CUADRADOS MÁGICOS

Los cuadrados mágicos, son un conjunto de números enteros diferentes colocados en las casillas de un cuadrado y que se caracterizan porque la sumas de sus filas, columnas y diagonales principales es siempre la misma, el valor de la suma es denominado Constante mágica del Cuadrado. El primer registro de un cuadrado mágico  que aparece en la historia es en China. En occidente la primera vez que aparecen es en el año 130 d. C. en los trabajos de un astrónomo griego llamado Teón de Smyma. En 1300 d. C. eran muy conocidos y usados por los  astrólogos y médicos medievales para predecir el futuro o curar enfermedades. Eran también usados como amuletos para prevenir plagas y enfermedades. En algunas cortes europeas aparecían inscritos en los platos para prevenir a los comensales de posibles envenenamientos.

  Melancolía de  Durero 1514

En el renacimiento los cuadrados mágicos empezaron a estudiarse por matemáticos . El Cuadrado Mágico de Durero, es el más conocido y más enigmático, utilizado en un grabado titulado Melancolía I. (Museo Británico, Burton de 1989, Gellert et al. 1989). El grabado muestra una mezcla desordenada de los equipos científicos de la época, mientras que un intelectual se encuentra absorto en sus pensamientos. El cuadrado es de orden cuatro en el que la suma de las filas, columnas y diagonales es 34, y los números centrales de la última fila forman el año en el que fue pintado 15 y 14, es decir 1514. Hay otras muchas propiedades de este cuadrado que pueden ver en los enlaces que se ofrecen al final.

Hasta la actualidad los cuadrados mágicos son un tema de interés para matemáticos o no. Ya a finales del siglo diecisiete, y de forma póstuma, se publicaron los ochocientos ochenta cuadrados mágicos de orden cuatro descubiertos por el eminente matemático francés Frénicle Bessy, uno de los investigadores más importantes en esta materia. Por cierto, hay tan sólo un único cuadrado mágico de orden uno, no hay ninguno de orden dos y la cifra se eleva hasta 275.305.224 para los cuadrados mágicos de orden cinco.

Benjamin Franklin (1706-1790), inventor del pararrayos, tenía afición a los cuadrados mágicos. Creó este cuadrado mágico con los sesenta y cuatro primeros números naturales cuyas filas y columnas suman  260, aunque no verifica que la suma de los números de las diagonales sea igual a 260. Pero sí tiene otras interesantes propiedades, entre ellas: Cada fila o columna suma 260. La primera mitad de cada fila o columna suma la mitad 130. Igualmente la segunda mitad.La suma de los números de cualquier cuadrado de dos filas y dos columnas consecutivas es igual a 130. Los cuatro números de las esquinas más los cuatro del centro suman 260. La suma de los números de cualquier cuadrado de 2 x 2 nos da 130.

Otro cuadrado mágico muy conocido es el de la Sagrada Familia de Barcelona.

El escultor Josep María Subirachs (1927), recibió el encargo de proseguir el recubrimiento escultórico de la Fachada de la Pasión en el templo inacabado de La Sagrada Familia, diseñado e ideado por el arquitecto Antonio Gaudí (1852 – 1926) y junto al grupo escultórico del Beso de Judas se encuentra este peculiar cuadrado mágico.La peculiaridad del cuadrado mágico de la Sagrada Familia es que no es realmente un cuadrado mágico. En primer lugar, no están todos los números del 1 al 16, sino que faltan el 12 y el mismo 16 y, en segundo lugar, observamos que hay números repetidos (el 10 y el 14). De este modo, la constante mágica no resulta 34, sino 33: la edad con la que Jesucristo fue crucificado que también es el grado mayor en la masonería por lo que quedaría por ver si existe una relación de Antoni Gaudí con esta secta.

Pero quizás lo más curioso de este juego matemático es que este cuadrado mágico aparece representado en la Sagrada Familia en un total de 33 ocasiones. Es una manera de rizar el rizo en torno a este número y de revelarnos el encomiable esfuerzo por mostrarnos la presencia continua de Cristo en este lugar sagrado.

PARA LOS MÁS CURIOSOS

Propiedades del cuadrado mágico  de Durero

Cuadrado mágico de Alberto Durero | Adicción Matemática (juntadeandalucia.es)

 En estos enlace el profesor puede encontrar actividades para primaria

A jugar (ilce.edu.mx)

Cuadrados mágicos (ilce.edu.mx) 

MULTIPLICAR CON LAS MANOS

El aprendizaje de las tablas de multiplicar  es una de las tareas que consumen más tiempo y energías tanto de los alumnos como de sus profesores. Aunque el aprendizaje se inicia habitualmente en 2º curso de primaria, no llegan a dominarse hasta 3º (y en algunos casos 4º), y es con mucha práctica.

