PASATIEMPO: EL MAGO CONTRA LA CALCULADORA.

En estas fiestas, tiempos de reuniones proponemos un truco para que dejéis con la boca abierta a vuestra familia y amistades.

 El pasatiempo que proponemos es un truco de cálculo mental que se puede presentar como una competición entre la mente del mago (tú mismo) y la calculadora. Para realizar el truco se necesita una pizarra, o una hoja de papel, grande que puedan ver todas las personas del público, y una calculadora de las básicas. Se necesita una persona que use la calculadora.

Se  le pide a otra persona del grupo que piense, y diga en alto, un número de cuatro dígitos (A), que se escribirá en el papel. Pedimos otro segundo número de cuatro dígitos(B). Después el mago dirá otro tercer número (C) de cuatro dígitos. 

La competición consiste en multiplicar el primer número (A) por cada uno de los otros dos (A x B y A x C) y sumar el resultado (A x B + A x C).¿quién lo  hará antes, el mago  o la calculadora?

Repetimos, se trata de ver quién consigue antes ( el mago o la calculadora) el resultado de multiplicar ese primer número 7.354 por cada uno de los dos anteriores y sumar esos resultados parciales.

Expliquemos con un ejemplo el desarrollo del truco de magia matemática. Supongamos que la segunda persona del público sugiere el número 4.067, entonces el mago aporta el tercer número que será 5932, cada dígito es el complementario a 9 de los dígitos del segundo número en el ejemplo: como el segundo número es 4.067, el número que aportará el mago será 5.932 (4 + 5 = 9, 0 + 9 = 9, 6 + 3 = 9 y 7 + 2 = 9).

Es decir, con estos números concretos la competición consiste en realizar las multiplicaciones del primer número por cada uno de los otros dos, 7.354 x 4.067 y 7.354 x 5.932, y sumar los resultados de las mismas, es decir, (7.354 x 4.067) + (7.354 x 5.932).

 Se comienza la competición  y el mago escribe  rápidamente el número resultado que es 73.532.646 (más adelante explicaremos de dónde ha sacado el mago ese número). La persona de la calculadora y el público se quedarán sorprendidos de la rapidez del mago, ya que habrá sido imposible realizar la operación con la calculadora en tan corto plazo de tiempo. Entonces, con ayuda de quien tiene la calculadora, se escribirán en el papel  los pasos intermedios y el resultado final, como se muestra, para comprobar que el número escrito es el correcto.

Truco del mago para obtener el resultado. Los cuatro primeros dígitos consisten en el primer número proporcionado por el público A  menos 1, es decir, 7354 – 1 = 7353. Mientras que los cuatro siguientes dígitos son los complementos respecto a 9 de cada uno de los dígitos de este, esto es, 2646. Juntando todo, y poniendo los puntos correspondientes, 73.532.646 obtenemos el resultado.

Si lo ensayáis bien vais a sorprender a vuestras amistades estas navidades.

FELIZ  NAVIDAD volveremos con una nueva entrega después de estas fiestas.

            PARA LOS MÁS CURIOSOS

La explicación del truco es la siguiente. Si llamamos a los tres números proporciona-dos  A, B y C como se indicaba más arriba, el resultado que se busca es: A.B + A.C   Pero por la propiedad distributiva, eso es lo mismo que:

A.B + A.C   = A. (B + C )

Aquí está la clave del truco de magia. Como la persona que realiza el truco puede elegir C esto le permite controlar el valor de B + C y simplificar la operación aritmética. Veamos un ejemplo sencillo. Si se elige C de forma que B + C = 10.000, entonces A x (B + C) es el primer número elegido seguido de cuatro ceros, en nuestro ejemplo, 73.540.000. Pero de esta forma las personas presentes se darían cuenta de cómo has realizado el truco. Es decir, hay que esconder el truco y que parezca realmente una operación aritmética complicada.

