PALILLOS PARA APRENDER Y JUGAR

Los  palillos son un material que tuvimos que suprimir de nuestro texto Geometría ¡prohibido no tocar¡ (abajo indicamos el enlace) por asuntos de edición. Por ello nos ha parecido interesante presentarlos en la entrega de hoy.   

Los palillos son un material sencillo y barato que tienen múltiples aplicaciones en la enseñanza de las matemáticas. Podemos  utilizarlos en los números o en el aprendizaje de las figuras geométricas. Puede utilizarse también en la medida de longitud o superficie tomando como unidad longitud el mismo palillo, o de superficie, el cuadrado o el triángulo equilátero que tienen de lado dicho palillo. Existe un gran número de pasatiempos y actividades para realizar con palillos (como el del pez de la entrada) que desarrollan en el alumno su pensamiento lógico pero nuestro estudio, aunque no ignora estas actividades, se centra más en aquellas en las que trabajemos algún contenido del currículo de Primaria.   

Con los palillos los alumnos pueden trabajar los conceptos de segmentos y su clasificación. También pueden construir todos los tipos de ángulos, clasificarlos y estudiar su medida. La construcción de los polígonos es también tarea sencilla, así como el cálculo de sus áreas considerando como unidad de medida el área cuadrada formada por cuatro palillos o bien el área triangular formada por tres palillos. Los palillos son un material idóneo para trabajar las fracciones  y en Secundaria, el teorema de Pitágoras y las semejanzas. Planteamos o proponemos, a modo de muestra, algunas de estas actividades que se de ben realizar sobre una mesa. Aunque estas actividades están propuestas para alumnos de Primaria, el lector puede también entretenerse en realizar las que le interese, pues los palillos son también un juego entretenido.

1-  Formar figuras con cinco, seis palillos. Pueden ser una o varias figuras unidas.

2- Con cinco palillos intenta construir dos triángulos equiláteros.

3- En la figura 1 intenta quitando dos palillos obtener dos cuadrados ¿Cómo se relacionan las áreas de estos dos cuadrados obtenidos? 

                    Figura 1.                                                             Figura 2 

3-  En la figura 2, quitando tres palillos intentar obtener un solo triángulo. Tomando como unidad la unidad triangular ¿Cuánto mide el área de ese nuevo triángulo? En la misma figura si retiras dos palillos puedes obtener dos triángulos. Mide sus áreas. Quitando tres palillos convierte la figura en un rombo y un triángulo. Relaciona el área del rombo y del triángulo. Mueve dos palillos y deja un triángulo y dos rombos. 

    

                Figura 3                                                            Figura 4 

4- En la figura 3 formada por palillos podemos ver triángulos y un exágono central.  Mueve dos palillos para que todas las figuras sean triángulos, luego calcula el área de los triángulos en unidades triangulares.

5- Formamos la figura 4 con doce palillos. Descubre por lo menos cuatro formas geométricas en dicha figura ¿Cuánto mide el área de dicha figura, tomando como medida la unidad triangular. Quitando cuatro palillos forma solamente tres triángulos equiláteros. Quitando tres palillos observa que formas quedan. A ver si eres capaz de obtener tres rombos. Quitando dos palillos observa que formas quedan. Las formas son distintas según los palillos que quitemos, pues haz una lista  de las posibilidades que encuentres y calcula el área de las figuras resultantes.

6- A partir de la figura 5 formada por tres rombos. Quita dos palillos y mueve otros dos para formar figuras. Expresa el nombre de las figuras formadas y su área.

                                Figura 5                                                 Figura 6 

7- Si tomamos 18 palillos podemos construir el triángulo de la figura 6. Retira 6 palillos y observa las figuras que vas obteniendo. Dí su nombre y su área. Repite la operación retirando otros palillos distintos. Intenta obtener el mínimo número de figuras retirando los 6 palillos. ¿Cuántas son?

8- En la figura 7, mueve seis palillos para que te queden seis triángulos y otra figura geométrica. Dime qué figura es la que sale y calcula su área.

    

                Figura 7                                                             Figura 8  

9- Coloca 17 palillos como en la figura 8, formando un rectángulo cuya área es 6 unidades cuadradas (u²) a) Quita 1 palillo de manera que el área de la figura resultante sea 5 u². b) Quita 2 palillos de manera que queden 5u². c) Quita 3 palillos de manera que queden 4 u². Estudia en cada caso el tipo de polígono que se ha formado.