Las tablas, tradicionalmente, se han aprendido por repetición y práctica. Sin embargo,  de acuerdo con las actuales propuestas, las tablas no se le deben dar acabadas al alumno; tiene que ser él quien las construya apoyándose en un material que en el caso de nuestra entrega van a ser sus propias manos. Concretamente podemos usar las manos para estudiar con los alumnos las tablas del 3, 6 y 9.

La tabla del 3, no se relaciona con las aprendidas anteriormente (tablas del 1, 10, 2, y 5), pero es fácil de aprender si se trabaja la serie de contar de  3 en 3 y el uso de las manos. Con las falanges de los dedos menos el pulgar, podemos construir la tabla del 3 hasta 24, utilizando las dos manos. Así un dedo es 1 x 3 = 3  y dos dedos 2 x 3 = 6 , etc.  El alumno puede utilizar el pulgar como indicador. El profesor puede hacer observar al alumno que la cuenta en una mano son los meses del año y las estaciones. 

La tabla del 6 se aprende a partir de los resultados de la tabla del 3 e  igual que hemos hecho con el 3 podemos utilizar las manos. En este caso vamos a contar  también el segmento entre la palma y la primera falange con lo que encontramos la forma para contar por 6, teniendo en cada dedo tres segmentos y tres falanges. De esta forma el alumno puede construir la tabla hasta 8 x 6  utilizando las dos manos.

También hay muchas estrategias para que el alumno aprenda la tabla del 9. El problema de esta tabla es más la capacidad de recuperación de la memoria que de comprensión.

 9 x 7 con las manos.

La tabla del 9 también se puede construir utilizando las manos.  Como podemos ver en el ejemplo , el alumno coloca las manos con las palmas colocadas mirando hacia él; numera los dedos del 1 al 10 de izquierda a derecha. Por ejemplo, para hacer 9 x 7 bajamos el dedo correspondiente al 7, a su izquierda quedan 6 dedos que serían las decenas y a su derecha 3 dedos que serían sus unidades. Luego el resultado sería 63.  En el siguiente ejemplo hacemos  3 x 9 para ello bajamos el dedo 3 a la derecha las decenas 2 y a la izquierda las unidades  y en total 27.

Otro ejemplo gráfico 9 x 4.

El resultado de 9 x n se obtiene doblando el dedo correspondiente al valor de n y leyendo a su izquierda las decenas y a su derecha las unidades.

La imagen  siguiente nos muestra la tablas completa. Aparece un 9 x y se multiplica por el número pequeño en negro, el resultado se expresa en color azul.  Cada  par de manos expresa el dedo que tenemos que bajar (en negro), a su derecha quedan las decenas y a la izquierda las unidades. En la primera fila tenemos 9 x 1 y 9 x 6.  

Evidentemente hay muchos otros recursos que podemos usar para aprender las tablas, pero las manos son un recurso eficaz pues el alumno aprende mientras se divierte, mostrando la actividad como un juego.

PARA LOS MÁS CURIOSOS

Un artículo de interés como complemento a la entrega de hoy es nuestro artículo  La resolución de problemas aritméticos y su tratamiento didáctico en la Educación Primaria.

(PDF) La resolución de problemas aritméticos y su tratamiento didáctico en la Educación Primaria (researchgate.net)

MATEMÁTICAS Y CINE: PIZARRAS

Antes de introducirnos en el tema de hoy nos gustaría reseñar que en relación a la máquina Enigma que comentamos en la entrada anterior (Matemáticas y Guerra 2) existen dos películas que pueden ver y son: Enigma (2001) y The imitation game ( titulada en España como Descifrando Enigma, 2014 ) que es un biopic sobre el matemático Alan Turing que descifró los códigos de la máquina alemana Enigma.

Nuestro tema de hoy son esas pizarras que aparecen llenas de números y signos en las películas relacionadas con matemáticas o profesorado. Alguna vez los alumnos me preguntan si lo escrito en esas  pizarras son meros garabatos que se han escrito para rellenar y sin ningún sentido matemático. Vamos a ver con algunos ejemplos que aunque no sepamos entender lo que pone en ellas, eso no es así.

