LA TABLA DEL NUEVE ES FÁCIL

Los números son una fuente fascinante de misterios y curiosidades. De todos ello el número 9 sobresale por muchas razones que en otra entrega comentaremos. Por ejemplo, el 9 era llamado por los pitagóricos el Alfa y el Omega. El Alfa, el principio porque 9 son los meses de embarazo humano y el Omega, porque es el número de lo espiritual, la llegada a la espiritualidad o sea a la muerte.

Sin embargo, en esta entrega nos vamos a fijar en los misterios de la tabla del 9 y los beneficios que tienen dichos misterios para aprenderla. Ya hablamos de aprender la tabla del 9 con los dedos de la mano (ver entrega 26-10-2020) hoy vamos a aprenderá aplicando el código -1 ( que es restar -1) y el complemento a nueve. El complemento a nueve de un número consiste en restar a 9 dicho número, por ejemplo  complemento a 9 de 4 es 5 pues 4+5 son 9, así  :

Número              1  2  3  4  5  6  7  8  9

Complemento    8  7  6  5  4  3  2  1  0

Aprendido esto multiplicar por 9 es fácil :

1- Restamos -1 al número a multiplicar y tenemos las decenas.

2- Calculamos el complemento a 9 de dicha decena y son las unidades.

Ejemplo: 9 x 6 = 5 ( resto 1 al 6 ) 4 ( complemento a 9 del 5)= 54

                9 x 8 = 7 (-1) 2 ( c. 9 de 7) = 72

De esta forma no tengo que aprender ninguna tabla resto -1 y calculo el complemento. 

 ¿ qué ocurre si multiplicamos por 99?

Si multiplicamos por una sola cifra: 99 x 4 = 396 y  99 x 7 = 693 introduce un 9 en las decenas. Pero si lo hacemos por dos cifras, por ejemplo: 99 x 22 = 21 78 y 99 x 63= 62 37 se sigue cumpliendo la regla anterior,  restamos -1 y calculamos los complementos a 9 de los dos números.

¿qué ocurre si multiplicamos por 999?

Si el número tiene una sola cifra introduce dos 9 en decenas y centenas y al final el complemento del primer número:  999 x 3 = 2997 y  999 x 7 = 6993

En caso de dos cifras: 999 x 43 = 42957 y 999 x 53 = 52947, aplica el código -1  y el complemento pero introduce un número nueve en las centenas.

Podemos observar que la regla es recurrente si hacemos ahora para cuatro nueves etc. Así pues, hemos abierto varios campos de investigación para que los alumnos o lectores sigan indagando.

Por ejemplo:

1- Seguir aumentando las cifras 9 ¿qué ocurre?

2- Seguir aumentando las cifras de número a multiplicar pues solo lo hemos hecho para una o dos cifras.

Seguro que descubriremos cosas interesantes, además que enseñamos a los alumnos la metodología de investigar: pasos ordenados a seguir, apuntar resultados, etc. Todas estas actividades también se pueden aprovechar para trabajar  con los alumnos la calculadora y sus utilidades  como: uso de memoria, factor constante, etc.

Igual que en otras entregas podemos asombrar a nuestros amigos o familiares de lo rápido que multiplicamos. Por ejemplo, soy capaz de multiplicar 99 por un número de dos cifras antes que tú lo hagas con la calculadora. También puedo multiplicar 999 por un número de 2 cifras antes que tú con la calculadora. Es conveniente practicar un poco antes. 

OTRA MANERA DE MULTIPLICAR. ALGORITMOS EGIPCIO Y RUSO.

Es posible que pensemos que solo existe una forma de hacer las multiplicaciones (algoritmo) y que es la que nos enseñaron en la escuela. En esta entrega vamos a ver dos formas distintas de hacer las multiplicaciones, a como lo aprendimos nosotros, y sin necesidad de aprender ninguna tabla. Podemos observar que el resultado sigue siendo el mismo.

La primera forma es el algoritmo egipcio de multiplicación es un algoritmo sencillo que  aparece en el papiro de Rhind, del  escriba Ahmes, que data de 1650 a.C. El algoritmo,  la forma  de multiplicar utilizada en Egipto, se basa en las duplicaciones. Vamos a mostrar el método con un ejemplo.

