EL HOTEL INFINITO DE HILBERT.

 

Muchas veces surgen en el aula el infinito y expresiones como:

∞ +  40 = ∞                    o                             ∞  + ∞ =∞

y no tenemos muchos recursos para hacer entender que la solución en los dos casos es infinito.

El alumno debe comprender que el mundo de los cardinales transfinitos no tiene la mismas leyes que los cardinales finitos, es decir: nunca la suma de dos cardinales finitos puede darnos uno de los cardinales sumados por ejemplo 3 + 4 nunca puede dar 3 o 4.

Una de las buenas maneras de hacer comprender dichas expresiones es la Paradoja del Hotel Infinito de Hilbert (gran matemático alemán de los siglos XIX y XX).

 Lo explicamos de modo resumido.

 

Dos grandes hoteleros deciden hacer un hotel que sea el más grande nunca visto por lo que deciden que tenga infinitas habitaciones. Tan pronto se abrieron las puertas, el hotel se llenó. Se tomó como medida que los huéspedes siempre tendrían habitación asegurada, pero con el acuerdo previo de que tendrían que cambiar de habitación cada vez que se les pidiera.

Fue entonces cuando llegó un hombre al hotel, pero este se encontraba lleno, por supuesto esto no preocupó al cliente pues en el Hotel Infinito se aseguraba que todos tendrían habitación. El hombre pidió su habitación y el recepcionista, consciente de que no habría ningún problema, tomó un micrófono por el que avisó a todos los huéspedes que por favor revisaran el número de su habitación, le sumaran uno y se cambiaran a ese número de habitación, de esta manera el nuevo huésped pudo dormir tranquilamente en la habitación número 1. Pero, ¿qué pasó entonces con el huésped que se encontraba en la última habitación? Sencillamente no hay última habitación. Así pues podemos observar que ∞ +  1= ∞ es infinito.

Igualmente se podría hacer si llegan n clientes (2, 40, 50,…) pues basta que el huésped de la habitación 1 se traslade a la habitación n (2, 40, 50,…) y así sucesivamente todos los de las demás habitaciones. Ejemplo: llegan 20 clientes:

1 pasa a la 21, 2 pasa a la 22, 3 pasa a la 23 …y nos quedan las 20 primeras libres.  

Luego ∞ + 20 = ∞ y en general  ∞ +  n (2, 40, 50,…) = ∞

Estando el hotel lleno de infinitos huéspedes, llegó un representante de una agencia de viajes, su problema era que tenía una excursión de infinitos turistas que necesitarían hospedarse esa noche en el hotel. Se trataba, por lo tanto, de hacer sitio a infinitos huéspedes en un hotel con infinitas habitaciones, todas ellas ocupadas en aquellos momentos. Pero el recepcionista no tuvo ningún problema en aceptar a los nuevos turistas. Cogió el micrófono y pidió a todos los huéspedes que se mudaran a la habitación correspondiente al resultado de multiplicar por 2 el número de su habitación actual. De esa forma todos los huéspedes mudaron a una habitación par, y todas las habitaciones impares quedaron libres. Como hay infinitos números impares, los infinitos turistas pudieron alojarse sin más problema.

Es decir, los clientes ocuparon las habitaciones pares y quedaron libres las impares:

1 pasa a la 2, 2 pasa a la 4, 3 pasa a la 6 , 4 pasa a la 8 y así sucesivamente luego van quedando libres la 1, 3, 5, 7 que la ocupan los que vienen en la excursión como vemos en el esquema de abajo.  

De esta forma ∞  + ∞ = ∞  y podemos decir también que hay tantos números pares como número impares y como números naturales.

Así pues, el conjunto de los números naturales (1, 2, 3, 4, 5…) es infinito, y parece más o menos razonable pensar que el conjunto de los números naturales pares, por muy infinito que sea, tendría que ser más pequeño que el primero, exactamente la mitad de pequeño que los números naturales. Pero no es así, como probamos en el hotel Infinito. Hay que recalcar que el comportamiento de los cardinales transfinitos no tiene las mismas reglas que los cardinales finitos.