Empezando por Muerte de un ciclista (Juan Antonio Bardem, 1955), curiosamente rodada en la Facultad de Físicas de la Universidad Complutense de Madrid, por aquel entonces edificio de Física y Matemáticas. En una de las escenas vemos cómo una alumna de matemáticas desarrolla un ejercicio de curvas mecánicas y sus envolventes. Observamos en la pizarra del aula las ecuaciones paramétricas de la cicloide y las gráficas de ésta, de la epicicloide y el astroide (evoluta de una elipse, como lo es la cicloide a la circunferencia), mientras la alumna explica y va escribiendo.

Muerte de un ciclista en el que observamos las ecuaciones paramétricas de la cicloide y las gráficas de ésta y de la epicicloide..

La película Un don excepcional (Marc Webb, 2017), narra la historia de un niña de 7 años con altas capacidades matemáticas. Tal es su nivel, que ingresa en el Instituto Tecnológico de Massachusetts (M.I.T.) tras pasar un examen de nivel en el que le piden resolver la Integral de Gauss. Además, para comprobar sus conocimientos, el profesor encargado de realizar las pruebas enuncia mal el problema, pero la alumna se da cuenta y corrige el enunciado.

 Integral de Gauss resuelta en Un don excepcional. Arriba: enunciado erróneo. Abajo: corrección del enunciado por la joven protagonista.

 También, el conocido como Lema de la serpiente del Algebra Homológica, que se estudia en cursos de matemáticas avanzadas, aparece demostrado en la película Ahora me toca a mí (Claudia Weil, 1980).

Ahora me toca a mí en la que podemos observar el diagrama del Lema de la Serpiente.

Típicamente los primeros cursos que se estudian sobre el Análisis Matemático son los de Cálculo Diferencial y Cálculo Integral. Los fundamentos de éstos son conocidos por cualquier alumno preuniversitario de la rama de ciencias, y numerosas escenas del cine muestran sencillos problemas concernientes a ellos. Es el caso de Academia Rushmore (Wes Anderson, 1998), cuya primera escena discurre en una clase de matemáticas en la que un alumno pregunta por un problema escrito en la pizarra, a lo que el profesor contesta: ”No os preocupéis por él [...]. Es probablemente la ecuación más difícil del mundo [...]. Si alguno de vosotros soluciona el problema, me encargaré personalmente de que no vuelva a abrir un libro de matemáticas el resto de su vida”

Protagonista de Academia Rushmore resolviendo el problema del cálculo del área de una elipse..

Otro ejemplo del Cálculo Integral y uno de sus resultados fundamentales El teorema de Stokes  lo encontramos en la película española Mi general (Jaime de Armiñan, 1987), en la que a varios capitanes del ejército español se les en[1]carga dar cursos sobre técnica espacial para la modernización del ejército.

 Escena de Mi general en la que observamos un ejemplo del Teorema de Stokes

Encontramos resultados elementales del Análisis de Fourier en El indomable Will Hunting (Gus Van Sant, 1997), sin duda una de las películas por antonomasia al hablar de matemática y cine.

El indomable Will Hunting en el que observamos varios resultados sobre el Análisis de Fourier.

En el campo de la Estadística, también podemos encontrar los conceptos de función generadora de momentos o el proceso de Poisson en la película española Logaritmo Neperiano (Abbé Nozal, 2011). A pesar de ser bastante desconocida y no de fácil acceso hay varias escenas con un sorprendente rigor matemático, aunque acaba con argumentos ficticios ya que el personaje principal intenta demostrar que es posible conocer los números premiados en un sorteo de La primitiva.

 Logaritmo Neperiano en el que observamos la demostración planteada por el protagonista.

Evidentemente muchos de los resultados nombrados no son conocidos por nosotros pero no es ese el  interés, sino el considerar que hay un rigor matemático y riguroso por parte de los cineastas en mostrarnos en sus películas una pizarras llenas de contenidos matemáticos y no meros garabatos como podríamos suponer.

Estos ejemplos siempre nos pueden valer para nuestras clases, como curiosidades, si trabajamos en el aula con alguno de los conceptos que nombramos.  

PARA LOS MÁS CURIOSOS

De todas formas si estás interesado en conocer las definiciones y enunciados de los conceptos nombrados puedes consultarlos en la siguiente página, base para hacer esta entrega.

Matemáticas_y_Cine.pdf (ucm.es)