Cuadrado mágico y colores para impresionar a los tuyos.

 

En esta entrega de hoy, vamos a utilizar las matemáticas para sorprender a los nuestros y quedar como magos.

Hay una propiedad curiosa de los cuadrados 4 x 4  como el que mostramos arriba, que consiste en lo siguiente:

Coloreamos las filas del cuadrado de cuatro colores.

Coloreamos las columnas de este cuadrado  con estos mismos colores, no necesariamente en el mismo orden.

Si tomamos los números de las intersecciones, donde los cuatro colores, coinciden podemos observar que la suma es siempre 34.

En el primero (foto de arriba) amarillo con amarillo 3, Verde con verde 5, Azul con azul 12 y  Naranja con naranja 14 y la suma total es 34.

En los dos gráficos que mostramos hemos colocados los colores en diferentes órdenes y podemos observar que siempre nos da 34.

Igualmente en el segundo gráfico (foto de abajo) donde hemos cambiado el orden de los colores. 

La justificación  de esta propiedad está relacionada con los cuadrados mágicos de 4x4 que ya vimos en las entregas del 18-10- 2023 (cuadrados mágicos) y 2- 4 2025 (el cuadrado mágico en Melancolía de Durero) que podemos buscar en nuestra página.

¿Cómo sorprender a nuestras amistados o familiares?

Escribimos en un papel el número 34 y lo cerramos para que nadie lo vea.

A continuación construimos el cuadrado 4 x 4 como hemos visto. Le decimos a nuestros amigos que coloreen el cuadrado como hemos explicado anteriormente, (importante decirles que los colores se pueden alternar en el orden en las filas y las columnas), después  que obtengan las intersecciones y que las sumen. Evidentemente el resultado siempre va a ser 34.

Es entonces cuando nosotros abrimos el papel doblado y mostramos el número 34.

Evidentemente el juego no se puede repetir muchas más veces.

Espero que que paséis un rato agradable gracias a las matemáticas y si queréis podéis contar la experiencia en los comentarios.

Comprender el universo. Calendario cósmico de Carl E. Sagan.

 

Carl Edward Sagan (Nueva York, 9 de noviembre de 1934- Seattle, 20 de diciembre de 1996) fue un gran divulgador científico estadounidense y escritor Inicialmente fue profesor de la  Universidad de Harvard y de Cornell.

Carl Sagan se hizo especialmente conocido gracias a la galardonada serie documental de televisión Cosmos : un viaje personal  producida en 1980, de la que fue narrador y coautor. Fue la serie más vista de la historia de la tv estadounidense, con una audiencia de unos 500 millones de personas en unos 60 países.  Actualmente esta serie está disponible en varias plataformas de streaming, y en Youtube, puede también verla gratis.  A partir de esta serie escribió  el libro Cosmos (1980)

Al final de esta entrega, os damos enlaces para los que quieran saber más de esta autor. Nosotros nos vamos a centrar en su calendario cósmico.

La historia del universo escapa a nuestro entendimiento, debido a que la magnitud del evento no cabe en nuestra estructura mental. No estamos acostumbrados a manejar medidas astronómicas pues para nosotros las más cotidianas y que mejor comprendemos son las unidades de tiempo de uso diario. Por ello, el interés didáctico del calendario cósmico es que  justamente, nos permite comprimir los 13.800 millones de años, a la duración de un calendario equivalente a un año y así lograr comprender la magnitud de la historia. Es decir que el calendario cósmico de Carl Sagan, es la historia del Universo resumida en un año.

Así pues, la cronología del Universo según Carl Sagan, en términos del calendario cósmico, el Big Bang ocurrió en el primer segundo del 1 de enero. Según la distribución de tiempo resumida, La Via Lactea habría nacido en mayo y otros sistemas habrían aparecido en junio, julio y agosto.

En esta distribución, cada mes representarían 1250 millones de años. Cada día equivale a 40 millones de años y cada segundo, unos 500 años de nuestra historia. Apenas un parpadeo en la obra del tiempo cósmico.

El Sol y la Tierra aparecieron siete meses después de la explosión del Big Bang, en el mes de septiembre y la vida surgió poco después de esto. Según el propio Sagan, los humanos hemos surgido tan recientemente que los hechos en nuestra historia, ocupan sólo segundos del último minuto del 31 de diciembre.