Por este motivo se elige C para que B + C = 9.999, es decir, los complementos dígito a dígito respecto de 9 del número B. Y la operación se transforma en A x 9.999, que como es A x (10.000 – 1), el resultado es el número A menos 1 seguido de su complemento dígito a dígito respecto de nueve. En el ejemplo, 7353 y 2646, que puesto junto y poniendo los puntos de los miles (esto esconde un poco de donde viene el número, por lo que es aconsejable poner los puntos) es 73.532.646.

  

ÁRBOL PITAGÓRICO

 

Hoy hablamos de los árboles pitagóricos que no son más que fractales usando las demostraciones del Teorema de Pitágoras. Partimos de que un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o aparentemente irregular, se repite a diferentes escalas. En nuestro caso el objeto que se repite a diferentes escalas es la imagen de la demostración del Teorema. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus, que significa quebrado o fracturado.

El primer Árbol de Pitágoras que encontramos es un plano fractal  inventado por el profesor Albert E. Bosman en 1942 y que vemos sobre estas líneas.  A partir de este modelo y usando herramientas como GeoGebra el lector puede construir su propio árbol. El que mostramos es un árbol pitagórico fractal de cartulina elaborado por los  alumnos  de 2º y 3er ciclo de primaria (8-12 años) en el CEIP San Fernando de Almería.

En la página de Amadeo Artacho tenemos también estos árboles que mostramos y las explicaciones de su construcción. El Árbol de Pitágoras – MatematicasCercanas

Con la referencia Fractal Árbol Pitagórico u otras similares encontramos en internet una gran cantidad de imágenes y videos referentes a estos fractales. Dejamos dos ejemplos: el primero nos muestra cómo hacerlo y el segundo nos presenta al Fractalien pitagórico.

Vídeo Fractal Árbol Pitagórico - Bing video

Fractalien 👽 - Bing video

Seguro que a alguien se le ocurre incorporarlos en las actividades navideñas. 

CALENDARIOS MATEMÁTICOS

 

La percepción del tiempo no es una propiedad que pueda ser observable materialmente, sino que depende en muchos casos de acciones y del estado anímico del sujeto que lo percibe. Esto hace que en su enseñanza en Primaria  se presenten dificultades más complejas que en la enseñanza de las otras magnitudes. Un alumno puede saber leer la hora y eso no significa que tenga asimilada la noción del tiempo. Para Piaget, el alumno tiene la noción de tiempo cuando se da cuenta que hay sucesos que ocurren siguiendo una secuencia, y entre los sucesos se encuentran intervalos  que son identificables.

 En este sentido tenemos que trabajar los meses de forma que el alumno identifique los días, las semanas y los años, diferenciando días, semanas y meses. Para trabajar los meses, ahora que estamos a primero de Diciembre recomendamos este calendario del mes de Diciembre. El alumno tan solo lo tiene que descargar en la página dada e imprimirlo. https://www.educaplanet.com/.../11/calendario-diciembre/

El alumno puede poner encima del número el día de la semana en abreviatura (lunes L, martes M, …) practicar los números y una cuenta atrás hasta que llegue Papá Noel o hasta final de año.  No necesita nada de preparación, salvo tener un poco de algodón para la barba. 

Para el año siguiente podemos empezar a preparar lo que se llaman calendarios matemáticos mensuales. En estos calendarios añadimos una actividad para que el alumno la resuelva cada día. Pueden ser actividades puramente escolares o aquellas actividades matemáticas que están relacionadas con la vida ordinaria como vemos en las fichas que adjuntamos. Lo adecuado sería mezclar ambas. Estas actividades hacen que el alumno diferencie los distintos días del mes asociándolos a la actividad correspondiente y pueda vivenciar que los meses están formados por días.

Es interesante también el calendario de palillos para los más pequeños en los que en lugar del  número del día  correpondiente en forma digital aparece dicho número  en forma de decenas   de palillos y unidades palillos.

