BUSCANDO ICOSAEDROS

 

 

Sabemos que los icosaedros son cuerpos regulares que tiene 20 caras en forma de triángulos equiláteros y tiene 12 vértices, 30 aristas y 4 aristas concurrentes.

En el aula son muchos los ejemplos de este poliedro que podemos utilizar para un mejor conocimiento de dicho cuerpo. Por ejemplo, los restos arqueológicos más antiguos en los que aparecen figuras poliedrales, son unas piedras talladas del neolítico (aproximadamente 2000 a. C.) encontradas en Escocia y entre ellas tenemos un  rudimentario icosaedro (cuerpo 4º de la imagen1).  También se conservan un par de dados icosaédricos de la época de la dinastía de Tolomeo en el Brithish Museum de Londres. 

1

 Parece que este tipo de figuras geométricas ya tenían una utilidad lúdica como ocurre en la actualidad, así encontramos un dado romano del siglo tercero d.C.  y un objeto de dicha forma de la que no se sabe su utilidad 

 ( 2 y 3 ). 

2

3

En mineralogía, entre las rocas encontramos el icosaedro de cuarzo cristal procedente de Brasil (4). También los virus de distintas enfermedades como las Hepatitis  o el Sida tienen formas icosaédricas (5 y 6 ).

4

5

6

Los icosaedros los encontramos adornando parques y jardines de varias ciudades. Concretamente en Madrid en el parque de Peñuelas, está este monumento diseñado por el arquitecto Manuel Ayllón en 1996 (7).

7

 La firma holandesa Verblifa, para conmemorar, en 1993, el 75 aniversario de la empresa, regaló ,en 1993, una caja de metal para caramelos, en forma de icosaedro con diseños de esmalte de conchas y estrellas de mar. La caja consta de 20 lados triangulares con tapa abatible de 5 triángulos. Dimensiones: 14 cm. (Colecciones Europeana) y que todavía se puede adquirir en internet (8, 9 y 10).

 8, 9,10 

El diseño de la caja era unos de los patrones regulares que representan figuras animadas de  M.C. Escher neerlandés conocidos por los grabados y dibujos imposibles relacionados con la geometría. A lo largo de su carrera, Escher creó más de 150 coloridos bocetos de patrones y de todos los sólidos ideados por él, éste es el único producido materialmente.

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Buscando un poco en internet seguro que encontramos muchos más ejemplos para afianzar en los alumnos el conocimiento de este cuerpo. Por ejemplo:  El icosaedro vacío en una rotonda de Alcalá de Henares, en el cruce de la calle Lope de Figueroa con Luis Madrona. (11)

 PARA LOS MÁS CURIOSOS

En nuestro texto para maestros Geometría ¡Prohibido no tocar!, encontramos varios materiales y actividades para trabajar el icosaedro y los demás poliedros regulares. Su descarga es gratis.

(5) (PDF) Geometría prohibido no tocar (researchgate.net)

En este enlace podemos encontrar  una presentación  relacionada con los poliedros regulares y el arte. Se puede descargar:

02-Polyhedra.ppt (live.com)

Si quiere conocer más sobre la obra de  Escher:

M.C. Escher - 470 obras de arte - impresión (wikiart.org)

 

UNA DE NÚMEROS MÁGICOS

 

Existen una serie de números que podemos llamar mágicos que por sus propiedades y particularidades son muy útiles para que el alumno maneje la calculadora.

Los resultados con estos números  hacen que el alumno se implique y, a la vez que usa la calculadora, realice pequeñas investigaciones que le pueden ayudar al gusto por las matemáticas.   

Uno de nuestros preferidos es el número 142857.

Si el alumno  construye  su tabla con la calculadora  observará  que en los 6 primeros números vuelven a aparecer los mismos dígitos. 

142857 * 1 = 142857
142857 * 2 = 285714
142857 * 3 = 428571
142857 * 4 = 571428
142857 * 5 = 714285
142857 * 6 = 857142 

 Además el producto del 7 nos da todos nueves. Habrá que investigar por qué se rompe la cadencia.

Los restantes productos nos dan otra vez los mismos dígitos ordenados pero uno de ellos descompuesto en suma.

Por ejemplo

142857 * 8 = 1142856 que es 14285 y el 7 descompuesto en 6 +1 (el uno al principio)

142957* 9 = 1285713 que es  28571 y el 4 como 3+1

142857*10 = 1428570 igualmente 42857 y  1 como 0+1 

El alumno puede seguir haciendo la tabla y ver lo que pasa.

Vimos que al multiplicar por 7 fallaba la cadencia, vamos a ver qué pasa cuando dividimos los primeros dígitos por 7.

1/7 = 0′142857142857142857142857142857…
2/7 = 0,285714285714285714285714285714…
3/7 = 0,428571428571428571428571428571…
4/7 = 0,571428571428571428571428571428…
5/7 = 0,714285714285714285714285714285…
6/7 = 0,857142857142857142857142857142…
8/7 = 1,142857142857142857142857142857…
9/7 = 1,285714285714285714285714285714…

 ¿Qué observamos? Invitamos al lector a seguir la serie.

¿Qué pasa si lo elevamos al cuadrado?

1428572 = 20.408.122.449 parece que no pasa nada, pero si sumamos los dígitos del  número, como se indica, tenemos otra vez nuestro número mágico.
20.408 + 122.449 = 142.857

Entran ganas de seguir investigando y descubrir más propiedades de este mágico número.

PARA LOS MÁS CURIOSOS

Para los que les sepa a poco, otro número más.

- El número 15873 es un número mágico. Observa qué ocurre si lo multiplicas por 56, 14, 28, 7. ¿Porqué número tendrías que multiplicarlo para que te salieran  varios seis? Dan ganas de seguir investigando.