  En internet existen varios enlaces que cuentan con imágenes esta paradoja por ejemplo: https://www.youtube.com/watch?v=eZMiur2PpM8

 

PARA LOS MÁS CURIOSOS.

El problema sigue planteando el caso de que llegan infinitas excursiones con infinito número de turistas  pero este caso lo dejamos para los más curiosos y se puede leer en el siguiente enlace en la denominada tercera paradoja.  

 

El Hotel Infinito. La paradoja de los infinitos.

 

REBAJAS, CALCULADORAS Y CÁLCULO MENTAL

Buscando la utilidad de las matemáticas, hoy proponemos actividades de tanto por ciento que se hacen rápidamente con la calculadora y que nos enseñan a estimar mentalmente en las compras de la vida cotidiana. Estas actividades también se pueden hacer mentalmente pues una vez aprendidas no se necesita más que hacer una multiplicación sencilla. 

Comenzamos haciendo cálculo de cantidades con % incluido. La tecla % de la calculadora es, también, útil para calculo de cantidades a las que se le aumenta un % dado. Nuestro objetivo es calcular directamente la nueva cantidad, en una sola operación, sin necesidad de calcular primero el % y luego sumarlo a la cantidad.,  Por ejemplo:

- Si una prenda cuesta 500 euros y le aumentamos un 8% ¿cuál será su precio nuevo?

Si la prenda costara 100 euros, su precio final sería 108 euros. Luego la operación será multiplicar por  108%, o multiplicar por 1.08 en tanto por 1. Es decir hacemos con la calculadora, usando la tecla %:  

500 x 108% = 540 o bien 500 x 1,08 =540

 Sin embargo. el caso más útil en la vida ordinaria es el de los descuentos porcentuales, que admite un tratamiento similar. Descontar un 20% significa multiplicar por 80% el precio original o multiplicar por 0,80, pues si el precio fuera 100 euros, el resultado sería 80 que equivale a multiplicar por 80% o por 0,80 a esta se le llama cantidad complemento. 

Así pues en la vida ordinaria podemos estimar el coste de un artículo de la siguiente forma:

Si una prenda cuesta 50 euros y nos hacen un 30 %. Sabemos que la cantidad complemento de 30 es 70 luego multiplico el precio total 50 por el complemento 70 y me dan 35 pues como hay que dividir por cien suprimo las dos últimas cifras. Mentalmente se multiplica 5 por 7.

 En otro ejemplo, si cuesta 70 euros y me hacen un 40 por ciento (complemento 60)   sería 7 por 6 =  42 euros y obtenemos el precio de la prenda.

Decimos estimar porque algunos ejemplos no son tan sencillos. Por ejemplo, si  la  prenda cuesta 55 euros y nos hacen un 35 por ciento (complemento 65)  podemos estimar mediante las cantidades 50 euros y complemento 70 que nos daría 35 euros siendo la cantidad real 35,75, con lo que se  consigue una buena estimación. Es decir mentalmente no sería exacto multiplicar 5 (decenas) por 7 (complemento) pero se aproxima lo suficiente para decidir si lo compro o no.   

En el aula podemos seguir haciendo actividades que muestren a nuestros alumnos la importancia de los tantos por cientos en la vida ordinaria.

- Diseña una tabla  de precios para aplicar  el método dado,  para el caso de marcar los precios de las  prendas en una tienda con un 75% añadido sobre el precio de compra en fábrica. Estima primeramente los resultados y luego resuelve con la calculadora.  

-  Idem en el caso de marcar los artículos con una rebaja del 30%. 

- Aquel comerciante había descubierto un truco genial: si quería vender a un precio determinado, lo aumentaba en un 15% y así cuando venía el cliente le podía hacer un 15% de descuento, ¿qué opinamos de dicho comerciante? ¿Qué ganancias tenía? ¿ qué porcentaje? Resuelve con calculadora

- Hemos dividido los gastos de la excursión entre los 25 alumnos que asistieron. Posteriormente resulta que los dos profesores también pagan ¿ qué porcentaje se ahorran los alumnos? Resuelve con la calculadora.