A partir de aquí como profesores podemos idear calendarios mixtos para todas las asignaturas que impartamos.

PARA LOS MÁS CURIOSOS.

En la entrada de este blog del 15-12-2020 EL AÑO QUE SE VA del tema Medida  podemos encontrar más actividades relacionadas con el concepto Año.

En el libro Didáctica de la medida en Primaria, hemos desarrollado un capítulo  completo en relación a la medida del tiempo. Se puede descargar de manera gratuita en esta misma página: arriba esquina derecha.     

EL ARTE DE ISTVÁN OROSZ

 

István Orosz es un pintor, grabador, diseñador gráfico y director de cine de animación húngaro. Es conocido por sus obras de inspiración matemática,objetos imposibles, ilusiones òpticas, imágenes de doble sentido y anamorfosis. El arte geométrico de István Orosz, con perspectivas forzadas e ilusiones ópticas, ha sido comparado con las obras  de M. C. Escher.

 Cruce de caminos, 2000

Orosk es diseñador de carteles modernos y con gran influencia matemática como los que vemos abajo en el que se utiliza, por ejemplo,  la banda de Moebius (segundo cartel)

Este autor es también especialista en anamorfosis o anamorfismo que es una deformación reversible de una imagen producida mediante un procedimiento óptico (como, por ejemplo, utilizando un espejo curvo), o a través de un procedimiento matemático. Mostramos dos ejemplos con  espejos cilindros. 

 Es muy interesante para el lector motivado buscar en internet esta autor y ver la gran variedad de obras que nos sigue ofreciendo.

LECCIÓN DE GEOMETRÍA

 

El retrato del matemático Luca Pacioli (c. 1445-1517), que se conserva en el Museo Nacional de Capodimonte en Nápoles, es el cuadro más reproducido en los libros de historia de la matemática. Se trata del primer retrato de un matemático de prestigio.

Luca Pacioli es conocido en la historia de las matemáticas gracias a dos de sus obras. La primera, 'Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità' (1494), fue una enciclopedia del conocimiento matemático de su época, muy conocida  pues  se escribió en su lengua vernácula y era la primera enciclopedia matemática impresa. Su segunda obra prestigiosa 'De Divina Proportione' (1509) dedicada a la geometría , en concreto al número áureo, que tiene  mayor mérito y originalidad; aunque en su tiempo no gozó, ni mucho menos, de la popularidad de su 'Summa'. Sus ilustraciones son de  Leonardo da Vinci. 

En el cuadro Pacioli  aparece como franciscano, hizo votos en 1472 cercano a la treintena, y aparece ataviado con el hábito de la orden. Está señalando una construcción geométrica en una pizarra, en cuyo canto está  escrito 'Euclides'. Su mano izquierda se posa sobre un libro abierto que, según los expertos, es una copia del libro XIII de los 'Elementos' de Euclides. A la derecha hay otro libro que en su canto leemos  las iniciales de Luca Pacioli, así que se sospecha que se trata de su 'Summa'.' Sobre la obra se apoya un dodecaedro ejecutado en madera. Se trata del quinto sólido platónico, al que la teoría de los elementos asignaba la quinta esencia o éter, la sustancia con la que están hechos los cielos.

En la esquina superior izquierda, pendiendo de un hilo, podemos apreciar el objeto más extraño del cuadro. Se trata de un rombicuboctaedro ejecutado en cristal, un sólido convexo formado por 26 caras: 18 cuadrados y 8 triángulos equiláteros. Se dice que  simboliza la pureza y la intemporalidad de las matemáticas. Se trata de uno de los 13 sólidos arquimedianos, aquellos de caras formadas con polígonos regulares descritos por Arquímedes en un trabajo perdido. En el cuadro, el rombicuboctaedro aparece semilleno de agua, condición que permitió al pintor crear un juego de reflejos y refracción, donde podemos apreciar una ventana.