Los humanos aparecemos en el calendario, sólo hasta las 22:30 del 31 de diciembre. A las 23:46 del mismo día, los hombres aprendieron a dominar el fuego. Tan sólo un minuto antes de finalizar el día, a las 23:59, florece el arte rupestre en las cuevas de Europa y a las 23:59:20 el humano aprende la agricultura. Y no es hasta las 23:59:59, que surge el periodo histórico conocido como el Renacimiento.

Finalmente, el año termina, nos encontramos en el tiempo presente; el primer segundo del Año Nuevo. Donde surge la expansión de la ciencia y la tecnología en búsqueda de vida inteligente en el espacio extraterrestre.

Desarrollamos más detenidamente esta cronología.

Big Bang

·         1 de enero: sucede el Big Bang.

·         febrero, marzo, abril: se forman las primeras nebulosas  que forman el firmamento

·         1 de mayo: se forma la Vía Láctea.

·         9 de septiembre: se forma el sistema solar.

·         14 de septiembre: se forma la Tierra.

·         25 de septiembre: se forman las rocas más antiguas conocidas en la Tierra.

·         30 de septiembre: vida en la Tierra.

·         9 de octubre: aparecen los fósiles más antiguos..

·         1 de diciembre: se empieza a desarrollar la atmósfera de oxígeno.

·         17 de diciembre: primeros invertebrados.

19 de diciembre: aparecen los peces y los vertebrados.

·      20 de diciembre: aparecen las plantas vasculares. Las plantas comienzan la colonización de la Tierra.

·         21 de diciembre: aparecen los insectos, los animales comienzan la colonización de la Tierra.

·         22 de diciembre: aparecen los anfibios y los insectos alados.

·         23 de diciembre: aparecen los árboles y reptiles.

·        24 de diciembre: los dinosaurios aparecen y dominan la Tierra por más de 160 millones años.

·        26 de diciembre: primeros mamíferos.

·        27 de diciembre: primeras aves, primeras flores.

·         29 de diciembre: primeros primates.

·         31 de diciembre, hora 22.30.00: aparecen los primeros seres humanos.

·         31 de diciembre, hora 23.59.50: fin de la prehistoria y el comienzo de la historia..

·    31 de diciembre, hora 23.59.56: la geometría euclidiana, la física de Arquímedes, la astronomía de Ptolomeo, Juegos Olímpicos griegos, el Imperio romano, Nacimiento de Cristo.

·    31 de diciembre, hora 23.59.59: Viajes de descubrimiento de Europa y de la Dinastía Ming de China, Colón llega a América, el Renacimiento en Europa.

·         Y el último segundo:

·     31 de diciembre, hora 24.00.00: Comienzo de la cultura moderna, el desarrollo de la ciencia y la tecnología, la Revolución francesa, la Primera Guerra Mundial, Segunda Guerra Mundial, el Apolo llega a la Luna, la nave espacial de exploración planetaria, la búsqueda de inteligencia extraterrestre.

Podemos observar cómo queda nuestra civilización comparada con la magnitud de este universo en el que habitamos.

PARA LOS MÁS CURIOSOS

Algunos enlaces para profundizar en las aportaciones de Carl Sagan  a la ciencia y a la historia de la humanidad.

Calendario cósmico - Wikipedia, la enciclopedia libre

Los 7 mejores libros de Carl Sagan - 5libros

Video que cuenta lo que contamos en esta entrega.

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Las matemáticas del amor

 

Ya próximo el Día de San Valentín (14 de febrero), dedicamos esta entrega a todos aquellos que quieran usar las Matemáticas de forma romántica, porque no hay mejor manera de declararle el amor a alguien, que regalándole un corazón.

 Pero como somos matemáticos lo haremos con las funciones matemáticas que generan corazones. Y es que la mejor manera de decir «te quiero» matemáticamente es trazando las gráficas de las funciones que presentamos a continuación:

§  f(x) = sqrt (1 – (|x| – 1)²)

§  g(x) = arcos (1 – |x|) – PI

 

También podemos utilizar otras ecuaciones como las que se muestran en las gráficas posteriores. 

La palabra amor (en inglés Love) también se puede escribir con las cuatro funciones que presentamos en las siguientes gráficas.

Y acabamos con un video en el que se pueden encontrar 14 frases matemáticas de Amor y Amistad.

Bing Vídeos 

Espero sean felices con sus parejas y si no la tienen, también.

