BUSCANDO A PITÁGORAS, OTRA VEZ

 En anteriores entregas hemos mostrado como diferentes autores han utilizado el teorema de Pitágoras en sus obras, tanto de pintura, como escultura (23-10-2020 Max Bill y el teorema de Pitágoras, 6-10- 2021 Marcus Zilliox encuentra a Pitágoras, 12-1-2022 buscando a Pitágoras).

En esta entrega, añadimos algunos más que hemos encontrado en nuestro quehacer diario. Comenzamos con el artista conceptual norteamericano Mel Bochner, nacido en Pittsburg en 1940, quien a lo largo de su carrera artística ha realizado una interesante y continua reflexión sobre las matemáticas, y en particular, sobre la geometría. La primera de sus obras que traemos a este espacio es “Teorema de Pitágoras (cuadrado rojo)” 

De esta pintura surge una serie de composiciones posteriores que también tienen el teorema  como elemento principal, entre ellas:  Pitágoras (2) Y Pitágoras (4) que mostramos abajo. 

 

Otra línea de trabajo de Bochner fue la desarrollada en obras como “Meditación sobre el Teorema de Pitágoras” de 1972 (realizada con avellanas y tiza sobre el suelo). Esta obra fue utilizada como portada de la revista The College of Mathematics Journal en 2009. 

Mel Bochner ha seguido trabajando sobre esta misma idea hasta la actualidad, utilizando también otros materiales, como piedras, fichas del Go o cristales.

Nuestra siguiente autora es Marion Drennen , artista norteamericana que se define como “artista conceptual que trabaja con las matemáticas”. Entre sus principales temas de interés están los números, las proporciones, las matemáticas en general y la física cuántica. Una de sus obras es “Homenaje a Pitágoras” (2006), (abajo a la izquierda) en la cual podemos ver como elemento central de la obra el diagrama geométrico del Teorema de Pitágoras. En esta obra se alude a otros aspectos importantes de la matemática pitagórica, como es la frase “Number rules the Universe” (el número gobierna el universo), la palabra “Proof” (demostración), puesto que fue Pitágoras quien introdujo la necesidad de dotar de una demostración rigurosa y lógica a los resultados matemáticos, los números Pi y raíz de dos, la espiral áurea, el pentágono o las proporciones musicales, entre otros.

El arte de  Serge Doubovetzky, pintor francés de origen ruso, también está profundamente relacionado con las matemáticas. Mostramos aquí su obra “Pitágoras 2” abajo a la derecha. 

     

Cambiando un poco de tipo de arte y adentrémonos en lo que se conoce como arte masónico. Jens Rusch, lleva adelante el proyecto de Wikipedia Masónica,  el cual empezó como un proyecto tan solo en lengua alemana y con temáticas más reducidas, pero como él mismo dice “su criatura creció rápidamente y ha despertado el interés de masones, e instituciones de todo el mundo”.  La imaginería de la masonería tiene mucho que ver con la geometría clásica, y suele incluir objetos como la escuadra y el compás, pero también el Teorema de Pitágoras, como en el dibujo de este artista alemán de título “Pitágoras”.

 Queremos acabar esta entrega con un precioso cuadro del artista uruguayo D. Amaral Oyarvide, que asume el desafío y concreta un entrañable rescate de lo bello. Importa la precisión porque esa devoción hacia la belleza es uno de las guías esenciales en toda su obra. El cuadro lleva por título  “Pitágoras, demostración del teorema”.

PARA LOS MÁS CURIOSOS.

Esta obra de Mel  Bochner tiene  como punto de partida la igualdad algebraica que subyace al teorema de Pitágoras, a²+b²=c², y a la terna pitagórica utilizada como ejemplo universal, (3, 4, 5), es decir, 3²+4²=5² (9+16=25). Si nos fijamos en la imagen, los cuadrados tienen 9, 16 y 25 avellanas (al permitirse contar las avellanas de los vértices del triángulo rectángulo en los dos cuadrados en los que están, lo cual fue una acertada decisión del artista en beneficio del resultado visual final).

La crítica de parte de la comunidad matemática es que al poner las avellanas sobre el esquema geométrico típico, el triángulo rectángulo dibujado en tiza blanca resulta no ser realmente un triángulo rectángulo, ya que sus catetos miden 2 unidades (siendo una unidad la distancia entre avellana y avellana) y 3 unidades, mientras que su hipotenusa mide 4 unidades, terna que no verifica el teorema de Pitágoras 2²+3² = 13 ¹ 16 = 4², y por tanto, el triángulo (2, 3, 4) no es rectángulo. Efectivamente, esto es cierto, aunque la obra de Bochner es una bella y sugerente pieza de arte, que como el mismo dice es una meditación (artística y personal) del Teorema de Pitágoras, y no una ilustración del mismo.

UNA DE REBAJAS

Llega el tiempo de las rebajas y los problemas que se nos presentan, cuando vamos de compra, son como el siguiente:

Si una prenda cuesta 50 euros y nos hacen un 30 % ¿Cuál es el precio que tenemos que pagar?

Podemos resolverlo rápidamente con una calculadora pero también podemos hacerlo mentalmente mediante una estimación aproximada. Nosotros vamos a hacer los cálculos  en estos primeros problemas de forma mental que es como se presenta la situación cuando estamos de compras.