- Siempre se comenta la incidencia que sobre los precios finales tiene la existencia de intermediarios. Es muy fácil matematizar tales comentarios. ¿qué ocurre con el precio de un producto que pasa por las manos de 3 intermediarios, cada uno de los cuales vende el producto un 50% más caro de lo que le costó?¡ A qué el resultado es sorprendente! Y eso que un margen del 50% no es gran cosa. Resuelve con la calculadora.

PARA LOS MÁS CURIOSOS. 

 Si queremos seguir leyendo sobre problemas de la vida ordinaria, de cálculo mental, estimación entre otros, recomendamos nuestro artículo: La resolución de problemas aritméticos y su tratamiento didáctico en la Educación Primaria. 

https://www.researchgate.net/publication/346944070_La_resolucion_de_problemas_aritmeticos_y_su_tratamiento_didactico_en_la_Educacion_Primaria

 

LA LEYENDA DE SISSA, EL AJEDREZ Y EL CRECIMIENTO EXPONENCIAL

 

Actualmente se habla mucho del crecimiento exponencial, término muy utilizado durante la pandemia donde sí se produjo un crecimiento exponencial de casos. En esta entrega vamos a diferencial este término para entender cuando se produce este crecimiento y no usarlo en cualquier problema como se está observando en las noticias actuales.

Para entenderlo mejor tenemos que contar La leyenda de Sisa,  bien conocida y, aparte de explicar el origen del ajedrez, se usa con frecuencia para ilustrar el crecimiento exponencial. Se trata de una leyenda relatada en el libro persa Shāh-nāmeh (c. siglo XI), aunque cuenta con varias versiones posteriores.

Cuenta la leyenda que hace mucho tiempo reinaba en cierta parte de la India un rey llamado Sheram. En una de las batallas en las que participó su ejército perdió a su hijo, y eso le dejó profundamente consternado. Nada de lo que le ofrecían sus súbditos lograba alegrarle.

Un buen día un tal Sissa se presentó en su corte y pidió audiencia. El rey la aceptó y Sissa le presentó un juego que, aseguró, conseguiría divertirle y alegrarle de nuevo: el ajedrez. Después de explicarle las reglas y entregarle un tablero con sus piezas el rey comenzó a jugar y se sintió maravillado: jugó y jugó y su pena desapareció en gran parte. Sissa lo había conseguido. Sheram, agradecido por tan preciado regalo, le dijo a Sissa que como recompensa pidiera lo que deseara.

– Sissa, quiero recompensarte dignamente por el ingenioso juego que has inventado —dijo el rey.

El sabio contestó con una inclinación.

– Soy bastante rico como para poder cumplir tu deseo más elevado —continuó diciendo el rey—. Di la recompensa que te satisfaga y la recibirás.

Sissa continuó callado.

– No seas tímido —le animó el rey—. Expresa tu deseo. No escatimaré nada para satisfacerlo.
– Grande es tu magnanimidad, soberano. Pero concédeme un corto plazo para meditar la respuesta. Mañana, tras maduras reflexiones, te comunicaré mi petición.

Cuando al día siguiente Sissa se presentó de nuevo ante el trono, dejó maravillado al rey con su petición, sin precedente por su modestia.

– Soberano —dijo Sissa—, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero del ajedrez.

– ¿Un simple grano de trigo? —contestó admirado el rey.

– Sí, soberano. Por la segunda casilla, ordena que me den dos granos; por la tercera, 4; por la cuarta, 8; por la quinta, 16; por la sexta, 32… y así sucesivamente hasta completar las 64 casillas.

– Basta —le interrumpió irritado el rey—. Recibirás el trigo correspondiente a las 64 casillas del tablero de acuerdo con tu deseo: por cada casilla doble cantidad que por la precedente.

Pero has de saber que tu petición es indigna de mi generosidad. Al pedirme tan mísera recompensa, menosprecias, irreverente, mi benevolencia. En verdad que, como sabio que eres, deberías haber dado mayor prueba de respeto ante la bondad de tu soberano. Retírate. Mis servidores te sacarán un saco con el trigo que solicitas.