PARA LOS MÁS CURIOSOS

Si todavía no tienes nuestros textos online de descarga gratuita Geometría ¡Prohibido no tocar! y Didáctica de la medida, puedes conseguirlos en los siguientes enlaces :

Dehesa. Repositorio Institucional de la Universidad de Extremadura: Geometría ¡Prohibido no tocar! Manual para profesores de Primaria (unex.es)

Servicio de Publicaciones — Portal de la UEX - Bienvenido a la Universidad de Extremadura (unex.es)

También en 

(PDF) Geometría prohibido no tocar (researchgate.net)

(PDF) Didáctica de la medida en Primaria. (researchgate.net)

 Si prefieres la lectura en papel, nuestro manual Didáctica de la Geometría  también puede ser conseguido (solo España)  en librerías o mediante contacto en barrante@unex.es

Adjuntamos reseña

Dialnet-GeometriaEnLaEducacionPrimariaDeManuelBarrantesLop-6534572.pdf 

EL MUNDO DE MONDRIAN

Piet Mondrian (Amersfoort 1872, Nueva York 1944) fue un pintor vanguardista neerlandés. Comenzó su carrera como maestro de educación primaria, pero mientras enseñaba también practicaba la pintura. La mayor parte de su trabajo naturalista o impresionista está constituida por paisajes evolucionando posteriormente hacía la pintura abstracta que es la que le dio la fama mundialmente. Mostramos algunos cuadros de esta etapa.

    

La obra de Mondrian ha sido siempre un recurso importante para estudiar la Geometría desde los niveles de Primaria incluso hasta la Secundaria.  Mondrian es  ideal para cuando se trabaje en el aula la línea recta, las formas básicas y los colores primarios  pues  él las utiliza  en muchos de sus cuadros, y de ello nos podremos servir para vincular su aprendizaje con la obra del pintor. Así, los niños pueden hacer sus propias creaciones y aprender sobre este gran pintor a través de su biografía y sus obras.

Los alumnos pueden observar cuadros del pintor e identificar las formas geométricas que utiliza. Se puede estudiar la biografía del pintor profundizando según el nivel del curso. Y también, atendiendo al nivel, pueden realizar sus propios cuadros con diferentes materiales (bloques lógicos, cartulinas, pintura, bolitas de papel, palos …) como mostramos en las fotografías. Posteriormente  realizamos una exposición para mostrar los cuadros realizados a la comunidad educativa, 

 

        

 

Es importante hacer observar a los alumnos la atemporalidad del arte. Podemos mostrar un cuadro y preguntarles en qué año creen ha sido pintado. Tengamos en cuenta que los cuadros mostrados son del alrededor del 1930 ¿parecen tan antiguos? El que mostramos, mis estudiantes para maestros los fechaban siempre en este siglo, cuando realmente fue pintado casi un siglo antes.

 Composición en rojo, amarillo, azul y negro, Piet Mondrian, (1926)

Los alumnos deben conocer que en el mundo de los diseños Mondrian ha influido y sigue influyendo mostrándose en diferentes objetos y decoraciones como muestran las fotografías. También, nuestro autor ha tenido cabida en la moda como en los diseños de Yves Saint Laurent.

 

 

   

    

Vale la pena enseñar las matemáticas de una forma divertida utilizando como recurso las obras de este gran pintor.

PARA LOS MÁS CURIOSOS

Es muy fácil encontrar actividades para niños y objetos relacionados con Mondrian en internet.

Con  las palabras claves Modrian para niños de infantil y  objetos modrian  obtenemos un buen número de páginas y videos útiles para nuestra enseñanza. 

 Y para la moda:

Yves Saint Laurent: el vestido Mondrian | Blog de DSIGNO

HABLAMOS DE SIMETRÍAS

 Buscando ejemplos para que los alumnos de Primaria y los estudiantes para profesores trabajen la Simetría, encontramos varios que vamos a comentar.

Podemos estudiar la simetría en el cuerpo y en particular en el rostro. Si nos fijamos un rostro simétrico es el que tiene las facciones compensadas, equilibradas y en armonía. Las facciones de la cara son cada uno de los rasgos que forman el rostro: cejas, ojos, nariz, mejillas, boca, labios, dientes, piel y barbilla. Sin embargo, ningún humano tiene la cara perfectamente simétrica, y por simetría nos referimos a que el lado izquierdo de la cara es idéntico al derecho, y las facciones colocadas a la misma distancia y altura de un eje que pasaría por medio de la nariz.

