BUSCANDO A PITÁGORAS, OTRA VEZ

 En anteriores entregas hemos mostrado como diferentes autores han utilizado el teorema de Pitágoras en sus obras, tanto de pintura, como escultura (23-10-2020 Max Bill y el teorema de Pitágoras, 6-10- 2021 Marcus Zilliox encuentra a Pitágoras, 12-1-2022 buscando a Pitágoras).

En esta entrega, añadimos algunos más que hemos encontrado en nuestro quehacer diario. Comenzamos con el artista conceptual norteamericano Mel Bochner, nacido en Pittsburg en 1940, quien a lo largo de su carrera artística ha realizado una interesante y continua reflexión sobre las matemáticas, y en particular, sobre la geometría. La primera de sus obras que traemos a este espacio es “Teorema de Pitágoras (cuadrado rojo)” 

De esta pintura surge una serie de composiciones posteriores que también tienen el teorema  como elemento principal, entre ellas:  Pitágoras (2) Y Pitágoras (4) que mostramos abajo. 

 

Otra línea de trabajo de Bochner fue la desarrollada en obras como “Meditación sobre el Teorema de Pitágoras” de 1972 (realizada con avellanas y tiza sobre el suelo). Esta obra fue utilizada como portada de la revista The College of Mathematics Journal en 2009. 

Mel Bochner ha seguido trabajando sobre esta misma idea hasta la actualidad, utilizando también otros materiales, como piedras, fichas del Go o cristales.

Nuestra siguiente autora es Marion Drennen , artista norteamericana que se define como “artista conceptual que trabaja con las matemáticas”. Entre sus principales temas de interés están los números, las proporciones, las matemáticas en general y la física cuántica. Una de sus obras es “Homenaje a Pitágoras” (2006), (abajo a la izquierda) en la cual podemos ver como elemento central de la obra el diagrama geométrico del Teorema de Pitágoras. En esta obra se alude a otros aspectos importantes de la matemática pitagórica, como es la frase “Number rules the Universe” (el número gobierna el universo), la palabra “Proof” (demostración), puesto que fue Pitágoras quien introdujo la necesidad de dotar de una demostración rigurosa y lógica a los resultados matemáticos, los números Pi y raíz de dos, la espiral áurea, el pentágono o las proporciones musicales, entre otros.

El arte de  Serge Doubovetzky, pintor francés de origen ruso, también está profundamente relacionado con las matemáticas. Mostramos aquí su obra “Pitágoras 2” abajo a la derecha. 

     

Cambiando un poco de tipo de arte y adentrémonos en lo que se conoce como arte masónico. Jens Rusch, lleva adelante el proyecto de Wikipedia Masónica,  el cual empezó como un proyecto tan solo en lengua alemana y con temáticas más reducidas, pero como él mismo dice “su criatura creció rápidamente y ha despertado el interés de masones, e instituciones de todo el mundo”.  La imaginería de la masonería tiene mucho que ver con la geometría clásica, y suele incluir objetos como la escuadra y el compás, pero también el Teorema de Pitágoras, como en el dibujo de este artista alemán de título “Pitágoras”.

 Queremos acabar esta entrega con un precioso cuadro del artista uruguayo D. Amaral Oyarvide, que asume el desafío y concreta un entrañable rescate de lo bello. Importa la precisión porque esa devoción hacia la belleza es uno de las guías esenciales en toda su obra. El cuadro lleva por título  “Pitágoras, demostración del teorema”.

PARA LOS MÁS CURIOSOS.

Esta obra de Mel  Bochner tiene  como punto de partida la igualdad algebraica que subyace al teorema de Pitágoras, a²+b²=c², y a la terna pitagórica utilizada como ejemplo universal, (3, 4, 5), es decir, 3²+4²=5² (9+16=25). Si nos fijamos en la imagen, los cuadrados tienen 9, 16 y 25 avellanas (al permitirse contar las avellanas de los vértices del triángulo rectángulo en los dos cuadrados en los que están, lo cual fue una acertada decisión del artista en beneficio del resultado visual final).

La crítica de parte de la comunidad matemática es que al poner las avellanas sobre el esquema geométrico típico, el triángulo rectángulo dibujado en tiza blanca resulta no ser realmente un triángulo rectángulo, ya que sus catetos miden 2 unidades (siendo una unidad la distancia entre avellana y avellana) y 3 unidades, mientras que su hipotenusa mide 4 unidades, terna que no verifica el teorema de Pitágoras 2²+3² = 13 ¹ 16 = 4², y por tanto, el triángulo (2, 3, 4) no es rectángulo. Efectivamente, esto es cierto, aunque la obra de Bochner es una bella y sugerente pieza de arte, que como el mismo dice es una meditación (artística y personal) del Teorema de Pitágoras, y no una ilustración del mismo.

