GEOMETRÍA EN LA CATEDRAL DE FLORENCIA: UNA CURIOSIDAD

 

Necesitaríamos muchas entregas para poder describir y contar la historia de toda la geometría que encierra el diseño de la Catedral de Florencia, así como su construcción, en particular de su cúpula. Sin embargo, en esta entrega,  solo  nos vamos a fijar en esa una unidad gigante de alfombras geométricas, fascinantes, alineadas en el suelo de la catedral. Ese suelo de mármol rojo, blanco, negro y verde fue una tarea colosal que llevó 160 años completarse. Fue llevado a cabo por los talleres gran ducales de Florencia, guiado por el escultor renacentista Baccio D`Agnolo y se completó en 1660. El objetivo de los constructores era superar el esplendor de los pisos imperiales romanos sobre todos los del Panteón. 

De todas estas alfombras de mármol,  al visitante le causa impresión un piso totalmente plano, que es una alfombra geométrica que mediante una notable ilusión óptica de las baldosas,  cuando se ve desde arriba, la intrincada geometría crea la ilusión de un abismo gigante.

 Esta maravilla matemática representa el camino de infierno con su proyección hacia abajo. Por eso, está construida  en  frente y  en el otro extremo donde está la cúpula, que representa el cielo con su proyección hacia arriba. Todo está pensado y calculado.

Una curiosidad más que podemos utilizar, con nuestros alumnos, para mostrar la importancia de la Geometría y las Matemáticas en las construcciones pasadas.  

Si alguna vez visitamos dicha catedral, no dejemos de observar estas alfombras geométricas, producto de las muchas matemáticas que sabían quienes construyeron y diseñaron dicho edificio.

  Como dato curioso, la cresta de la familia Médici, la familia bancaria que dejó una marca imborrable en Florencia y jugó un papel importante en la terminación de la catedral, se puede ver en varias secciones de la planta.

PARA LOS MÁS CURIOSOS…

que quieren saber más sobre los Médici :

Los Medici: benefactores de su visita turística en Florencia (una introducción rápida) • Pasee virtualmente (wandervirtually.com)

o sobre la Catedral de Florencia:

La catedral de Florencia, maravilla del Renacimiento (nationalgeographic.com.es)

Entre otras muchas páginas que podemos encontrar en internet. 

DE CINCO EN CINCO

Hoy vamos a hablar del número cinco a lo largo de la historia y de las distintas actividades que podemos realizar en la escuela para su enseñanza, por analogía, el profesor puede elaborar el mismo estudio para el resto de los números. El numero cinco en castellano viene del quinque del latín y en el griego es el pente de ahí la palabra pentágono.

Para los Pitagóricos representa el primer número después del cuatro, el tetrakys, que representa los cuatro elementos de agua, fuego, aire y tierra. El cinco, en esto, representa la quintaesencia, la vida misma y específicamente la fuerza de la voluntad, la fuerza activa y generadora en el hombre. También era el símbolo que identificaba a la escuela de los pitagóricos, quienes le llamaron pentagrama (en griego: "Cinco Letras") y le atribuían un carácter terapéutico. Los pitagóricos usaron este símbolo como un signo secreto para reconocerse unos a otros 

Pero el significado del cinco es aún más profundo: en el tarot la quinta carta es la de Hierofante,  que  representa la unión del trinario y el binario, la unión sagrada del espíritu y la materia. El cinco se considera el número del matrimonio, la unión del dos femenino con el tres masculino.

 También, el número 5 aparece 318 veces en la Biblia. Por ejemplo, están los cinco libros de Moisés, Jesús enseñó acerca de las cinco vírgenes prudentes y utiliza cinco panes de cebada para alimentar a los 5,000.

Sin embargo para nuestra labor de profesores, la observación atenta de la naturaleza  nos hace observar que obedece a un patrón en base cinco, evidente en cada ser considerado como un todo y en sus miembros o partes. Los seres humanos tenemos cinco miembros (cabeza, brazos y piernas) y nuestras manos y pies están dotados cada uno con cinco dedos. Las plantas poseen cinco partes (raíz, tronco, hoja, flor y fruto), los nudos de los árboles leñosos, como el roble, conforman los vértices de un pentágono; muchas flores  tienen una forma de estrella de cinco puntas y si cortamos algunas  frutas  (manzana, plátano) de manera radial descubriremos que las semillas están dispuestas como un pentágono. El mundo mineral no está exento de ellos pues los cristales de pirita siguen un patrón pentagonal.

Este conocimiento se puede utilizar para hacer comprender el significado del número cinco a los alumnos, en complemento con algunas actividades que planteamos a continuación.   

