El Copo de Nieve de Koch es un
tipo de curva fractal en el que el perímetro crece infinitamente mientras su
área solo crece de forma finita, con cada iteración. El Copo de Koch fue uno de
los primeros en ser descubiertos y se originó gracias al trabajo del matemático
sueco Helge von Koch, y ha recibido múltiples nombres, todos aceptables, tales
como: Curva de Koch o Fractal de Koch, cuando se hace referencia a su
progresión, o Estrella de Koch e Isla de Koch, cuando se hace referencia a su
forma geométrica.
Para construir un Copo de Nieve de Koch se requiere un proceso iterativo (etapas sucesivas) que inicia de forma sencilla: un triángulo equilátero. En cada etapa sucesiva, se añade un triángulo equilátero más pequeño, en el centro cada lado de la figura, con una longitud de una 1/3 de la longitud del lado. Con lo que progresivamente, va adquiriendo su forma característica de un copo de nieve.
Una característica notable del Copo de Nieve de
Koch es la convergencia de su área y la expansión de su perímetro. A medida que
se avanza en las etapas de construcción, las áreas encerradas por estas
convergen hacia el infinito en un valor que es 8/5 veces mayor que el área del
triángulo original. Mientras por otro lado, el perímetro del copo de nieve
sigue aumentando infinitamente. Este fenómeno resulta en una figura que, aunque
encierra una zona finita, posee un perímetro infinito.
La Curva del Copo de Koch, fue descrita por
primera vez en su artículo de 1904, "Sobre una curva continua sin
tangentes, construible a partir de la geometría elemental". Desde ese
momento es un ejemplo clásico de cómo un proceso iterativo simple puede generar
un patrón altamente complejo y detallado, y se usa a menudo en matemáticas y
ciencias de la computación para ilustrar los conceptos de auto-similitud y
fractales.
El copo de nieve de Koch se puede construir comenzando
con un triángulo equilátero y luego modificando recursivamente cada segmento de
línea de la siguiente manera:
- dividir
el segmento de línea en tres segmentos de igual longitud.
- dibujar
un triángulo equilátero que tiene el segmento medio del paso 1 como su
base y apunta hacia fuera.
- eliminar
el segmento de línea que es la base del triángulo del paso 2.
El copo de nieve de Koch es el límite al que se acerca
a medida que se siguen los pasos anteriores indefinidamente. La curva de Koch
descrita originalmente por Helge von Koch se construye usando solo uno de los
tres lados del triángulo original. En otras palabras, tres curvas de Koch
forman un copo de nieve de Koch.
Evidentemente, su construcción es más fácil con un programa de ordenador como Cabri Geometry. Ésta puede ser una interesante actividad para trabajar con los alumnos dicho programa.
Entre las muchas propiedades que tiene esta curva, es posible teselar (cubrir completamente) el plano con copias de los copos de nieve de Koch en dos tamaños diferentes. Sin embargo, dicha teselación no es posible usando solo copos de nieve de un tamaño. Dado que cada copo de nieve de Koch en el mosaico se puede subdividir en siete copos de nieve más pequeños de dos tamaños diferentes, también es posible encontrar mosaicos que usen más de dos tamaños a la vez.
PARA LOS MÁS CURIOSOS
...que quieran hacer un estudio más concreto o saber de sus propiedades dejamos estos enlaces.
Copo de nieve de
Koch - Wikipedia, la enciclopedia libre
En esta página vemos una construcción con Cabri Geometry:
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