UNA DE REBAJAS

Llega el tiempo de las rebajas y los problemas que se nos presentan, cuando vamos de compra, son como el siguiente:

Si una prenda cuesta 50 euros y nos hacen un 30 % ¿Cuál es el precio que tenemos que pagar?

Podemos resolverlo rápidamente con una calculadora pero también podemos hacerlo mentalmente mediante una estimación aproximada. Nosotros vamos a hacer los cálculos  en estos primeros problemas de forma mental que es como se presenta la situación cuando estamos de compras.

El cálculo del problema anterior es sencillo descontar un 30 %  sería hacer el 30% de 50 o sea 30.50/100 que nos da 15 luego tendríamos que pagar 50-15 = 35

Así de una forma rápida multiplicamos los dos primeros dígitos 5 y 3 ( nos da el descuento 15)  y restamos para saber la cantidad que tenemos que pagar que es 35.

Otro ejemplo: Si la prenda cuesta 41 euros y nos hacen un 20 por ciento ¿Cuál es el precio que tenemos que pagar?

 Estimaríamos con 4 x 2 que nos da 8 euros que restado a 41 sería 33 euros. Evidentemente el cálculo sería 4,1 x 2 pero para evitar decimales redondeamos. El precio exacto hubiera sido 32, 8 que podemos ver que  el error es mínimo.

 También podemos calcular el precio final de la prenda con una sola multiplicación.

Si una prenda cuesta 50 euros y nos hacen un 30 % ¿Cuál es el precio que tenemos que pagar?

Descontar un 30% significa multiplicar por 70% el precio original o multiplicar por 0,70, pues si el precio fuera 100 euros, el resultado sería 70 que equivale a multiplicar por 70% o por 0,70.

Así pues, sabemos que la cantidad complemento 100 de 30  es 70 luego multiplico el precio total 50 por el complemento 70 y me dan 35 pero como hay que dividir por cien suprimo las dos últimas cifras y hacemos 5 x 7 = 35.

Es decir, para obtener el precio final multiplico el dígito primero (5)  del precio por el número complemento a 10 del tanto por ciento (7 es el  complemento del número 3) el precio exacto es 35.    

 En otro ejemplo, si cuesta 70 euros y me hacen un 40 por ciento (complemento a 10 de 4 es 6)   sería 7 por 6 =  42 euros y obtenemos el precio final de la prenda.

 A veces hay que estimar porque algunos ejemplos no son tan sencillos. Por ejemplo, si  la  prenda cuesta 55 euros y nos hacen un 35 por ciento (complemento 6,5)  podemos estimar mediante las cantidades 50 euros y complemento 7 que nos daría 7 x 5 = 35 euros la cantidad estimada y  siendo la cantidad real 35,75 con lo que se  consigue una buena estimación.  

 En el aula podemos tratar los problemas de tanto por ciento como cálculo mental, como hemos hecho en los problemas anteriores, o mediante la calculadora básica.   

Comenzamos haciendo cálculo de cantidades con % incluido. La tecla % de la calculadora es, también, útil para calculo de cantidades a las que se le aumenta un % dado. Nuestro objetivo es calcular directamente la nueva cantidad, en una sola operación, sin necesidad de calcular primero el % y luego sumarlo a la cantidad. Por ejemplo:

- Si una prenda cuesta 500 euros y le aumentamos un 8%¿cuál será su precio nuevo?

Si la prenda costara 100 euros, su precio final sería 108 euros. Luego la operación será multiplicar por  108%, o multiplicar por 1.08 en tanto por 1. Es decir hacemos con la calculadora, usando la tecla %:  

500 x 108% = 540 o bien 500 x 1,08 =540

En el aula podemos seguir haciendo actividades que muestren a nuestros alumnos la importancia de los tantos por cientos en la vida ordinaria. Estos problemas acercan las matemáticas a la vida ordinaria y al entorno en el que se desenvuelve el alumno.

- Diseña una tabla  de precios para aplicar  el método dado,  para el caso de marcar los precios de las  prendas en una tienda con un 75% añadido sobre el precio de compra en fábrica. Estima primeramente los resultados y luego resuelve con la calculadora.  

-  Idem en el caso de marcar los artículos con una rebaja del 30%. 

- Aquel comerciante había descubierto un truco genial: si quería vender a un precio determinado, lo aumentaba en un 15% y así cuando venía el cliente le podía hacer un 15% de descuento, ¿Qué opinamos de dicho comerciante? ¿Qué ganancias tenía? ¿Qué porcentaje? Resuelve con calculadora.

