EL HOTEL INFINITO DE HILBERT.

 

Muchas veces surgen en el aula el infinito y expresiones como:

∞ +  40 = ∞                    o                             ∞  + ∞ =∞

y no tenemos muchos recursos para hacer entender que la solución en los dos casos es infinito.

El alumno debe comprender que el mundo de los cardinales transfinitos no tiene la mismas leyes que los cardinales finitos, es decir: nunca la suma de dos cardinales finitos puede darnos uno de los cardinales sumados por ejemplo 3 + 4 nunca puede dar 3 o 4.

Una de las buenas maneras de hacer comprender dichas expresiones es la Paradoja del Hotel Infinito de Hilbert (gran matemático alemán de los siglos XIX y XX).

 Lo explicamos de modo resumido.

 

Dos grandes hoteleros deciden hacer un hotel que sea el más grande nunca visto por lo que deciden que tenga infinitas habitaciones. Tan pronto se abrieron las puertas, el hotel se llenó. Se tomó como medida que los huéspedes siempre tendrían habitación asegurada, pero con el acuerdo previo de que tendrían que cambiar de habitación cada vez que se les pidiera.

Fue entonces cuando llegó un hombre al hotel, pero este se encontraba lleno, por supuesto esto no preocupó al cliente pues en el Hotel Infinito se aseguraba que todos tendrían habitación. El hombre pidió su habitación y el recepcionista, consciente de que no habría ningún problema, tomó un micrófono por el que avisó a todos los huéspedes que por favor revisaran el número de su habitación, le sumaran uno y se cambiaran a ese número de habitación, de esta manera el nuevo huésped pudo dormir tranquilamente en la habitación número 1. Pero, ¿qué pasó entonces con el huésped que se encontraba en la última habitación? Sencillamente no hay última habitación. Así pues podemos observar que ∞ +  1= ∞ es infinito.

Igualmente se podría hacer si llegan n clientes (2, 40, 50,…) pues basta que el huésped de la habitación 1 se traslade a la habitación n (2, 40, 50,…) y así sucesivamente todos los de las demás habitaciones. Ejemplo: llegan 20 clientes:

1 pasa a la 21, 2 pasa a la 22, 3 pasa a la 23 …y nos quedan las 20 primeras libres.  

Luego ∞ + 20 = ∞ y en general  ∞ +  n (2, 40, 50,…) = ∞

Estando el hotel lleno de infinitos huéspedes, llegó un representante de una agencia de viajes, su problema era que tenía una excursión de infinitos turistas que necesitarían hospedarse esa noche en el hotel. Se trataba, por lo tanto, de hacer sitio a infinitos huéspedes en un hotel con infinitas habitaciones, todas ellas ocupadas en aquellos momentos. Pero el recepcionista no tuvo ningún problema en aceptar a los nuevos turistas. Cogió el micrófono y pidió a todos los huéspedes que se mudaran a la habitación correspondiente al resultado de multiplicar por 2 el número de su habitación actual. De esa forma todos los huéspedes mudaron a una habitación par, y todas las habitaciones impares quedaron libres. Como hay infinitos números impares, los infinitos turistas pudieron alojarse sin más problema.

Es decir, los clientes ocuparon las habitaciones pares y quedaron libres las impares:

1 pasa a la 2, 2 pasa a la 4, 3 pasa a la 6 , 4 pasa a la 8 y así sucesivamente luego van quedando libres la 1, 3, 5, 7 que la ocupan los que vienen en la excursión como vemos en el esquema de abajo.  

De esta forma ∞  + ∞ = ∞  y podemos decir también que hay tantos números pares como número impares y como números naturales.

Así pues, el conjunto de los números naturales (1, 2, 3, 4, 5…) es infinito, y parece más o menos razonable pensar que el conjunto de los números naturales pares, por muy infinito que sea, tendría que ser más pequeño que el primero, exactamente la mitad de pequeño que los números naturales. Pero no es así, como probamos en el hotel Infinito. Hay que recalcar que el comportamiento de los cardinales transfinitos no tiene las mismas reglas que los cardinales finitos.

  En internet existen varios enlaces que cuentan con imágenes esta paradoja por ejemplo: https://www.youtube.com/watch?v=eZMiur2PpM8

 

PARA LOS MÁS CURIOSOS.

El problema sigue planteando el caso de que llegan infinitas excursiones con infinito número de turistas  pero este caso lo dejamos para los más curiosos y se puede leer en el siguiente enlace en la denominada tercera paradoja.  

 

El Hotel Infinito. La paradoja de los infinitos.