LECCIÓN DE GEOMETRÍA

 Luca Pacioli (Jacobo de´Barbari, 1495)

El retrato del matemático Luca Pacioli (c. 1445-1517), que se conserva en el Museo Nacional de Capodimonte en Nápoles, es el cuadro más reproducido en los libros de historia de la matemática. Se trata del primer retrato de un matemático de prestigio y fue pintado por Jacobo de´Barbari en 1495.

Luca Pacioli es conocido en la historia de las matemáticas gracias a dos de sus obras. La primera, 'Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità' (1494), fue una enciclopedia del conocimiento matemático de su época, muy conocida  pues  se escribió en su lengua vernácula y era la primera enciclopedia matemática impresa. Su segunda obra prestigiosa 'De Divina Proportione' (1509) dedicada a la geometría, en concreto al número áureo, que tiene  mayor mérito y originalidad; aunque en su tiempo no gozó, ni mucho menos, de la popularidad de su 'Summa'. Sus ilustraciones son de  Leonardo da Vinci. 

Grabado de Pacioli que aparece en la Suma.

En el cuadro primero que ilustra esta entrega, Pacioli  aparece como franciscano, hizo votos en 1472 cercano a la treintena, y aparece ataviado con el hábito de la orden. Está señalando una construcción geométrica en una pizarra, en cuyo canto está  escrito 'Euclides'. Su mano izquierda se posa sobre un libro abierto que, según los expertos, es una copia del libro XIII de los 'Elementos' de Euclides. A la derecha hay otro libro que en su canto leemos  las iniciales de Luca Pacioli, así que se sospecha que se trata de su 'Summa'.' Sobre la obra se apoya un dodecaedro ejecutado en madera. Se trata del quinto sólido platónico, al que la teoría de los elementos asignaba la quinta esencia o éter, la sustancia con la que están hechos los cielos.

En la esquina superior izquierda, pendiendo de un hilo, podemos apreciar el objeto más extraño del cuadro. Se trata de un rombicuboctaedro ejecutado en cristal, un sólido convexo formado por 26 caras: 18 cuadrados y 8 triángulos equiláteros. Se dice que  simboliza la pureza y la intemporalidad de las matemáticas. Se trata de uno de los 13 sólidos arquimedianos, aquellos de caras formadas con polígonos regulares descritos por Arquímedes en un trabajo perdido. En el cuadro, el rombicuboctaedro aparece semilleno de agua, condición que permitió al pintor crear un juego de reflejos y refracción, donde podemos apreciar una ventana.

Estos detalles, junto a los objetos dispuestos sobre la mesa como una esponja, un compás, una tiza, un transportador de ángulos… (instrumentos que asociamos al quehacer matemático) dan un aire de naturaleza muerta y cierto misterio al cuadro. Para algunos estudiosos, Pacioli se retrató dando una clase, éste fue un gran maestro itinerante y tal vez quiso pasar a la posteridad en actitud de maestro y rodeado de sus utensilios. Por esa condición, algunos críticos de arte han denominado al joven desconocido, que aparece a la siniestra de Piacoli, el 'eterno estudiante'.  Otros críticos opinan que el acompañante de Pacioli, no era más que su señor de turno: el duque Guidobaldo da Montefeltro. La pequeña tarjeta a la izquierda de 'Summa', presenta una inscripción: "IACO. BAR. VIGENNIS. P. 1495", que parece la firma del pintor Jacobo de Barbari (1440-1515), al que se le asocia la autoría. 

Se cuenta que en 1493, mientras impartía clases en Padua, Pacioli recibió las primeras amonestaciones de su orden, por esa manía suya de dedicarse a la enseñanza de las matemáticas y olvidar sus deberes con Dios. Le obligaron a trasladarse a Asís, bajo amenaza de excomunión, y estuvo dos años sin impartir clases. No es difícil imaginar que el retrato del que hablamos no fuera del agrado de la orden y que tal vez lo mantuviera en secreto. En 1508, una bula especial del papa Julio II le permitió prescindir del voto de pobreza, al que estaba obligado por su orden, y disponer de bienes materiales. El cuadro ya no debía ser un problema, más allá de exhibir cierta vanidad.

 Como curiosidad y para mostrar su importancia, en 2023 se imprimió en Rusia, un sello recordando a este matemático. 