- Hemos dividido los gastos de la excursión entre los 25 alumnos que asistieron. Posteriormente resulta que los dos profesores también pagan ¿Qué porcentaje se ahorran los alumnos? Resuelve con la calculadora.

- Siempre se comenta la incidencia que sobre los precios finales tiene la existencia de intermediarios. Es muy fácil matematizar tales comentarios. ¿qué ocurre con el precio de un producto que pasa por las manos de 3 intermediarios, cada uno de los cuales vende el producto un 50% más caro de lo que le costó?¡ A qué el resultado es sorprendente! Y eso que un margen del 50% no es gran cosa. Resuelve con la calculadora.

PARA LOS MÁS CURIOSOS. 

 Si queremos seguir leyendo sobre problemas de la vida ordinaria, de cálculo mental,  o estimación entre otros, recomendamos nuestro artículo: La resolución de problemas aritméticos y su tratamiento didáctico en la Educación Primaria. 

https://www.researchgate.net/publication/346944070_La_resolucion_de_problemas_aritmeticos_y_su_tratamiento_didactico_en_la_Educacion_Primaria

  

UNA DE ABEJAS

Si alguna vez has visto en el campo una colmena, habrás observado que las abejas construyen sus panales a base de celdillas hexagonales regulares y pegadas unas a otras; los tabiques son de cera elaborada por ellas mismas.

Este hecho ya fue constatado por Pappus de Alejandría, matemático griego (282- 305). Su afirmación se basaba en la forma hexagonal que imprimen a sus celdillas las abejas para guardar la miel. Las abejas, cuando guardan la miel, tienen que resolver varios problemas. Necesitan guardar la miel en celdillas individuales, de tal manera que formen un mosaico sin huecos ni salientes entre las celdillas, ya que hay que aprovechar el espacio al máximo pero esto solo podrían hacerlo con triángulos, cuadrados y hexágonos. ¿Por que eligieron entonces los hexágonos, si son más difícil de construir?

La respuesta es un problema isoperimétrico (del griego «igual perímetro»). Pappus había demostrado que, entre todos los polígonos regulares con el mismo perímetro, encierran más área aquellos que tengan mayor número de lados, además  los único polígonos regulares  que podían cubrir todo el plano,  sin dejar hueco, son los triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos regulares.

Por ello, la forma de construcción elegida por las abejas es el polígono hexagonal porque cubre todo el espacio sin dejar huecos y además es el de mayor área  de las tres formas, lo que significa que cabe más miel en su interior.

En resumen,  las abejas construyen sus celdillas de forma hexagonal, ya que, gastando la misma cantidad de cera en las celdillas, consiguen mayor superficie para guardar su miel.

Desde siempre estos panales han llamado la atención de los hombres y, en particular, de los científicos: la regularidad no sólo en la forma de las celdillas, sino también en su tamaño hizo que en el siglo pasado se llegase a proponer la medida del diámetro de una celdilla (5´15 mm) como nueva unidad de longitud.

Un cometido fundamental de las celdillas es almacenar la miel que las abejas van fabricando con el polen de las flores. También en ellas la reina pone huevos que, tras un período de metamorfosis, se convierten en individuos adultos.

 La pregunta es: ¿y quién le enseñó esto a las abejas?

En 1872, Charles Darwin propuso que los animales expresaban emociones. Le llovieron las críticas e incluso las burlas. Hasta entonces se consideraba a toda especie, distinta de la humana, como poco más que un objeto animado, una bestia programada solo para la satisfacción de sus instintos. Pero poco podía sospechar el padre de la teoría evolutiva que las capacidades de los animales van aún mucho más lejos: en los últimos años se han desvelado las habilidades de numerosas especies para algo que creíamos tan exclusivamente humano como las matemáticas. Y ni siquiera se requiere para esto el complejo cerebro de un primate: con menos de un millón de neuronas —frente a nuestros 86.000 millones—, las abejas son capaces de aprender los fundamentos abstractos de las matemáticas.

Cuando las sentimos zumbando molestamente a nuestro alrededor, apenas se diría que las abejas sean capaces de algo más que buscar flores para sorber su néctar. Con los años, la ciencia nos ha enseñado que su danza encierra un complejo sistema de comunicación capaz de codificar el camino, la distancia y la dirección hacia una fuente de alimento, lo que requiere no solo un reconocimiento del entorno y una sólida memoria, sino también un proceso de abstracción. En 2012 un estudio mostró que estas capacidades se sustentan en la destreza de las abejas para comprender conceptos como arriba, abajo, izquierda, derecha o igual y diferente  que son conceptos matemáticos previos  al aprendizaje del número.