- Un agricultor egipcio, ayudado por su hijo,  ha colocado 35 filas de plantas en su parcela. Si cada fila tiene 43 plantas ¿Cuántas ha plantado en total?

Tomemos los números 35 y 43. Para multiplicarlos  construimos dos filas encabezadas por el 1 y uno de los factores, por ejemplo el 35. A continuación duplicamos ambos números para obtener una segunda columna  de números; duplicando ésta obtenemos una tercera, y así sucesivamente. El proceso se repite hasta que el primer número de la nueva columna  así obtenida exceda al otro factor (el 43, en nuestro ejemplo). 

1         2          4          8          16       32      

35       70       140     280     560     1120

 Ahora lo único que hay que hacer es seleccionar los números de la primera fila que sumen 43, en nuestro caso son 32, 8, 2 y 1. La suma de los números correspondientes de la segunda fila nos proporcionará el resultado de la multiplicación: 1120 + 280+70+35 = 1505. Este algoritmo se fundamenta en la propiedad distributiva, pues  multiplicar 35 x 43 es lo mismo que multiplicar 35 x (32 + 8 + 4 + 1). Tiene también la ventaja de que no hace falta construir nuevas filas  si queremos multiplicar 35 por otro número. Por ejemplo, si queremos hacer 35 x 16 basta con coger los números de la primera fila que sumen 14, es decir, 8, 4 , 2 y sus correspondientes homólogos que serían 70 + 280 + 140 = 490. Si el número fuera más grande habría que seguir construyendo la serie. Por ejemplo 35 x 70.

1         2          4          8          16       32            64 

35       70       140     280     560     1120      2240

 Tomaríamos  2, 4, 64, y sus homólogos  70, 140, 2240 que sumados nos dan  2450.

La imagen nos muestran 27 por 13, en este caso también se ha usado paralelamente los signos egipcios. 

La foto nos muestra una multiplicación egipcia realizada por niños.

El segundo algoritmo es el llamado de multiplicación rusa es un algoritmo clásico llamado así porque se dice que lo utilizaban los campesinos rusos para realizar multiplicaciones. Lo consideramos adecuado para los alumnos de Primaria porque todas las operaciones que se hacen son duplicar y calcular la mitad de los números correspondientes. Vamos a ver con un ejemplo cómo se realizan estas operaciones. El profesor plantea el problema.

- Si tu abuelo te da 34 euros cada mes ¿cuánto dinero te da al cabo de un año?

Para resolver por el método ruso colocamos los números a multiplicar en dos columnas de forma que en una de ellas vamos calculando la mitad del número correspondiente y en la otra el doble.

Si al calcular la mitad salen decimales se redondea al menor entero (la mitad de 17 se redondea a 8).

34	12
17 8 4 2 1	24 48 96 192 384

 

Ahora el alumno tacha los números pares de la primera columna y sus correspondientes parejas de  la segunda; en nuestro caso son: 8, 4 y 2. El resultado final se obtiene sumando los números no tachados de la derecha es decir: 24 y 384, y nos sale:

34	12
17 8 4 2 1	24 48 96 192 384

                                                                     24 + 384 = 408 

Podemos ver que el resultado de este algoritmo es correcto porque  multiplicar 34 x 12 es sumar 2 veces 12 (que son 24) más 32 veces 12 (que son 384), es decir, 34 veces 12 (que son 408).

Sería interesante mostrar a los alumnos estos algoritmos como ejemplo para trabajar la historia de las Matemáticas y para que descubran que el que  ellos aprenden no es único, no hay una única forma de encontrar la solución. Una última tarea:

- Comprobar que los dos métodos verifican  la propiedad conmutativa. Hágalo con los dos números dados en los ejemplos anteriores.

 Este contenido ha sido extraido de nuestra publicación:

Barrantes, M., Zapata, M. y Barrantes, M.C. (2022). Didáctica de los números y las operaciones en la Educación Primaria. Ed. Universidad de Piura. Piura (Perú).

PARA LOS MÁS CURIOSOS.

