Es posible que pensemos que solo existe una forma de hacer las multiplicaciones (algoritmo) y que es la que nos enseñaron en la escuela. En esta entrega vamos a ver dos formas distintas de hacer las multiplicaciones, a como lo aprendimos nosotros, y sin necesidad de aprender ninguna tabla. Podemos observar que el resultado sigue siendo el mismo.
La
primera forma es el algoritmo egipcio de multiplicación es
un algoritmo sencillo que aparece en el papiro
de Rhind, del escriba Ahmes, que data de
1650 a.C. El algoritmo, la forma de multiplicar utilizada en Egipto, se basa en
las duplicaciones. Vamos a mostrar el método con un ejemplo.
- Un agricultor egipcio, ayudado por su hijo, ha colocado 35 filas de plantas en su parcela. Si cada fila tiene 43 plantas ¿Cuántas ha plantado en total?
Tomemos los números 35 y 43. Para multiplicarlos construimos dos filas encabezadas por el 1 y uno de los factores, por ejemplo el 35. A continuación duplicamos ambos números para obtener una segunda columna de números; duplicando ésta obtenemos una tercera, y así sucesivamente. El proceso se repite hasta que el primer número de la nueva columna así obtenida exceda al otro factor (el 43, en nuestro ejemplo).
1 2 4 8 16 32
35 70 140 280 560 1120
Ahora lo único que hay que hacer es seleccionar los números de la primera fila que sumen 43, en nuestro caso son 32, 8, 2 y 1. La suma de los números correspondientes de la segunda fila nos proporcionará el resultado de la multiplicación: 1120 + 280+70+35 = 1505. Este algoritmo se fundamenta en la propiedad distributiva, pues multiplicar 35 x 43 es lo mismo que multiplicar 35 x (32 + 8 + 4 + 1). Tiene también la ventaja de que no hace falta construir nuevas filas si queremos multiplicar 35 por otro número. Por ejemplo, si queremos hacer 35 x 16 basta con coger los números de la primera fila que sumen 14, es decir, 8, 4 , 2 y sus correspondientes homólogos que serían 70 + 280 + 140 = 490. Si el número fuera más grande habría que seguir construyendo la serie. Por ejemplo 35 x 70.
1 2 4 8 16 32 64
35 70 140 280 560 1120 2240
Tomaríamos 2, 4, 64, y sus homólogos 70, 140, 2240 que sumados nos dan 2450.
El segundo algoritmo es el llamado de multiplicación rusa es un algoritmo clásico llamado así porque se dice que lo utilizaban los campesinos rusos para realizar multiplicaciones. Lo consideramos adecuado para los alumnos de Primaria porque todas las operaciones que se hacen son duplicar y calcular la mitad de los números correspondientes. Vamos a ver con un ejemplo cómo se realizan estas operaciones. El profesor plantea el problema.
-
Si tu abuelo te da 34 euros cada mes ¿cuánto dinero te da al cabo de un año?
Para resolver por el método ruso colocamos los números a multiplicar en dos columnas de forma que en una de ellas vamos calculando la mitad del número correspondiente y en la otra el doble.
Si al calcular
la mitad salen decimales se redondea al menor entero (la mitad de 17 se
redondea a 8).
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34 |
12 |
|
17 8 4 2 1 |
24 48 96 192 384
|
Ahora el alumno tacha los números pares de la primera columna y sus correspondientes parejas de la segunda; en nuestro caso son: 8, 4 y 2. El resultado final se obtiene sumando los números no tachados de la derecha es decir: 24 y 384, y nos sale:
|
34 |
12 |
|
17
1 |
24 48 96 192
|
24 + 384 = 408
Podemos ver que el resultado de este algoritmo es correcto porque multiplicar 34 x 12 es sumar 2 veces 12 (que
son 24) más 32 veces 12 (que son 384), es decir, 34 veces 12 (que son 408).
Sería interesante mostrar a los alumnos estos algoritmos como ejemplo para trabajar la historia de las Matemáticas y para que descubran que el que ellos aprenden no es único, no hay una única forma de encontrar la solución. Una última tarea:
-
Comprobar que los dos métodos verifican la propiedad conmutativa. Hágalo con los dos
números dados en los ejemplos anteriores.
Este contenido ha sido extraido de nuestra publicación:
Barrantes, M., Zapata, M. y Barrantes, M.C. (2022). Didáctica de los números y las operaciones en la Educación Primaria. Ed. Universidad de Piura. Piura (Perú).
PARA LOS MÁS CURIOSOS.
La pregunta para el lector que quiera profundizar más en el algoritmo ruso sería : - ¿Por qué se toman solamente los números impares?¿ hay alguna razón matemática? Esbozamos las razones con dos ejemplos. Suponemos que queremos multiplicar 16 x 5 entonces aplicando el método tendríamos
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16 |
5 |
|
8 4 2 1 |
10 20 40 80 |
Podemos observar que calcular la mitad de uno y el doble del otro no varía el producto, esto es, siempre nos da el mismo producto 16 x 5, 8 x 10, …1 x 80. Como todos son iguales nos quedamos con el más sencillo 1 x 80 = 80, luego el resultado es el último número de la derecha 80.
El problema surge cuando al calcular la mitad de algún número este sea impar, como en el ejemplo siguiente: multiplicar 36 x 12
En este caso, al calcular la mitad de 9, como se desprecian los decimales, sería como calcular la mitad de 8 por lo estamos calculando el producto (8/2) x 48 x 2 en lugar de calcular (8/2 + 0.5) x 48 x 2 . Así pues se pierden 0.5 x 48 x 2 . Que son exactamente 48, es decir el valor de la segunda columna cuando el número es impar, en este caso 9.
Por lo tanto para que el producto sea correcto a 384 finales habrá que
añadirle estos 48 dándonos el resultado correcto 432.
En resumen, cuando haya números impares habrá que señalar dichos números y sumar sus cantidades parejas al último resultado que es el emparejado con el 1,es decir, sumamos todos los resultados de la columna derecha cuya número a la izquierda sea impar. De esta forma se compensan las perdidas originadas en los números impares.
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