1- Actividades con el propio cuerpo. Las primeras actividades serían de observación del propio cuerpo y que el alumno diga partes del cuerpo que sean cinco. Los alumnos descubren rápidamente que tenemos cinco dedos en cada mano y pie. Después siempre alguno observa que también tiene cinco uñas.

Como el número cinco está relacionado con las manos y los pies se pueden realizar correspondencia de éstas con distintos objetos como anillos de papel, dedales, guantes etc. Si el alumno coloca un anillo en cada dedo de la mano observa que obtiene 5 objetos; si se coloca un guante, observa que cada dedo del guante coincide con uno de la mano.

1- Descomposiciones del número 5.

 2- Descomposiciones del número 5. Otras actividades importantes son la composición  y descomposición del número de estudio para que el alumno observe que el todo contiene también a las partes, es decir, que cinco, por ejemplo,  contiene a tres y a dos. Se trata de descomponer de todas las formas posibles el número correspondiente.

El profesor puede suministrar a los alumnos una bolsita en la que introducimos cinco fichas o bolas. El alumno debe contar las fichas y observar que hay cinco. Después trazamos en la bolsa una raya de separación con rotulador permanente e invitamos a los alumnos a hacer descomposiciones del número 5, como se muestra en la figura 1.

 Los alumnos colocados en grupos- por ejemplo de 6- cada uno tienen una bolsa y realizan descomposiciones distintas dentro del mismo grupo y van apuntándolas en una libreta. Así, todo el grupo observa algunas de las descomposiciones distintas de número 5.

Con esta actividad se siembra la conmutatividad de la suma. El profesor debe hacer observar al  alumno que la descomposición 2+3 es la misma que 3+2 pues nos da el mismo resultado. 

        

2- Descomposiciones con pinzas y círculos 

La misma actividad se puede realizar con otros materiales, como pueden ser pinzas de colores y cartulinas correspondientes al número de estudio, en este caso el cinco.

Realizamos una cartulina con cinco círculos y tenemos pinzas de dos colores. La actividad se puede realizar de la siguiente forma: El alumno tira un dado y coloca tantas pinzas rojas como indique el dado y debe rellenar con pinzas verdes el resto de los círculos. Luego se puede apuntar la descomposición. Como vemos en las figuras 2, en el primer caso tenemos la descomposición 2+3 y en el segundo caso 4+1.

 

3- Llegar a un número por disminución.

3- Llegar a un número por acumulación o disminución. Es importante llegar al número cinco tanto por acumulación a partir de números más pequeños como por disminución desde números más grandes. Para ello, el profesor da un grupo de objetos mayor que cinco, por ejemplo cubitos, y los alumnos deben quitar todos los que sobran, hasta que dejen sólo cinco (llegar a un cardinal por disminución) (figura 3).

 También,  dado un grupo de objetos menor que cinco, como cubitos, que el alumno agregue los que faltan para llegar a cinco (llegar a un cardinal por acumulación) (figura 4). Las dos actividades se deben realizar con otros objetos cotidianos del alumno como zapatos o del material escolar como lápices. El objetivo de la actividad es que el alumno observe que el número 5 contiene a otros números menores y está, también, contenido en otros mayores.  

 4- Llegar a un número por acumulación.

PARA LOS MÁS CURIOSOS

En nuestro texto

Barrantes, M., Zapata, M. y Barrantes, M.C. (2022). Didáctica de los números y las operaciones en la Educación Primaria. Ed. Universidad de Piura. Piura (Perú)

puede encontrar más información sobre cómo enseñar cada uno de los primeros números y actividades vivenciadas para poder comprender bien estos conceptos.

 

COMPRENSIÓN DEL CONCEPTO VOLUMEN.

 Es necesario en la enseñanza, pararse un tiempo para que el alumno comprenda bien el concepto de volumen, y no pasar rápidamente al estudio de fórmulas y propiedades que no valen para nada cuando no se ha asimilado, correctamente, dicho concepto. Por ello, proponemos una serie de actividades a realizar con los alumnos que nos pueden ayudar a la comprensión de este concepto.

Para Piaget, el volumen tiene distintos significados. Vamos a plantear algunas tareas para trabajar estos significados y que son: Volumen interno, volumen ocupado y volumen desplazado.

1- Volumen interno es referido a la cantidad de unidades de material que conforman un cuerpo. Estas actividades es recomendable trabajarlas en el laboratorio con cubos encajables o de madera para poder formar las pilas y nunca, en principio, sobre el dibujo de la ficha.