PARA LOS MÁS CURIOSOS

Si quiere saber más de  Luca Pacioli Napolitano

Luca Pacioli - Wikipedia, la enciclopedia libre

El Teorema de Pitágoras en el Arte actual.

 

2012 Fuente 

 El Teorema de Pitágoras y en particular su esquema geométrico ha sido un elemento motivador en la obra de diferentes autores actuales, en esta entrega presentamos los trabajos de dos de éstos famosos artistas.

 Comenzamos con Marcus Zilliox que nació en Phoenix, de ascendencia nativa americana y mexicoamericana. Creció en la comunidad de Gila River Pima en Arizona y en Phoenix, Arizona. Zilliox se licenció en Pintura y Dibujo en la Universidad Estatal de Arizona en 1996. Realizando un máster de  Pintura y Grabado de Yale en 2007.

 Realizó en 2012 una serie de trabajos inspirados en el Teorema de Pitágoras, bajo el título “Geometrical explorations”, y que toman el esquema geométrico del Teorema de Pitágoras como un elemento principal y motivador de la obra. Aquí mostramos algunas de las obras con sus nombres.

                                     

Escultura 

Hephaestus

Crossing 

 2016 Fortificación de vino pitagórico

 2017 Cráneos en disposición pitagórica

 2017 Arreglos de dulces pitagóricos (Festival Art In Odd Places) a lo largo de la calle 14 en Manhattan

El autor dice de su obra:

Mi trabajo explora fantasmas, memoria, ascendencia, rastro y residuo, utilizando texto, imágenes y abstracción.  Mis medios son el humo, el óxido, el plástico, la pintura y la fotografía. El humo es fugaz, pero el negro de humo es uno de los pigmentos más resistentes a la luz y más duraderos. Como medio contiene tanto el momento fugaz como el sabor de la inmortalidad, una puntualidad y atemporalidad, corporal e incorpórea, viviendo en el momento, pero durando más que toda la vida. Se trata de Carpe Diem y Memento Mori, incrustado en cada trazo es Aprovecha el día porque morirás.

El otro autor es Max Bill  (Winterthur, Suiza, 1908 – Berlín, Alemania, 1994) fue un arquitecto, pintor, escultor, diseñador gráfico, tipográfico e industrial, publicista y educador suizo. Estudió en la Kunstgewerbeschule de Zúrich y en el Bauhaus de Dessau fue uno de los máximos exponentes del arte concreto, también se interesó por el Teorema de Pitágoras. Este artista desarrolló una abstracción geométrica en la que las formas básicas, como el triángulo, tomaron un papel protagonista.

En el cartel de la exposición organizada por el Museo de Arte Contemporáneo de Madrid junto a la Fundación Joan Miró (1980),sobre la obra de Max Bill, éste  presenta el esquema del Teorema de Pitágoras para la terna pitagórica (3, 4, 5). Aparecen los tres cuadrados sobre los catetos y la hipotenusa. 

Max Bill realiza también la obra “Construcción sobre el tema 3-4-5”(1980), en la cual encontramos el mismo esquema anterior pero representado cuatro veces sobre 4 triángulos rectángulos negros que a su vez, con el cuadrado de lado 5 forman un cuadrado central.  El número de cuadraditos del perímetro de los tres cuadrados es 8, 12 y 16, todos divisibles por 4, por lo cual cada color aparece el mismo número de veces en cada uno de ellos, 2, 3 y 4, respectivamente.

Éstos son ejemplos que podemos utilizar con nuestros alumnos para mostrarles una dimensión más de la importancia y la influencia que el Teorema de Pitágoras, después de tantos siglos, tiene en nuestra sociedad actual.

PARA LOS MÁS CURIOSOS

Enlace, a su obra en general, de estos dos artistas que hemos comentado.

MARCUS ZILLIOX ART (tumblr.com)

Max Bill - 77 obras de arte - pintura

El cero, el número que cambió la historia de las Matemáticas

 

“Eres un cero a la izquierda”, dice el dicho popular para señalar que uno no es nada.

Hace miles de años, los mayas, de Mesoamérica (donde ahora es México), usaron el cero que se representaba como un símbolo de caracol que representaba el vacío o la nada. Tenían múltiples representaciones para este número como vemos en la imagen de abajo.  Era un número muy importante para realizar cálculos matemáticos y para registrar fechas en su calendario. 

 ceros mayas 

Los babilonios usaban el cero como marcador de posición en su sistema numérico que se representaba con números en forma de cuñas que se imprimían en sus tablillas de arcilla.