El cálculo del problema anterior es sencillo descontar un 30 %  sería hacer el 30% de 50 o sea 30.50/100 que nos da 15 luego tendríamos que pagar 50-15 = 35

Así de una forma rápida multiplicamos los dos primeros dígitos 5 y 3 ( nos da el descuento 15)  y restamos para saber la cantidad que tenemos que pagar que es 35.

Otro ejemplo: Si la prenda cuesta 41 euros y nos hacen un 20 por ciento ¿Cuál es el precio que tenemos que pagar?

 Estimaríamos con 4 x 2 que nos da 8 euros que restado a 41 sería 33 euros. Evidentemente el cálculo sería 4,1 x 2 pero para evitar decimales redondeamos. El precio exacto hubiera sido 32, 8 que podemos ver que  el error es mínimo.

 También podemos calcular el precio final de la prenda con una sola multiplicación.

Si una prenda cuesta 50 euros y nos hacen un 30 % ¿Cuál es el precio que tenemos que pagar?

Descontar un 30% significa multiplicar por 70% el precio original o multiplicar por 0,70, pues si el precio fuera 100 euros, el resultado sería 70 que equivale a multiplicar por 70% o por 0,70.

Así pues, sabemos que la cantidad complemento 100 de 30  es 70 luego multiplico el precio total 50 por el complemento 70 y me dan 35 pero como hay que dividir por cien suprimo las dos últimas cifras y hacemos 5 x 7 = 35.

Es decir, para obtener el precio final multiplico el dígito primero (5)  del precio por el número complemento a 10 del tanto por ciento (7 es el  complemento del número 3) el precio exacto es 35.    

 En otro ejemplo, si cuesta 70 euros y me hacen un 40 por ciento (complemento a 10 de 4 es 6)   sería 7 por 6 =  42 euros y obtenemos el precio final de la prenda.

 A veces hay que estimar porque algunos ejemplos no son tan sencillos. Por ejemplo, si  la  prenda cuesta 55 euros y nos hacen un 35 por ciento (complemento 6,5)  podemos estimar mediante las cantidades 50 euros y complemento 7 que nos daría 7 x 5 = 35 euros la cantidad estimada y  siendo la cantidad real 35,75 con lo que se  consigue una buena estimación.  

 En el aula podemos tratar los problemas de tanto por ciento como cálculo mental, como hemos hecho en los problemas anteriores, o mediante la calculadora básica.   

Comenzamos haciendo cálculo de cantidades con % incluido. La tecla % de la calculadora es, también, útil para calculo de cantidades a las que se le aumenta un % dado. Nuestro objetivo es calcular directamente la nueva cantidad, en una sola operación, sin necesidad de calcular primero el % y luego sumarlo a la cantidad. Por ejemplo:

- Si una prenda cuesta 500 euros y le aumentamos un 8%¿cuál será su precio nuevo?

Si la prenda costara 100 euros, su precio final sería 108 euros. Luego la operación será multiplicar por  108%, o multiplicar por 1.08 en tanto por 1. Es decir hacemos con la calculadora, usando la tecla %:  

500 x 108% = 540 o bien 500 x 1,08 =540

En el aula podemos seguir haciendo actividades que muestren a nuestros alumnos la importancia de los tantos por cientos en la vida ordinaria. Estos problemas acercan las matemáticas a la vida ordinaria y al entorno en el que se desenvuelve el alumno.

- Diseña una tabla  de precios para aplicar  el método dado,  para el caso de marcar los precios de las  prendas en una tienda con un 75% añadido sobre el precio de compra en fábrica. Estima primeramente los resultados y luego resuelve con la calculadora.  

-  Idem en el caso de marcar los artículos con una rebaja del 30%. 

- Aquel comerciante había descubierto un truco genial: si quería vender a un precio determinado, lo aumentaba en un 15% y así cuando venía el cliente le podía hacer un 15% de descuento, ¿Qué opinamos de dicho comerciante? ¿Qué ganancias tenía? ¿Qué porcentaje? Resuelve con calculadora.

- Hemos dividido los gastos de la excursión entre los 25 alumnos que asistieron. Posteriormente resulta que los dos profesores también pagan ¿Qué porcentaje se ahorran los alumnos? Resuelve con la calculadora.

- Siempre se comenta la incidencia que sobre los precios finales tiene la existencia de intermediarios. Es muy fácil matematizar tales comentarios. ¿qué ocurre con el precio de un producto que pasa por las manos de 3 intermediarios, cada uno de los cuales vende el producto un 50% más caro de lo que le costó?¡ A qué el resultado es sorprendente! Y eso que un margen del 50% no es gran cosa. Resuelve con la calculadora.

PARA LOS MÁS CURIOSOS. 

 Si queremos seguir leyendo sobre problemas de la vida ordinaria, de cálculo mental,  o estimación entre otros, recomendamos nuestro artículo: La resolución de problemas aritméticos y su tratamiento didáctico en la Educación Primaria. 

https://www.researchgate.net/publication/346944070_La_resolucion_de_problemas_aritmeticos_y_su_tratamiento_didactico_en_la_Educacion_Primaria