Estos detalles, junto a los objetos dispuestos sobre la mesa como una esponja, un compás, una tiza, un transportador de ángulos… (instrumentos que asociamos al quehacer matemático) dan un aire de naturaleza muerta y cierto misterio al cuadro. Para algunos estudiosos, Pacioli se retrató dando una clase, éste fue un gran maestro itinerante y tal vez quiso pasar a la posteridad en actitud de maestro y rodeado de sus utensilios. Por esa condición, algunos críticos de arte han denominado al joven desconocido, que aparece a la siniestra de Piacoli, el 'eterno estudiante'.  Otros críticos opinan que el acompañante de Pacioli, no era más que su señor de turno: el duque Guidobaldo da Montefeltro. La pequeña tarjeta a la izquierda de 'Summa', presenta una inscripción: "IACO. BAR. VIGENNIS. P. 1495", que parece la firma del pintor Jacobo de Barbari (1440-1515), al que se le asocia la autoría.

En 1493, mientras impartía clases en Padua, Pacioli recibió las primeras amonestaciones de su orden, por esa manía suya de dedicarse a la enseñanza de las matemáticas y olvidar sus deberes con Dios. Le obligaron a trasladarse a Asís, bajo amenaza de excomunión, y estuvo dos años sin impartir clases. No es difícil imaginar que el retrato del que hablamos no fuera del agrado de la orden y que tal vez lo mantuviera en secreto. En 1508, una bula especial del papa Julio II le permitió prescindir del voto de pobreza, al que estaba obligado por su orden, y disponer de bienes materiales. El cuadro ya no debía ser un problema, más allá de exhibir cierta vanidad.

EPITAFIOS FAMOSOS

 

Hay muchas formas de perpetuarse y burlar la muerte: tener hijos, plantar un árbol, escribir un libro.  Un método muy sencillo y que deja una huella imborrable es el epitafio. Hay epitafios originales, graciosos, poéticos y, por qué no, también matemáticos.Uno de los más famoso es el de Diofanto de Alejandría, que vivió en el siglo III y es considerado el padre del álgebra. En su epitafio aparecía escrito:

«Caminante, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad».

Unas sencillas cuenta que se pueden hacer con los alumnos nos dan su edad 84 años y la de su hijo 49.

 

 Hay otros famosos epitafios como el de Arquímedes, en su desaparecida tumba  se dice que había tallado un dibujo de una esfera contenida dentro de un cilindro. Esto se debe a que fue el propio Arquímedes el que demostró que el volumen de una esfera corresponde a dos terceras partes del cilindro con el mismo radio y altura.

En la tumba de Jakob Bernoulli aparece una espiral equiangular, que él mismo estudió en profundidad, y la frase “Aunque cambiado resurgiré” (Eadem mutata resurgo).

El epitafio de Isaac Newton, uno de los mejores matemáticos y físicos que ha existido se hace un resumen de todos sus logros.

Otro mensajes interesantes son los que nos dejaron René Descartes, “Está disfrutando de la Verdad que persiguió durante toda su vida”; Paul Erdös, “Por fin ya no me vuelvo más y más estúpido”; y Évariste Galois, “Sin saber aún si la pasión es racional o irracional, pero con la certeza de que has sentido y has vivido”. Por último, el de David Hilbert, él de la famosa curva que lleva su nombre, en su tumba se puede leer “Wir müssen wissen, wir werden wissen”, que significa “Debemos saber, sabremos”.

Curiosa es también la tumba de Ludolf van Ceulen, matemático alemán que halló los 35 primeros decimales de Pi, en la que aparece grabado dicho número. Como curiosidad, cabe destacar que al número Pi se le conoció durante muchos años como “número ludalfiano”.

 

 Muchas cosas haremos en la vida pero debemos ser conscientes de la dificultad que representa elegir el mensaje que queremos que hable por nosotros durante el resto de la humanidad.