 Cero babilónico   

El astrónomo y matemático indio Brahmagupta (628 d. C.) trató el cero como un número, no como un mero marcador de posición, y postuló reglas para su operación. 

Y fue Leonardo de Pisa, alias Fibonacci, quien en su Liber Abaci (Libro del Ábaco), publicado en 1202, introduce en Occidente el sistema de numeración indo-arábigo que incluye ya al cero y  que es el que nosotros usamos actualmente. Él reconoció el poder del uso del símbolo adicional 0 combinado con los símbolos indios 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

El sistema romano  decimal romano, que para cada número tenemos que poner un símbolo diferente (V es cinco, X es 10, etcétera), una de las carencias que tenía es que al no tener cero no podía representar todos los números. Sin embargo con con el sistema indo-arábigo, que usamos actualmente, formado por 9 números y el cero posicional, o sea con 10 símbolos, se puede representar cualquier cantidad.

El cero se podría comparar con la introducción de la coma en el lenguaje: ambos ayudan a leer el significado correcto.

 Por ejemplo, 1 más 0 son 10, 1 más 00 son 100, uno con 000 son 1000… y así hasta infinito.

Un cero a la izquierda de cualquier dígito, del 1 al 9, no significa nada: 020 o 0020 siempre serán 20. Ese cero a la izquierda no tiene un valor para expresar una cantidad. Pero si lo colocamos a la derecha entonces nos ayuda a saber la cantidad correspondiente, por ejemplo, no es lo mismo 2, que 20, que 200. etc.  También cuando en un número faltan unidades de algún orden, el cero nos ayuda a saber que no existen dichas unidades, por ejemplo en el número 2304 se nos indica que no hay decenas, sin el cero el número se expresaría como 234 y  podría llegar a confusión pues parece que las decenas son tres.   

Pero si a un cero le antepongo un punto decimal (.0) es diferente, empiezo a contar decimales. El cero vuelve a tener valor, pero un valor que se hace más pequeño. Por ejemplo,  cada vez que antes del punto decimal pongo un cero y un 1. Cada cero que voy poniendo es un factor de 10 más chico: un décimo (.01), un centésimo (.001), un milésimo (.0001), etcétera.

El cero se descubrió porque es lo que necesitamos para poder contar y poder representar cualquier cantidad de cosas. El cero es muy útil en muchos procedimientos matemáticos involucrados con la vida diaria. 

Los ordenadores siempre están haciendo cálculos para que funcionen los programas (software). Hacen cálculo y nos lo regresan en imágenes, sonidos y otras cosas.
Para hacer esos cálculos necesitan unos cuantos dígitos, y uno de ellos es el cero. Sin este número no se podría hacer cálculos.
Las computadoras funcionan con un sistema binario: 01, es decir solo usan 0 y 1 representar todos los números, por ejemplo 01 es el 1, el 10 es el 2, el 11 es el tre3, 100 es el 4  y así sucesivamente.

En la naturaleza se aplica la Tercera Ley de la Termodinámica, que versa sobre el cero absoluto. El cero absoluto es la temperatura más baja posible que corresponde a -273,15 grados centígrados. Sin embargo, esa ley creada por Walther Nernst postula que es imposible llegar al cero absoluto. Hay experimentos a temperaturas increíblemente frías (.000000001 o .000000000001 grados Kelvin) pero nunca llegan al cero absoluto.

El cero representa una revolución. Está presente en nuestro concepto de contar. Nos permite contar el tiempo (los días, los años, etcétera) y tantas cosas.

Presente en nuestra vida diaria sin darnos cuenta, el cero puede ser  una calificación o algo que no tenemos. Si uno no tiene dinero, tiene cero euros. La tecnología de todo tipo y la medicina está invadida de cero. En unos análisis clínicos, si una persona no tiene nada, tiene cero. O en política, si por un candidato nadie votó, tiene cero votos.

PARA LOS MÁS CURIOSOS

Si quieres saber más sobre el cero de los mayas.

Vista de EL “CERO” MAYA Y SU FUNCION

También puedes consultar:

https://culturahistorica.es/numeros-mayas/

También podemos estudiar el sistema babilónico con su cero correspondiente.

Sistema-de-numeracion-Babilonia