sexagesimal permite representar muchas fracciones con números enteros, lo que simplificaba enormemente los cálculos astronómicos y la medición del tiempo, cruciales para la civilización babilónica. Esta eficiencia fue una de las principales razones por las que el sistema sexagesimal se extendió y perduró a lo largo de la historia.

Si bien no hay evidencia directa de que los sumerios midieran el tiempo con relojes, su sistema numérico fue adoptado y adaptado por civilizaciones posteriores.

Sin embargo,  no podemos olvidar que en octubre de 1793, la recién establecida República Francesa se embarcó en un experimento desafortunado. Decidió cambiar el tiempo.

Los revolucionarios decidieron que el día se dividiría ahora en 10 horas, no en 24. Cada hora tendría 100 minutos decimales, que a su vez estarían compuestos por 100 segundos decimales.

El sistema horario formaba parte de un calendario revolucionario más amplio que buscaba racionalizar (y descristianizar) la estructura del año, incluyendo una nueva semana de 10 días.

Pronto se comenzó a trabajar en la conversión de los relojes existentes al sistema decimal. Los ayuntamientos instalaron relojes decimales y las actividades oficiales se registraron utilizando el nuevo calendario.

Según Finn Burridge, divulgador científico de los Museos Reales de Greenwich en Londres, Reino Unido, sede del Real Observatorio y lugar donde se estableció el meridiano de Greenwich, esto no tardó en provocar un sinfín de quebraderos de cabeza.

Rediseñar y adaptar los relojes existentes resultó extremadamente complicado. El sistema aisló a Francia de los países vecinos, mientras que la población rural detestaba que el día de descanso se limitara a cada décimo día.

Finalmente, el sistema decimal duró poco más de un año en Francia.

 

La fusión de estas tradiciones –la división egipcia del día y el sistema sexagesimal mesopotámico para las subdivisiones– sentó las bases del sistema que perdura hasta hoy. Su practicidad para cálculos astronómicos y su arraigo cultural demostraron ser más fuertes que el intento de imponer una lógica puramente decimal. Así, un legado de más de 4.000 años de antigüedad sigue marcando el ritmo de nuestras vidas, demostrando que algunas convenciones, por muy arbitrarias que parezcan, trascienden a las civilizaciones que las crearon.

Hay varios videos en Internet para poder trabajar estas razones con los alumnos, como muestra proponemos los enlaces:

Bing Vídeos

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El hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci

 

Mucho hemos oído hablar del Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci. Hoy vamos a aclarar quién era Vitruvio y estudiar dicho famoso dibujo de Leonardo. 

Marco Vitruvio Polión (c. 80 a.C.–15 a.C.) fue un arquitecto, ingeniero y escritor romano, conocido por su tratado De Architectura, la obra más antigua sobre arquitectura que se conserva y única de la Antigüedad clásica En ella, Vitruvio analiza materiales, técnicas constructivas, tipos de edificios, hidráulica, mecánica y proporciones, estableciendo principios que aún influyen en la arquitectura moderna.

 

El hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci,  su nombre histórico es  debido a que es una traducción visual directa de los pasajes descritos por Marco Vitruvio Polión en el tercer libro de su célebre tratado De architectura, escrito en el siglo I a. C. Vitruvio, al formular las reglas para la construcción de templos sagrados, sostenía que la arquitectura debía imitar la armonía de la naturaleza, cuyo diseño más perfecto se manifestaba en el cuerpo del hombre bien proporcionado.

A su vez, el autor romano no hacía sino codificar y transmitir a la posteridad el canon clásico de Policleto, el gran escultor griego del siglo V a.C., cuyo tratado teórico conocido como el Canon estableció las reglas de la simetría y el equilibrio que definieron el arte de la Antigüedad clásica.

Así pues, El Hombre de Vitruvio es un dibujo de Leonardo da Vinci (c. 1490) inspirado en los estudios de Vitruvio sobre las proporciones humanas. Representa a un hombre con brazos y piernas extendidos en dos posiciones, inscrito en un cuadrado y un círculo, ilustrando el “canon de las proporciones humanas” Este dibujo busca definir matemáticamente la armonía y simetría del cuerpo humano, reflejando la idea de que la perfección del hombre puede medirse y relacionarse con la geometría universal

El Hombre de Vitruvio simboliza la búsqueda de la perfección, la armonía y la proporción, conectando la anatomía humana con principios arquitectónicos y matemáticos. Ha influido en el arte, la arquitectura y la cultura occidental, sirviendo como modelo para representar el cuerpo humano y como símbolo de la relación entre ciencia, arte y naturaleza. Además, representa la transición del pensamiento medieval al renacentista, donde la observación y la razón comienzan a guiar la comprensión del mundo.
Por tanto, Vitruvio significa tanto un referente histórico en arquitectura como un símbolo de proporción y armonía humana, cuya influencia perdura en el arte y la ciencia hasta la actualidad.