Sissa sonrió, abandonó la sala y quedó esperando a la puerta del palacio.

Durante la comida, el rey se acordó del inventor del ajedrez y envió a que se enteraran de si habían ya entregado al irreflexivo Sissa su mezquina recompensa.

– Soberano, están cumpliendo tu orden. Los matemáticos de la corte calculan el número de granos que le corresponde.

El rey frunció el ceño. No estaba acostumbrado a que tardaran tanto en cumplir sus órdenes.

Por la noche, al retirarse a descansar, el rey preguntó de nuevo cuánto tiempo hacía que Sissa había abandonado el palacio con su saco de trigo.

– Soberano —le contestaron—, tus matemáticos trabajan sin descanso y esperan terminar los cálculos al amanecer.

– ¿Por qué va tan despacio este asunto? —gritó iracundo el rey—. Que mañana, antes de que me despierte, hayan entregado a Sissa hasta el último grano de trigo. No acostumbro a dar dos veces una misma orden.

Por la mañana comunicaron al rey que el matemático mayor de la corte solicitaba audiencia para presentarle un informe muy importante.

El rey mandó que le hicieran entrar.

– Antes de comenzar tu informe —le dijo Sheram—, quiero saber si se ha entregado por fin a Sissa la mísera recompensa que ha solicitado.

– Precisamente por eso me he atrevido a presentarme tan temprano —contestó el anciano—. Hemos calculado escrupulosamente la cantidad total de granos que desea recibir Sissa. Resulta una cifra tan enorme…

– Sea cual fuere su magnitud —le interrumpió con altivez el rey— mis graneros no empobrecerán. He prometido darle esa recompensa, y por lo tanto, hay que entregársela.

– Soberano, no depende de tu voluntad el cumplir semejante deseo. En todos tus graneros no existe la cantidad de trigo que exige Sissa. Tampoco existe en los graneros de todo el reino. Hasta los graneros del mundo entero son insuficientes. Si deseas entregar sin falta la recompensa prometida, ordena que todos los reinos de la Tierra se conviertan en labrantíos, manda desecar los mares y océanos, ordena fundir el hielo y la nieve que cubren los lejanos desiertos del Norte. Que todo el espacio sea totalmente sembrado de trigo, y ordena que toda la cosecha obtenida en estos campos sea entregada a Sissa. Sólo entonces recibirá su recompensa.

El rey escuchaba lleno de asombro las palabras del anciano sabio.

– Dime cuál es esa cifra tan monstruosa —dijo reflexionando.

– ¡Oh, soberano! Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince, en números arábigos  18 446 744 073 709 551 615 (18,4 trillones) de granos de trigo. 

Esta leyenda nos muestra como es el crecimiento exponencial: empieza con cifras modestas… pero las multiplica cada vez. Pasado un tiempo, el crecimiento es cada vez mayor, enorme… exponencial. Como nos muestra la foto de principio. 

 Un ejemplo claro de nuestra época es la digitalización, la preponderancia de la información, es un factor decisivo, un habilitador, del crecimiento exponencial. Y en esa digitalización, en esa transformación digital, nos encontramos inmersos.

Pero hay un detalle adicional. Algo simple que nos revela Martin Ford en ‘The rise of the robots‘

La revolución que ahora está en marcha no ocurre solo por la aceleración en sí, sino porque esa aceleración ha estado ocurriendo durante tanto tiempo que la cantidad de progreso que ahora podemos esperar en cualquier año dado es potencialmente asombrosa.

Así es. No se trata sólo de que la digitalización induzca un cambio acelerado, exponencial. Es que además, llevamos ya unos cuantos años de digitalización. Por tanto, no estamos en el principio de la curva, donde los crecimientos  son moderados. Estamos ya en una parte avanzada de la curva donde la cantidad de progreso es espectacular.

Si volvemos a la leyenda de Sisa, lo que nos ocurre es que ya no estamos en las primeras casillas. Ahora, en la digitalización estamos en medio del tablero.