1- ¿Cuántos cubos hay en la primera pila de la figura 1? Estima los cubos que hay en la segunda pila de la figura 1  ¿cómo has hecho la estimación?

                    

Figura 1. Estimaciones de cubos                 Figura 2. Introducción al volumen.

Con estas actividades podemos hacer observar a los alumnos la aditividad del volumen, en el sentido de que la suma de los  volúmenes  de partes disjuntas de un todo es igual al volumen de este todo. Por ejemplo:

2 – a- ¿Cuántos cubos hay en cada capa de la primera pila de la  figura 2?¿cuántas capas hay? ¿Qué nos sale si multiplicamos el número de cubos de cada capa por el número de éstas?

b- Haz lo mismo con la segunda pila de la figura 2. Construye otra pila que tenga el mismo volumen.

 c-  En la primera pila de cubos de la figura 2. ¿Cuántas caras de los cubos podemos ver en cada cara lateral y en la cara de arriba? ¿Sin verla, sabrías calcular cuántas caras tiene la base? Con estas actividades queremos diferenciar entre el área lateral  y el volumen.

Ahora vamos a realizar actividades como siembra de la fórmula que aprenderá en Secundaria sobre el cálculo del volumen a partir del área de la base por la altura. Estas actividades deben ser del tipo:

3 - Sabiendo cuantas capas necesitas para llenar las cajas, calcula cuántos cubos caben en cada una de éstas (figura 3)

Figura 3. Introducción a la fórmula del cálculo del volumen.

2- Volumen ocupado se denomina a la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo en relación con otros objetos del entorno.     

4- - ¿En qué cuerpos podemos medir su volumen: un cubo, un dado, una cazuela, un vaso, una hoja de papel? -¿Incluso la hoja de papel? ¿ y su capacidad?

El alumno observa que puede medir el volumen de cualquier objeto de nuestro mundo tridimensional, mientras la capacidad se asocia con el espacio vacío del recipiente que podemos ocupar o volumen que cabe en un espacio (volumen ocupado). El profesor hace ver a los alumnos que: Los objetos de los que podemos medir su capacidad son aquellos que pueden ser llenados, es decir, los que tienen un espacio vacío, como son los recipientes. El profesor debe hacer también observar a los alumnos que estas actividades nos muestran que los líquidos también tienen un volumen.

5- El profesor dice a los alumnos: “Selecciona un ortoedro y una pirámide entre los sólidos transparentes que tenga la misma base y la misma altura. Haz una estimación de cuántas veces tendremos que llenar la pirámide de agua, para mediante trasvase, llenar el ortoedro”. Comprueba tu estimación. ¿Qué podemos deducir de la capacidad y del volumen de éstos dos cuerpos? Haz lo mismo con otros ortoedros y pirámides en las mismas condiciones.

Figura. 4. Matraz con globo y embudo.

Volumen desplazado son actividades de inmersión es decir, actividades del volumen de líquido desplazado por un cuerpo que se sumerge en dicho líquido.

6- El profesor dice a los alumnos: “Vamos a medir el volumen de una bola de plastilina mediante inmersión en una probeta graduada. Si introducimos la bola en la probeta que contiene agua hasta un cierto nivel, ¿qué pasa con el agua?¿qué cantidad de agua ha subido?¿cuál será el volumen de la bola de plastilina?”

7- Ahora introducimos una bola de plastilina en una probeta con agua y medimos el volumen mediante inmersión de la bola. A continuación, sacamos la bola y la moldeamos en otra forma, por ejemplo, de churro. La volvemos a introducir en la probeta. ¿qué pasa con el volumen? ¿varía?

Mediante actividades de este tipo,  el alumno puede comprobar que la forma no influye en el volumen. Las ideas erróneas sobre el peso y el volumen surgen cuando introducimos objetos en líquidos y se presenta un cambio de nivel. Algunos alumnos asocian ese cambio con el peso y no con el volumen. También entre los estudiantes para maestros hay ideas erróneas que hacen que no establezcan relación alguna entre el peso y el volumen, ni siquiera con cuerpos del mismo material. El profesor debe realizar actividades para erradicar todos estos errores.

8-  El alumno toma dos cubos iguales, uno de papel y otro de madera. Como tienen diferentes características físicas, el maestro puede preguntar: ¿Cuál tiene mayor capacidad?

Los alumnos que confundan capacidad y volumen pueden concluir que el cubo de papel al ser hueco tiene mayor volumen porque en el otro no cabe nada. Cuando el alumno confunde volumen con la materia o con el peso dirán que tiene mayor volumen el de madera. Solamente aquellos alumnos que asocien volumen con espacio ocupado dirán que ambos cubos tienen el mismo volumen.  