Pero por si esto no fuera suficiente logro para un cerebro de medio milímetro, en 2018 Adrian Dyer y sus colaboradores en la Universidad RMIT de Melbourne (Australia) descubrieron que las abejas saben contar. Los investigadores entrenaron a los insectos para distinguir entre cantidades distintas de formas geométricas, como cuadrados o círculos, de modo que tuviesen que elegir, desde 1 hasta 6, el número menor. Se ha demostrado que incluso pueden llegar a entender el cero y distinguir entre pares e impares y hacer operaciones. 

Los siguientes enlaces dan cuenta de todo lo que hemos afirmado.  

Dominio simultáneo de dos conceptos abstractos por el cerebro en miniatura de las abejas | PNAS

 

Ordenación numérica de cero en abejas melíferas (science.org)

 

Abejas que saben matemáticas: cuentan, ordenan, suman y restan | OpenMind (bbvaopenmind.com)

Las abejas aprenden matemáticas: saben distinguir entre números pares e impares (lavanguardia.com) 

PARA LOS PROFESORES 

 Vamos por último a plantear un problema para los alumnos que puede proponer el profesor  después de dar la información que hemos desarrollado en esta entrega.

 

El mecanismo natural de selección de las especies hace que prosperen las soluciones óptimas: las más económicas en términos de gasto energético. Salen adelante las variantes genéticas que consiguen la supervivencia con menor trabajo. 

Por eso la forma y el tamaño de las celdillas deben ser las  que se ajustan estrictamente a las necesidades de las abejas. ¿Y cómo lo consiguen? Pues, por una parte, haciendo que las celdillas encajen perfectamente unas en otras, con lo que un mismo tabique sirve para dos celdas. Es el clásico problema del teselado (cubrir todo el plano sin dejar huecos) con polígonos regulares. Se puede conseguir de varias maneras.

a) ¿Recuerdas con qué polígonos regulares (todos iguales) es posible hacerlo? 

 

Veamos otra condición: la abeja necesita que las celdillas tengan una superficie determinada, pongamos 4 cm2 (en realidad es mucho menor), que le permita introducir su cuerpo en ellas. El objetivo de esta actividad es investigar el por qué, de entre todas las formas posibles, ha prevalecido el hexágono:

b) ¿Qué perímetro tiene un triángulo equilátero cuya superficie es de 4 cm2?

c) ¿Qué perímetro tendría un cuadrado de la misma superficie?

d)  Estudia la misma cuestión con un hexágono regular.

e)  Relaciona las anteriores respuestas con el problema de las abejas.

 

Si has hecho bien los cálculos habrás llegado a la conclusión de que:

Entre todas las formas poligonales regulares que llenan el plano, el hexágono regular es la que consigue encerrar una superficie con el menor perímetro.

f) Las cuestiones precedentes se referían a una superficie de 4 cm2  para simplificar los cálculos. Ahora intenta demostrar la anterior conclusión en general, para una superficie S cualquiera.

 

SISTEMA MÉTRICO CORPORAL.

La medida surge como una necesidad del hombre para dar respuesta a los problemas que se le planteaban. En principio, el hombre primitivo probablemente se preocupó, por las medidas de longitud, entre otras; y éstas las pudo fijar, aproximadamente, haciendo referencia a las medidas de su propio cuerpo.

El agricultor neolítico que se disponía a construir una casa de barro o arcilla pudo haber calculado las dimensiones tal vez así:

El largo será de tantos pasos como los dedos de una mano, el ancho será de tantos pasos como manos y pies tengo, y la altura será la del hombre más alto de la aldea; las paredes serán tan gruesas como el ancho de mi mano.

 Estas medidas aunque no eran precisas fueron suficientes para resolver los problemas de aquella época.

En efecto, muchas unidades de medida basadas en las dimensiones naturales del cuerpo humano fueron usadas más tarde por pueblos altamente civilizados. 

Así algunas utilizadas en el antiguo Egipto fueron: el dedo, el palmo, o ancho de la mano: el pie, o largo desde la punta del dedo gordo hasta el talón; el codo, o largo desde la punta del dedo del medio hasta el codo. Mucho más tarde, los romanos midieron, también,  largas distancias en unidades de mil pasos la llamada  la «milla» romana.

 Igual que los hombres primitivos, las medidas no convencionales o arbitrarias son las primeras con las que los alumnos aprenden a medir antes de usar el sistema métrico decimal. Se caracterizan porque no son precisas y  dependen del objeto o de la persona que mide. En la magnitud longitud tenemos pues: bolígrafos de distintos tamaños, palos, cuarta, paso, largo de un folio, etc.  O esas usadas comúnmente desde la antigüedad, que en muchos casos todavía se siguen usando cuando no se necesita precisión.