El Hombre de Vitruvio o Estudio de las proporciones ideales del cuerpo humano perteneció a la colección del escritor y pintor Giuseppe Bossi hasta que, tras su muerte acaecida en 1815, su colección fue comprada en una subasta por Luigi Celotti y posteriormente adquirida por la Galería de la Academia de Venecia, donde se conserva desde 1822, aunque se exhibe al público rara vez por motivos de conservación. Por esta razón no es parte de la exposición habitual del museo.

 Si volvemos a Vitruvio las proporciones descritas por éste son: 

 

·         El rostro, desde la barbilla hasta la parte más alta de la frente, donde están las raíces del pelo, mide una décima parte de la altura total.

·      La palma de la mano, desde la muñeca hasta el extremo del dedo medio mide exactamente lo mismo.

·         La cabeza, desde la barbilla hasta su coronilla, mide una octava parte de todo el cuerpo.

·         Desde el esternón hasta las raíces del pelo equivale a una sexta parte de todo el cuerpo.

·         Desde la parte media del pecho hasta la coronilla, una cuarta parte de todo el cuerpo.

·         Del mentón hasta la base de la nariz, mide una tercera parte del rostro.

·         La frente mide igualmente otra tercera parte del rostro.

·         El pie equivale a un sexto de la altura del cuerpo.

·         El codo, un trozo del codo

·         El pecho equivale igualmente a una cuarta parte de todo el cuerpo.

·         El ombligo es el punto central natural del cuerpo humano. En efecto, si se coloca un hombre boca arriba, con las manos y los pies estirados, situando el centro del compás en su ombligo y trazando una circunferencia, esta tocaría la punta de ambas manos y los dedos de los pies.

·         La figura circular trazada sobre el cuerpo humano nos posibilita el lograr también un cuadrado: si se mide desde la planta de los pies hasta la coronilla, la medida resultante será la misma que se da entre las puntas de los dedos con los brazos extendidos.

 Como la obra original de Vitruvio no contenía ilustraciones, Leonardo basó su dibujo en las indicaciones de Vitruvio y así hizo su estudio de las proporciones ideales del cuerpo humano.  En el texto que acompaña su dibujo, realizado en escritura especular, corrigió algunas proporciones y añadió otras:

·         Cuatro dedos hacen una palma.

·         Cuatro palmas hacen un pie.

·         Seis palmas hacen un codo.

·         Cuatro codos hacen un paso.

·         Veinticuatro palmas hacen a un hombre.

·         Si separas las piernas lo suficiente como para que tu altura disminuya 1/14 y estiras y subes los hombros hasta que los dedos estén al nivel del borde superior de tu cabeza, has de saber que el centro geométrico de tus extremidades separadas estará situado en tu ombligo y que el espacio entre las piernas será un triángulo equilátero.

·         Desde la parte superior del pecho al nacimiento del pelo será la séptima parte del hombre completo.

·         Desde los pezones a la parte de arriba de la cabeza será la cuarta parte.

·         La anchura mayor de los hombros contiene en sí misma la cuarta parte.

·         Desde el codo a la punta de la mano será la cuarta parte.

·         Desde el codo al ángulo de la axila será la octava parte.

·         La mano completa será la décima parte del cuerpo del sujeto

·         El comienzo de los genitales marca la mitad del hombre.

·         El pie es la séptima parte de la altura total.

·         Desde la planta del pie hasta debajo de la rodilla será la cuarta parte.

·         Desde debajo de la rodilla al comienzo de los genitales será la cuarta parte.

·         La distancia desde la parte inferior de la barbilla a la nariz y desde el nacimiento del pelo a las cejas es, en cada caso, la misma y como la oreja.

·         Desde el inicio de la rodilla hasta el inicio de la pelvis, será la misma medida del torso.

·         Desde el centro del pecho hasta la punta de los dedos, será igual a la longitud de toda la pierna.