Varios fotógrafos han demostrado que si en una foto tomamos el lado izquierdo de la cara de una persona, y mediante el efecto espejo le damos la vuelta para construir un rostro con dos lados izquierdos (igualmente se hace con el derecho), el efecto que se produce es distinto a la cara normal como podemos ver en las fotografías.  

Diversos estudios han demostrados que los seres humanos se sienten más atraídos a las caras que tienen una mejor simetría que las que no la tienen, pero ¿seríamos más atrayentes si nuestra cara fuera perfectamente simétrica? Ahí dejamos la pregunta.

Este efecto ha sido utilizado por la publicidad para diversos productos como el ejemplo de automóviles, de hace ya unos años, que mostramos.

 Aparte de este ejemplo, hay todo un mundo simétrico, en la publicidad actual,  que los alumnos pueden descubrir mediante indagaciones en internet,  trabajando en grupos.  Esta es una forma muy didáctica y divertida de estudiar la Simetría, a la vez que le damos su importancia y utilidad en la vida ordinaria. Os invitamos a que la pongáis en práctica.

    

 

    

PARA LOS MÁS CURIOSOS 

Nuestro manual  Geometría ¡ prohibido no tocar! contiene varios materiales y recursos para trabajar la Simetría. 

(12) (PDF) Geometría prohibido no tocar (researchgate.net)

TAPAS DE ALCANTARILLAS

 

     

Buscando ejemplos para relacionar la geometría que se estudia en la Primaria con los objetos de la vida ordinaria, traemos hoy el de las tapas de alcantarillas. Nos preguntamos ¿porqué las tapas de las alcantarillas son redondas? La razón matemática es muy sencilla además de ser una razón de seguridad, pues estas tapas cierran agujeros de alcantarillas en las que los obreros tienen acceso. Así pues  lo importante es que no se nos caiga la tapa por el agujero.

 Para que la tapa no caiga, necesitamos una forma geométrica que tenga anchura constante que en los círculos es el diámetro. Esto implica, en nuestro caso, que si colocamos la tapa en el agujero de la alcantarilla, es imposible que dicha tapa entre por el agujero.

Si la tapa fuera cuadrada o rectangular entonces la anchura no es constante, ya que, por ejemplo, la distancia de la diagonal es mayor que cualquiera de los lados( por Pitágoras). Así pues,  la tapa cabe por el agujero si la metemos en diagonal, por lo que corremos el riesgo de que se nos caiga por él y cause algún accidente.  Si fuera cuadrada, un bromista podría sostener la cubierta en diagonal sobre el agujero y dejarla caer, para ser seguido por quién sabe cuántos  peatones.

        

Efectivamente podemos encontrar tapas cuadradas o rectangulares pero éstas se utilizan para tapar agujeros con muy poca profundidad, pues si no colocamos bien la tapa, o se nos resbala y se nos cae, podremos cogerla fácilmente. 

Explicada la razón podemos preguntarnos si hay otras formas que pueden ser utilizadas como tapas. La respuestas es Sí basta que cumplan la propiedad de anchura constante.  Así encontramos el triángulo de Reuleaux (ingeniero alemán que lo desarrolló) que es una curva de anchura constante basada en un triángulo equilátero. Este triángulo de Reuleaux es fácil de construir. Partimos de un triángulo equilátero y después trazamos tres circunferencias cuyo centro sea cada uno de los vértices y cuyo radio sea el lado del triángulo, como vemos en la figura.

         

Así  tenemos otra figura, además del círculo, que cumplen que la anchura es constante. ¿Habrá en algún sitio tapas de alcantarilla con esta forma? Aquí tenemos unas tapas que se encuentra en San Francisco.

        

 Por último sería interesante hacer observar a los alumnos la cantidad de tapas que hay en los suelos de nuestras ciudades. Podrían estudiar la forma de cada una, así como la utilidad. 

Si te gusta el tema puedes mandarnos, en comentarios, fotografías de las tapas de tu ciudad. 

    

PARA LOS MÁS CURIOSOS.

Hay mucha literatura en internet sobre los polígonos de Reuleaux , que son polígonos de anchura constante, y sus aplicaciones en la vida ordinaria (monedas, taladradoras,..). Una muestra son los enlaces que adjuntamos.

Polígonos de Reuleaux | Mati, una profesora muy particular (20minutos.es)

Triángulos de Reuleaux y otras curvas de ancho constante | divulgadores.com