Así, planteamos una primera actividad para que los alumnos conozcan las medidas llamadas arbitrarias y además se den cuenta que su cuerpo es proporcionado, es decir la medida de las distintas partes están relacionadas.

La actividad que proponemos consiste en :

Construir con los alumnos el sistema métrico de nuestro cuerpo, que podemos llamar Sistema Métrico Corporal. Partimos de la unidad más pequeña que es la falange y el alumno va obteniendo las siguientes  equivalencias  de medidas mediante pruebas y ejercicios en el aula:

Un dedo = 3 falanges   Un palmo = 2 dedos          Una braza = 2 palmos

Un brazo = 2 brazas (hasta la nuez)           Dos brazos= Altura de esa persona.

A partir de aquí, el profesor diseña problemas para establecer todas las relaciones que desee, por ejemplo:

- Calcular todas las medidas anteriores tomando como unidad el dedo, ¿Cuál es la altura de una persona en palmos? Calcula la longitud de tu mesa en dedos, palmos, brazas o bien utilizando las tres medidas a la vez.

Por ejemplo,  si el alumno comprueba que la medida  desde la punta de los dedos con los  brazos extendidos equivale a su altura. Entonces podemos mostrarle el dibujo de Leonardo Da Vinci  para que observe que el hombre De Vitruvio ya nos indicaba esa igualdad, pues está enmarcado en un cuadrado.

El hombre de Vitruvio o Estudio de las proporciones ideales del cuerpo humano es un famoso dibujo acompañado de notas anatómicas de Leonardo da Vinci realizado alrededor de 1490 en uno de sus diarios.

El texto de Leonardo que lo acompaña sigue el estilo de la escritura especular típica de Da Vinci. Está dividido en dos partes, encima y debajo de la imagen.

El primer párrafo de la parte superior dice: «Vitruvio, arquitecto, pone en su obra sobre la arquitectura que las medidas del hombre están en la naturaleza distribuidas de esta manera:

una palma tiene cuatro dedos        un pie tiene cuatro palmas

un codo tiene seis palmas            cuatro codos hacen a un hombre

un paso tiene cuatro codos            un hombre tiene 24 palmas

El segundo párrafo dice: «Si abres las piernas lo suficiente para que tu cabeza baje un decimocuarto de tu altura y levantas las manos lo suficiente como para que tus dedos extendidos toquen la línea de la parte superior de tu cabeza, debes saber que el centro de las extremidades extendidas será el ombligo, y el espacio entre las piernas será un triángulo equilátero».

 Se trata de un estudio de las proporciones del cuerpo humano, realizado a partir de los textos de arquitectura de Vitruvio, arquitecto de la antigua Roma, del cual toma su nombre. El profesor tiene aquí muchas posibilidades para plantear actividades y trabajar con los alumnos la medidas del cuerpo humano. 

 Otro ejercicio motivante es que los alumnos midan su cuerpo por cabezas como se hacía en la antigua Grecia. Se considera una cabeza la medida desde la barbilla hasta la coronilla. Cada alumno toma esta medida, por ejemplo, con una cuerda.

 El Canon de Polícleto, escultor griego,  consiste en que estableció un sistema de proporciones que consistía en repetir siete veces la altura de la cabeza para conseguir la altura total del individuo. Se nos decía que, gracias a esta sistematización, Policleto había conseguido la representación de las proporciones perfectas del ser humano.

El alumno puede comprobar cuántas cabezas mide su cuerpo  y calcular la medida de pierna, brazo, tronco, mano, pie, etc. entre otras actividades como se muestra en las siguientes imágenes. 

Estos ejercicios además de conocer las equivalencias y relaciones de las partes del cuerpo, hacen que el alumno experimente con las medidas arbitrarias y mediante la actividad compruebe la imprecisión de estas medidas. Queremos que el alumno mediante la reflexión y la experiencia sienta la necesidad de utilizar una medida convencional, como el metro o el decímetro, de forma que la medida no dependa de los sujetos y, mida quien mida, obtengamos el mismo resultado. Además de ser conocidas por todos los que nos rodean.  

PARA LOS MÁS CURIOSOS

En nuestro manual Didáctica de la Medida en Primaria hacemos un desarrollo del aprendizaje de las medidas en dicha etapa atendiendo a las diferentes fases. Su descarga es gratis.  

(PDF) Didáctica de la medida en Primaria. (researchgate.net)