El redescubrimiento de las proporciones matemáticas del cuerpo humano en el siglo XV por Leonardo y otros autores está considerado como uno de los grandes logros del Renacimiento.

Examinando el dibujo puede notarse que la combinación de las posiciones de brazos y piernas crea realmente 16 posiciones distintas. La posición con los brazos en cruz y los pies juntos se ve inscrita en el cuadrado sobreimpreso. Por otra parte, la posición superior de los brazos y las dos de las piernas se ve inscrita en el círculo sobreimpreso. Esto ilustra el principio de que en el cambio entre las dos posiciones, el centro aparente de la figura parece moverse, pero en realidad el ombligo de la figura, que es el centro de masas verdadero, permanece inmóvil.

 

Existe una confusión habitual en la historiografía popular que asocia directamente esta lámina con el célebre tratado De divina proportione (La proporción divina), escrito por el fraile y matemático Luca Pacioli (ver  entrega 10-1- 2021 Lección de Geometría)  e ilustrado por el propio Leonardo en Milán. Si bien es cierto que ambos genios colaboraron estrechamente compartiendo estudios de simetría y geometría sagrada, el Hombre de Vitruvio no formó parte de las láminas impresas de dicha obra. Se trata de un estudio de carácter íntimo y de investigación personal que Leonardo plasmó en uno de sus cuadernos de notas, acompañado de textos explicativos redactados en su característica escritura especular de derecha a izquierda. El dibujo representa el punto culminante de un prolongado esfuerzo humanista por conciliar las dimensiones del cuerpo humano con las leyes del cosmos.

Muchas variaciones del hombre de Vitruvio podemos encontrar en internet y que nos prueban la importancia en la sociedad antigua y actual de este famoso dibujo de Leonardo da Vinci.

Mirando tu ciudad con ojos matemáticos

 

Podemos ver que las matemáticas están presentes en múltiples aspectos que normalmente no son tenidos en cuenta en el caminar diario.

Vamos a hacer un paseo por nuestra ciudad para mostrar que en cualquier lugar donde vivamos hay monumentos, parques y objetos que nos sirven para trabajar las matemáticas. Paralelamente el lector puede observar que los lugares que vamos a comentar, existen también en su ciudad o al menos similares e incluso más interesantes y didácticos que los que mostramos nosotros. Tenemos que tener en cuenta que si la ciudad es grande, hay más posibilidades de encontrar ejemplos matemáticos, aunque un lugar por muy pequeño que sea siempre nos dará posibilidades de sacar a los alumnos del aula y mostrarle las Matemáticas de su ciudad.

Las ciudades donde nos movemos nosotros por cuestión de trabajo y familiar son Cáceres y Badajoz, capitales de la región de Extremadura (España) y con una población media de cien mil y ciento cincuenta mil habitantes respectivamente.

Podemos observar que no es frecuente que las calles y plazas tengan nombres de matemáticos pero sí encontramos en ellas diversos objetos de mobiliario urbano cuyos diseños nos ofrecen formas geométricas perfectamente conocidas.  También, las tiendas y locales de la ciudad suelen tener nombres relacionados con las matemáticas.

Podemos observar que las casas, sobre todo las de los núcleos de cascos antiguos, muestran motivos geométricos, junto a otros florales o mitológicos en sus puertas, balcones y fachadas

Lo mismo ocurre con los monumentos como iglesias o sedes oficiales que también nos ofrecen elementos de estudio para observar las matemáticas en la arquitectura.  En la foto de abajo podemos observar que podemos estudiar los números romanos que aparecen en el reloj de la torre. 

Muchos edificios modernos también usan las formas geométricas, por su valor estético o conceptual. 

                                        Palacio de Congresos de Badajoz 

Así pues es conveniente incorporar a la ciudad y sus elementos a las actividades propias de la enseñanza de las matemáticas como conocimiento de los números, geométricos, medida etc. con el objetivo de hacer observar a los alumnos la importancia de las matemáticas en la vida ordinaria y en las construcciones del hombre.

En Madrid 

     Vamos a diseñar una ruta matemática por nuestra ciudad y mostremos a los alumnos, la ciudad con ojos matemáticos.

PARA LOS MÁS CURIOSOS

Adjuntamos algunos enlaces que nos pueden ayudar en la realización de estas tareas matemáticas como profesores.