9- El profesor dice: Tomamos dos cajitas, una con arena, y otra con monedas, al cogerlas comprobamos que el peso no es el mismo, pero ahora tenemos que comprobar su volumen. Las introducimos en dos probetas con la misma cantidad de agua y ¿qué ha pasado? Mediante actividades de este tipo, el alumno puede observar que el peso no influye en el volumen.

10- ¿El aire pesa? Tomamos una percha atamos dos globos desinflados en los extremos de forma que la percha quede equilibrada. Luego, inflamos uno de ellos, ¿qué ocurre?

11- Vamos a tomar ahora  un matraz (figura 4)  que es un recipiente de vidrio de cuello alto usado en los laboratorios,  con un globo al final del tubo y un embudo que cierra herméticamente la boca, ¿qué pasara si llenamos el matraz de agua? ¿Se inflará el globo? ¿el aire del recipiente ocupa un volumen?

Con actividades de este tipo, el alumno observa que los gases tienen volumen y  en el ejercicio11, el aire que hay dentro tiene que salir para dejar espacio al agua.

Espero que estas actividades nos sean útiles para que el alumno comprenda mejor el concepto de volumen, 

PARA LOS MÁS CURIOSOS

En nuestro manual, Didáctica de la Medida, puede encontrar más ejemplos de cómo trabajar el volumen y otras medidas. Su descarga es gratis.

(PDF) Didáctica de la medida en Primaria. (researchgate.net)

 

BUSCANDO A PITÁGORAS : TRES EJEMPLOS

Volvemos a nuestras entregas semanales y, a gala del nombre de nuestro blog,  lo hacemos con tres ejemplos que nos muestran como El teorema de Pitagóras está en el arte contemporáneo. 

Mel Bochner (nacido en Pittsburgh, Pensilvania, en 1940). Una parte importante de la obra de este artista está relacionada con los números y las matemáticas. Entre sus obras destacan algunas que reflexionan sobre el Teorema de Pitágoras. En particular, en ella mencionábamos una serie de obras titulada Meditación sobre el Teorema de Pitágoras, en la cual empezó a trabajar a principios de los años 1970 y sobre la que ha continuado trabajando hasta la actualidad.

En esta serie de obras aborda la representación gráfica de la terna pitagórica (3, 4, 5), que satisface la ecuación 3² + 4² = 5² (9 + 16 = 25), y su conexión con el asociado triángulo rectángulo, pero dando mayor importancia a los valores numéricos de la terna pitagórica, 3, 4 y 5, y el valor de sus cuadrados, que representa en sus esculturas con diferentes objetos, desde avellanas, guijarros o cristales, hasta fichas del juego Go. 

Versión de libro de artista de la obra Meditación sobre el Teorema de Pitágoras (1993), en la Galería de arte 360º, Tokio (Japón), realizada con fichas del juego Go, 8 copias con fichas blancas, salvo las tres negras de los vértices del triángulo (imagen de abajo), y 4 copias con fichas negras, salvo los vértices (imagen de arriba). Tamaño 60 x 55 x 19 cm. 

Un segundo  ejemplo es la obra Pythagoras (1989) del compositor y artista coreano-americano Nam June Paik (Seúl, Corea del Sur, 1932 – Miami, EE.UU., 2006), uno de los creadores del videoarte. La obra está formada por 16 televisores, que representan el triángulo rectángulo de catetos 4 y 7 televisores. El cuadrado de la hipotenusa son 5 tubos de neón azul que se proyectan arriba del rectángulo. El cuadrado lateral de 4 unidades, son tres 3 tubos de neón rojo construidos en la pared izquierda, y 5 tubos de neón verde, para el cuadrado del cateto de la base de 7 unidades. Las  imágenes que se emitían en las televisiones procedían de tres lectores de dvd.

Y como tercer ejemplo, citamos al artista plástico y matemático francés Pierre Gallais  que realizó dos instalaciones relacionadas con el diagrama del Teorema de Pitágoras en el año 1990, en el Centro de Arte Contemporáneo de Fleurs (Francia), cuyas fotografías mostramos.

Pythagore (1990)

Intersections (1990), 

Como conclusión podemos decir que Pitágoras no solo sigue interesando en la Educación sino en otros campos como es el Arte Actual.

P. or otra parte, queremos agradecer a todos los que han descargado nuestros libros y artículos de Researchgate, Home Feed | ResearchGate página en la que hemos alcanzado las 80.000 lecturas.

MUY AGRADECIDOS, seguiremos en nuestras próximas entregas con el estudio de la Didáctica de las Matemáticas.