La pregunta para el lector que quiera profundizar más en el algoritmo ruso  sería : - ¿Por qué se toman solamente los números impares?¿ hay alguna razón matemática? Esbozamos las razones con dos ejemplos. Suponemos que queremos multiplicar 16 x 5 entonces aplicando el método tendríamos

16	5
8 4 2 1	10 20 40 80

 Podemos observar que  calcular la mitad de uno y el doble del otro no varía el producto, esto es, siempre nos da el mismo producto 16 x 5, 8 x 10, …1 x 80. Como todos son iguales nos quedamos con el más sencillo 1 x 80 = 80, luego el resultado es el último número de la derecha 80.

 El problema surge cuando al calcular la mitad de algún número este sea impar, como en el ejemplo siguiente: multiplicar 36 x 12

		Producto
36	12	432
18	24	432
*  9(8)	48	432
4	96	384
2	192	384
1	384	384

En este caso, al calcular la mitad de 9, como se desprecian los decimales, sería como calcular la mitad de 8 por lo estamos calculando el producto (8/2) x 48 x 2 en lugar de calcular  (8/2 + 0.5) x 48 x 2 . Así pues se pierden 0.5 x 48 x 2 . Que son exactamente 48, es decir el valor de la segunda columna cuando el número es impar, en este caso 9.

Por lo tanto para que el producto sea correcto a 384 finales habrá que añadirle estos 48 dándonos el resultado correcto 432.

En resumen, cuando haya números impares habrá que señalar dichos números y sumar sus cantidades parejas al último resultado que es el emparejado con el 1,es decir,  sumamos todos los resultados de la columna derecha cuya número a la izquierda sea impar. De esta forma se compensan las perdidas originadas en los números impares.

MISTERIOSO Y DIVERTIDO 1089

 

Hay números curiosos incluso podíamos decir que misteriosos, pero que a la vez nos sirven para divertirnos y hacer trucos como el que nos ocupa. 

Escribe un número de tres cifras que unidades y centenas no sean iguales, por ejemplo:  428 y ahora ordénalo de forma ascendente y descendiente 248 y 842 ahora los restamos y nos da 594. Ahora sumamos este número con su inverso 495 es decir 594+495  nos da como resultado 1089.

 Pues elijas el número que elijas  DE TRES CIFRAS NO IGUALES  siempre obtendrás el mismo resultado  al realizar esas operaciones.

 También se pueden elegir números como 003 o 300,  hay que tener en cuenta que el cero también cuenta como dígito, por ejemplo:

 Elegimos 003, inverso :  300  luego    300-003 = 297   ahora sumamos 297 +792 y obtenemos 1089.

Este número tiene, también, una curiosidad si hacemos la tabla de multiplicar obtenemos en las unidades, decenas, centenas y unidades de millar las diez cifras del 0 al 9 ordenadas, puedes observar que cada columna sigue un orden numérico.

1 x 1089 = 1089

2 x 1089 = 2178

3 x 1089 = 3267

4 x 1089 = 4356

5 x 1089 = 5445

6 x 1089 = 6534

7 x 1089 = 7623

8 x 1089 = 8712

9 x 1089 = 9801

Observamos que la fila de las unidades es 9,8,7,6,… y la de las millar 1, 2, 3, 4, … e igualmente las otras dos.

Otras propiedades: 

Si calculamos el inverso es decir 1/ 1089 obtenemos 0,00 09 18 27 36 45 54 … ¿no será la tabla del nueve?.

Y si hacemos 1/ 9801 obtenemos 0, 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 … ¿estamos enumerando los números naturales?

Estas curiosidades de los números como el 1089 se pueden aprovechar en el aula, si eres maestro, para trabajar con la calculadora con el factor constante, o simplemente como trabajos de investigación en los que los alumnos descubran, por ejemplo: que propiedades se dan si construimos la tabla de multiplicar de este número, y otras muchas que hay en internet, como las que mostramos.

PARA LOS MÁS CURIOSOS

Esta página es muy divertida pues el autor nos enseña un truco para hacer magia con los amigos y dejarlos muy sorprendidos, usando el número 1089. Merece la pena hacerlo.  Además nos explica la razón matemática de que nos salga siempre 1089 al hacer esas operaciones.

El NÚMERO MÁGICO 🎩 💫 1089 - Bing video

Para los que todavía no queden a gusto este video que ya riza el rizo rizado.

(72) ¡EL MARAVILLOSO NÚMERO 1089! - YouTube