(PDF) Las imágenes en la Enseñanza-aprendizaje de la Geometría

Matemáticas en la ciudad - Matemáticas en tu mundo (matematicasentumundo.es)   

 En nuestro manual Geometría ¡ prohibido no tocar! aparece en el Tema Sexto. 

(PDF) Geometría prohibido no tocar

Éste es también un artículo sobre este tema que en su momento publicamos.

(PDF) IMÁGENES: UN RECURSO RENTABLE PARA APRENDER GEOMETRÍA

Comprender y resolver problemas

 

El informe Pisa de 2026 nos indica que, en España,  los alumnos empeoran a la vez en lectura, matemáticas y ciencias y vuelven a quedar por debajo de la media de la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE) en todas las competencias que evalúa PISA 2025. El mayor golpe llega en lectura, el peor resultado desde 2006 en matemáticas y ciencias. El desplome, en concreto en matemáticas afecta la falta de compresión de la lectura de los alumnos que influye directamente en la resolución de problemas. 

  Por ello, queremos recordar que hace ya unos años que nuestro equipo de trabajo indicaba que un buen uso de la metodología de resolución de problemas era una herramienta muy importante para trabajar en las aulas. Entendemos la resolución de problemas como la manera de que el alumno sepa utilizar los procedimientos, reglas, técnicas, destrezas y conceptos, que ha adquirido, de tal forma que de la combinación acertada de éstos, obtenga las  soluciones de los problemas o situaciones problemáticas, sobre todo las que se le presentan en la vida ordinaria.

La resolución de problemas como metodología  ha sido recomendada desde los años 90 como la metodología de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas de los currículos oficiales: autonómicos, nacionales y de otros países.

La resolución de problemas hace que se utilicen muchas de las capacidades básicas, de las que queremos conseguir en los alumnos como pueden ser mejorar la lectura comprensiva, enseñarles a reflexionar, optimizar sus estrategias de planificación, y concienciarse de la aplicación real que tienen las matemáticas en su vida cotidiana y en su utilización para cursos superiores,…

Desde la dimensión de la resolución de problemas, se han elaborado diferentes modelos. El modelo más clásico y conocido es de Polya, todavía vigente y que consta de cuatro fases que son: comprensión del tema, planificación, ejecución del plan y supervisión. La gran mayoría de los modelos que se han elaborado posteriormente guardan estrecha  relación con el modelo de Polya y sus fases.

El punto de partida de esta enseñanza debe ser el interés del alumno, es decir, el profesor debe aprovechar las experiencias que el alumno tiene y el contexto en el que se desenvuelve para formular y resolver problemas que sean de su interés. Así pues los problemas deben estar relacionado con sus contextos y actividades cotidianas como son: la familia, la escuela, los compañeros, sus juegos, sus diversiones, sus preferencias,…También, es necesario que los problemas, en razón de la globalización de materias, se trabajen en relación con otras ramas de las matemáticas o con otras materias del curso. Los problemas  que se planteen deben también  resolver situaciones cotidianas de su entorno real y  situaciones que resuelvan problemas físicos,  relacionados con el mundo social o natural…

Es preciso que el alumno conciba que la resolución de problemas es un instrumento importante en el desarrollo de su vida, tanto cotidiana como, en un futuro, laboral.

Existe en la enseñanza de las matemáticas una separación importante entre la enseñanza de las operaciones y la resolución de problemas. Las primeras se enseñan aisladas sin relacionarlas con los problemas, se aprenden de una manera mecánica, muchas veces sin comprensión y una vez que se mecanizan, es decir, el alumno las resuelve cómodamente, es cuando se aplican a la resolución de problemas.

 El alumno se enfrenta con una serie de preguntas que no es capaz de responder y que no asocia con las operaciones aprendidas, solo la experiencia posterior le da a conocer que tiene que aplicar alguna operación, por eso es típica la pregunta ¿Es de sumar o de restar? Para estos alumnos los problemas son rompecabezas en los que casualmente llega a la solución mediante la técnica de ensayo y error. Se concibe la resolución de problema como actividades de acierto y error, y no como actividades capaces de hacer razonar al individuo.

Vamos a desarrollar  brevemente esas etapas  tomando como ejemplo, los problemas escritos. Como ha hemos dicho nuestro objetivo es que podamos trabajar mucho mejor las matemáticas con nuestros alumnos. 

Tenemos que tener en cuenta que la mayoría de los problemas que se suelen presentar a los alumnos son problemas escritos. Por ello, es necesario cuidar bastante los enunciados de estos problemas escritos.

