DURERO Y EL CUADRADO MÁGICO

 Alberto Durero ​ (en alemán, Albrecht Dürer; Núremberg, 21 de mayo de 1471-ib., 6 de abril de 1528) ​ fue uno de los artistas más famosos del Renacimiento alemán, conocido en todo el mundo por sus pinturas, dibujos, grabados y escritos teóricos sobre arte.

En el  famoso grabado Melancolía de Durero  hay muchos elementos relacionados con la geometría, la aritmética y la medida del tiempo. Hay una esfera de madera torneada, un romboedro truncado formado por pentágonos irregulares y triángulos (en el que se puede apreciar un rostro humano difuminado), una regla, un reloj  de arena, una balanza  y un cuadrado mágico de 4x4, en el  que nos vamos a centrar. 

Estos cuadrados mágicos habían sido inventados casi 4.000 años antes por los egipcios, pero cabe el honor a Albert Durero y a su Melancolía I de ser el primer cuadro en Europa que incluía un cuadrado de este tipo, y por lo tanto, se ha considerado históricamente, como un cuadro con un valor simbólico sin precedentes. Este cuadrado mágico no es un cuadrado  cualquiera en los que las filas y columnas suman un número sino que va más allá como vemos a continuación.

 Como ya hemos dicho, la suma de todas las filas y columnas es 34 y también se cumple para las diagonales luego la constante mágica del cuadrado es 34.   

 SUMA FILAS 

SUMA COLUMNAS 

La suma de las cuatro esquinas es 34. 

Si desplazamos los campos en el sentido de las agujas del reloj la suma sigue siendo 34.

 Si lo desplazamos de nuevo sigue siendo 34. 

La suma de los campos centrales y  de los extremos medios es también 34. Y así siempre 34.

  El siguiente cuadro nos muestra todas las posibilidades de sumar 34, se distinguen por los cambios de color. Podemos ver que los números que suman 34 tienen una cadencia o regularidad dentro del mismo cuadro. 

Alguien acabará pensando ¿por qué 34?

 La razón es que cualquier cuadrado mágico que construyas con los 16 primeros números naturales, está condenado a usar el 34 como número ‘mágico’. Sólo tienes que sumar todos los números (16 x 17) / 2 = 136, y puesto que cada una de las cuatro filas (o cada columna) debe sumar lo mismo, necesariamente tiene que ser 136: 4 = 34 

Ah!! Las dos cifras centrales de la última columna forman 1514, año en el que se realizó el cuadro.

Sería interesante introducir la historia y el análisis de este cuadro  en nuestras aulas.  Estamos relacionando el Arte con las Matemáticas. Al final, los alumnos pueden buscar cuaternas de números que sumen 34, la tarea es motivante y no es difícil.

PARA LOS MÁS CURIOSOS.

 Melancolía es considerada la imagen más misteriosa diseñada por Durero y se caracteriza, como muchas de sus obras, por su iconografía compleja y su simbolismo. Es una composición alegórica que ha suscitado diversas interpretaciones.

Para los que quieren profundizar en el cuadro hay mucha literatura en internet, por ejemplo:

https://es.wikipedia.org/wiki/Melancol%C3%ADa_I

Para los que quieren completar más nuestro estudio matemático.

https://www.gaussianos.com/el-cuadrado-magico-del-pintor/

 

Aprender áreas jugando con palillos

 

El concepto de área es un concepto básico pero a la vez mucho más complejo que el concepto cualitativo de longitud, y su adquisición es posterior al de éste. El área es, pues, la extensión de un cuerpo; el espacio barrido por una línea o un espacio vacío delimitado.

 Así pues, los palillos (palitos) son un material  importante para el estudio del área como espacio vacío delimitado. Son un material sencillo y barato que podemos utilizar para la enseñanza-aprendizaje de las figuras geométricas y de longitudes, en particular el perímetro. Con los palillos, los alumnos pueden trabajar los conceptos de segmentos y su clasificación. También pueden construir todos los tipos de ángulos, clasificarlos y estudiar su medida.

La construcción de los polígonos es también tarea sencilla, así como el cálculo de sus áreas considerando como unidad de medida el área cuadrada formada por cuatro palillos o bien el área triangular formada por tres palillos. Los palillos son un material idóneo para trabajar las fracciones, y en Secundaria, el teorema de Pitágoras y las semejanzas.

Mostramos sencillas actividades para trabajar las figuras,  el área y las distintas unidades de áreas con las que se puede medir.  

- Formamos la figura dada con doce palillos

a) Descubre por lo menos cuatro formas geométricas en dicha figura ¿Cuánto mide el área de dicha figuras, tomando como medida la unidad triangular?  ¿Cuánto mide el área de la figura total?

b) Quitando cuatro palillos forma solamente tres triángulos equiláteros. Mide sus áreas tomando como medida la unidad triangular.

c)  Quitando dos palillos observa qué formas quedan. Las formas son distintas según los palillos que quitemos, pues haz una lista  de las posibilidades que encuentres y calcula el área de las figuras resultantes con unidad triangular.

- Coloca 17 palillos como en la figura dada, formando un rectángulo cuya área es 6 unidades cuadradas.

a) Quita 1 palillo de manera que el área de la figura resultante sea 5 u².

b) Quita 2 palillos de manera que queden 5 u².

c) Quita 3 palillos de manera que queden 4 u².

Estudia en cada caso el tipo de polígono que se ha formado.

Planteamos una última actividad, como refuerzo, en la que se presentan diferentes unidades de medida para calcular el área de una figura. Con este tipo de ejercicio se afianza la idea de unidad genérica, no necesariamente cuadrada, y además que el valor de la medida depende claramente de la unidad de medida a utilizar.

- Calcula ¿Cuántas figuras 1 caben en el triángulo grande? ¿Después cuántas figuras 2?  y luego ¿Cuántas figuras 3?

El alumno debe observar si caben exactamente o no. El profesor puede animar al alumno para que si no se puede hacer con una sola utilice dos o más unidades sembrando lo que llamamos medidas mixtas.

PARA LOS MÁS CURIOSOS.

En nuestro manual Didáctica de la medida en Primaria puedes encontrar más actividades y un estudio completo de la enseñanza de la medida de superficies entre otras medidas.  

https://www.researchgate.net/publication/343555837_Didactica_de_la_medida_en_Primaria

En internet con las palabras claves: palillos, matemáticas podemos hallar un sinfín de juegos y videos.