En general, el objetivo del profesor es que el alumno resuelva el problema, pero éste se encuentra a veces con problemas de enunciados tan enrevesados que el alumno no sabe resolver porque no entiende qué es lo que le pide ese problema. 

Por ello, es recomendado no construir los problemas con un lenguaje verbalista y complejo, sino utilizar un lenguaje sencillo y claro pues no se trata de hacer un ejercicio de lectura comprensiva.

También, sería conveniente, sobre todo en los primeros cursos, utilizar un vocabulario cercano al alumno, repetir los sustantivos en lugar de utilizar los pronombres y procurar enunciar los datos según se van a operar.

Una vez hemos presentado a los alumnos un problema escrito, el profesor debe desarrollar una serie de fases que consideramos son necesarias para una buena resolución de forma que no solo sepa resolver el problema, sino que también aprenda a resolver problemas. Estas fases, planteadas por Polya, son las siguientes:

1-        Comprensión del texto.

2-        Razonamiento que lleva a la solución

3-        Aplicación del razonamiento

4-        Análisis y obtención de soluciones

Vamos a estudiar estas fases con la utilización de un problema que nos aclarará mejor en qué consisten cada una de ellas.

- Varios ciclistas tienen que recorrer 200 Km. en total durante tres días .El primer día recorren 72 Km. y el segundo 68 Km. ¿Cuántos kilómetros tienen que recorrer el tercer día? 

1-Comprensión del texto de un problema escrito. El alumno debe leer el texto una primera vez. En esta primera lectura es difícil que el alumno sea capaz de comprender el problema completo. Los problemas se caracterizan por ser difusos  en su inicio y es necesario un proceso de análisis y síntesis para poder llegar a una completa asimilación de su enunciado. 

La primera lectura del problema se presenta de una forma global en la que el alumno no es capaz de separar las partes. Por tanto, es necesario realizar una nueva lectura más calmada en la que vayamos separando las distintas partes en las que se divide el problema. El alumno debe ser capaz de comprender dichas partes independientemente y  en relación con las otras que conforman el enunciado total. 

Debe realizar las lecturas necesarias hasta que llegue a comprender todo el enunciado en sus partes o como un todo. A veces es necesario que el alumno explique el texto a los compañeros reconociendo cuáles son los datos útiles de los que no lo son, identificando qué tenemos que resolver, es decir, la incógnita, etc.  Así pues, primero presenta los datos y luego las preguntas o cuestiones a resolver. 

 Si los alumnos son de los primeros niveles, una ayuda importante es la dramatización del enunciado del problema o bien plantearlo con objetos simples. Si el alumno va expresando lo que va haciendo (traducción oral) podrá recordar los datos y las cuestiones, lo que favorece el razonamiento de búsqueda de soluciones.

 Por ejemplo, un problema clave en el que la comprensión del texto es imprescindible y es necesaria la dramatización para resolverlo sería:

- En una carrera, Alonso llegó justamente detrás de María, y Paula llegó en medio de Carlos y de Alonso. Indica el orden.

 La realización de un pequeño esquema gráfico para una mayor concretización de lo que deseamos resolver es otro elemento importante para la compresión del problema.

En los niveles medio y superiores de Primaria sería conveniente que el profesor enseñara al alumno a esquematizar los enunciados de distintos problemas, bien mediante conjuntos, esquemas lineales, bocetos de dibujos,… El objetivo es que el alumno utilice este recurso en la realización de sus problemas pues es un recurso clarificador y facilitador en muchas ocasiones de la solución del problema.

Si volvemos a nuestro problema de los ciclistas, el alumno puede hacer un dibujo esquemático, como el de la figura 1,  y colocar los datos sobre él.

1. Dibujo esquemático del problema. 

El alumno comprende el problema cuando puede decir que hay que calcular los kilómetros recorridos en el tercer día.

2- Razonamiento que lleva a la solución. El razonamiento son una serie de ideas (procesos lógicos) que indican cómo se puede resolver el problema, lo  que Polya denomina planificación.

En esta etapa el alumno debe pensar en la posible estrategia que le va a llevar a la solución del problema. La estrategia puede llegar por la experiencia adquirida en la resolución de problemas análogos al planteado o bien mediante diferentes ensayos en los que la intuición le da la idea feliz para la resolución. A veces es primordial el dialogo entre compañeros de grupo o bien mediante cuestiones que le va planteando el profesor para guiarlo hacia la resolución. En el problema de los ciclistas, la planificación del trabajo para resolver el problema pasa por:

- Calcular los kilómetros recorridos en los dos primeros días.

- A los kilómetros totales restarles dicho cálculo. 

3- Aplicación del razonamiento. En esta etapa el alumno traduce las ideas del razonamiento en término de operaciones. Es decir, para llevar a cabo sus ideas utiliza las distintas operaciones y sus técnicas operatorias para llegar a la solución.

En esta etapa la dificultad para el alumno está asociar a la idea una o varias operaciones que la materialicen y nos lleven a la solución. En esta etapa puede ocurrir que los alumnos sean capaces de resolver el problema mentalmente pero no sean capaces de asociar las ideas lógicas con los algoritmos operatorios correspondientes. En este caso es preciso, reeducar al alumno en el significado de las distintas operaciones aritméticas y trabajar los verbos de acción y palabras de la vida ordinaria asociadas a esa operación. En nuestro problema el alumno debe realizar las operaciones:

- Sumar los kilómetros recorridos en los dos primeros días que nos dan 140 km.

- Realizar la resta de los kilómetros totales (200km) y la suma de los dos primeros días (140 km) que nos da 60 km.

4- Análisis y obtención de soluciones. En esta última etapa,  denominada supervisión por Polya, el alumno da la solución o soluciones correspondientes además, el profesor debe exigirle dar una aclaración de que las solución es adecuada para el problema. De esta forma el alumno vuelva a analizar el proceso hacia atrás lo que le hace afianzar más aún la comprensión del problema.

Resolver problemas dentro de su realidad hará que los alumnos experimenten la importancia del cálculo en la manipulación cuantitativa de la vida ordinaria en la que se desenvuelve. En nuestro problema el alumno debe escribir:

Los kilómetros recorridos el tercer día son 60 km.

 Para ver si la solución es correcta se invita al alumno a hacer una estimación, que en este problema es sencilla,  pues si los kilómetros recorridos por el ciclista los dos  primeros días (72 y 68 km) los estimas a las decenas más próximas, se obtiene 70 y 70 km, que sumados y restando el total da la  misma solución exactamente. 

Planteamos los siguientes problemas, para que el lector interesado experimente lo expuesto anteriormente y les sirva de reflexión y ayuda en su enseñanza. Hay que  separar cuáles son los datos, las preguntas y cuestiones y, practicar distintas esquematizaciones gráficas que sean asequibles para los niños.

-            Los náufragos han apilado 20 cocos en un claro de bosque. Por la noche, un mono ladrón los roba todos menos 7 ¿Cuántos cocos quedan?

-            El huerto de la escuela tiene de área 20 metros cuadrados. Si queremos ampliarlo haciéndolo 3 veces más grande ¿Cuántos metros cuadrados medirá?

-            De un rollo de cuerda que había en el gimnasio, el profesor dio la mitad a Marcos para jugar, y a Miriam las dos terceras partes de lo que quedaba. Al final el profesor devolvió al gimnasio 3 metros ¿qué longitud tenía el rollo de cuerda?

- Para cada uno de los problemas anteriores, escribe cuál es el razonamiento que lleva a la solución del problema. Desarrolla y resuelve la aplicación del razonamiento. Analiza y obtén las soluciones.

- Una vez resuelta la actividad anterior, reflexionar  para cada uno de los problemas las particularidades didácticas que considere necesarias. Por ejemplo, dificultades, que tienen los ejercicios para los alumnos: relativas a la comprensión, contenidos, estrategias de resolución,  metodología de aplicación en el aula, materiales y recursos a utilizar, aportaciones para la evaluación continua que tiene su resolución, entre otras.  

PARA LOS MÁS CURIOSOS

Barrantes, M. y Zapata,M. (2010).Los problemas aritméticos y su tratamiento didáctico. Campo Abierto . Volumen 29, nº1. 77- 95

(PDF) La resolución de problemas aritméticos y su tratamiento didáctico en la Educación Primaria

La resolución de problemas aritméticos y su tratamiento didáctico en la Educación Primaria. | Campo Abierto. Revista de Educación y Psicología

Barrantes, M., Zapata, M. y Barrantes, M.C. (2020). Didáctica de los números y las operaciones en la Educación Primaria. Ed. Universidad de Piura. Piura (Perú).