LLEGAN LAS VACACIONES DE NAVIDAD

 

Como todos los años, llegadas las vacaciones de Navidad  nos gusta recomendar algunas lecturas didácticas relacionadas con las Matemáticas y su enseñanza-aprendizaje. La mayoría de las lecturas recomendadas se pueden conseguir en papel pero también se encuentra online.

Estas lecturas van indicadas para los nuevos lectores de este blog, que son muchos,  pues los lectores asiduos ya las conocen.

Una de las lecturas y película básicas en la enseñanza aprendizaje de la geometría es Flatland, que ha sido traducido al español como Planilandia basada en una novela antigua escrita en 1884 por el matemático Edwin A. Abbott. Esta novela nos introduce dentro de la piel y las reflexiones de A. Cuadrado, un habitante del mundo bien llamado Planilandia. Aunque es fácil adquirirlo en librerías, en este enlace encuentras el libro.

http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/docencia/abbott-planilandia.pdf

 

El libro transcurre, esencialmente, en dos partes importantes. La primera parte es un pequeño tratado que “Cuadrado”, abogado y habitante de Planilandia, nos hace a nosotros, los habitantes de Espaciolandia, de cómo es su mundo, como viven, cómo se mueven, cómo se organizan…En la segunda parte, “Cuadrado” recibe la visita de una esfera tridimensional, a la cual no puede comprender hasta ver la tercera dimensión por sí mismo. El libro ha sido llevado al cine en varias ocasiones, aquí tienes dos muestras.

Versión en inglés con subtitulos en español

 https://www.youtube.com/watch?v=OgiO32MDq3k

 

https://www.youtube.com/watch?v=6FLUvOpvb3g&t=795s

El hombre que calculaba es un famoso libro del Brasilero Júlio César de Mello Souza más conocido como Malba Tahan. Este libro nos trae aventuras en escenarios árabes típicos junto con atractivas soluciones de problemas de álgebra y aritmética. Fue publicado por primera vez en 1938, ha sido traducido a más de 12 idiomas, incluyendo el Inglés, Español, Italiano, Francés, y  es uno de los libros para adolescentes más vendidos. El libro cuenta las aventuras de Beremiz Samir, un hombre con una gran habilidad para los cálculos. Beremiz resolvía problemas y situaciones complicadas de todos los estilos con gran talento, simplicidad, y precisión, de cualquier índole con el uso de las matemáticas. Un libro curioso, divertido y con mucha fantasía.

Podemos encontrarlo en el enlace de abajo aunque para los que le gusten las ediciones en papel  o libro electrónico también es fácil conseguirlo.  

http://www.librosmaravillosos.com/hombrecalculaba/pdf/El%20Hombre%20que%20Calculaba%20-%20Malba%20Tahan.pdf

El libro, Lilavati es un texto de divulgación en la que un padre se dirige a su hija con cariño y benevolencia para mostrarle los secretos de las matemáticas. El autor es  Bhaskara II (1114-1185), natural de India y famoso matemático.

Lilavati está escrito en verso del siglo XII con explicaciones y comentarios actuales (en la edición en español de Angel Requena y Jesús Malia).Y es que el verso ha sido también para matemáticos y científicos un recurso didáctico esencial.  Su contenido son las matemáticas de niveles básicos y medio que incluye aritmética, álgebra, combinatoria, geometría y trigonometría. El respeto a la mujer, la admiración y la contemplación de la naturaleza, multitud de ejercicios para cultivar el cuidado de la economía doméstica y financiera, la educación para la paz... son valores en plena vigencia que Lilavati cultiva con muy buen gusto y belleza. Este texto solo está publicado en papel.

Una novela negra muy conocida y además relacionada con las matemáticas titulada El asesinato de Pitágoras (Duomo editorial, 2013), de Marcos Chicot y que  fue finalista del Premio Planeta  (cuarta posición)  y se ha  publicado en una veintena de países, fue el libro electrónico en lengua española más vendido del mundo ese año. Por esa misma novela, la ciudad de  Crotona le otorgó la distinción Alabanza Solemne, y también le fue concedido el Premio por la Cultura Mediterranea, 2015 como reconocimiento a su labor de difusión cultural. También obtuvo el premio a la Mejor Novela publicada en Italia.  

El anciano filósofo Pitágoras, uno de los personajes con más poder político de su época, está a punto de nombrar un sucesor entre sus grandes maestros cuando éstos empiezan a ser asesinados. Cada muerte tiene lugar de un modo más desconcertante e imprevisible, reflejando tras ellas una mente oscura y poderosa que parece superar a la del mismísimo Pitágoras. La enigmática Ariadna y el investigador egipcio Akenón tratarán de identificar al asesino a la vez que resuelven sus propios sentimientos. Un reto en el que los fantasmas del pasado se unen a las oscuras amenazas del presente. Un desafío del que resulta casi imposible salir con vida.

Sin embargo, “El asesinato de Pitágoras” no es tan solo una novela negra ambientada en Crotona y en la escuela pitagórica que el gran matemático y filósofo griego Pitágoras fundó en la misma, sino que realmente es una novela histórica que reconstruye los últimos meses de la comunidad crotoniata de los pitagóricos (al menos bajo la dirección de Pitágoras) y el inicio del declive de la hermandad. Se puede conseguir en papel.

 Recomendamos también nuestros textos sobre la Didáctica de la medida  en Primaria (Barrantes, M., Barrantes, M.C. y Zamora, V.) de la que nuestra compañera María Luisa Novo ha realizado una recensión, que merece la pena leer, muy didáctica e interesante El enlace del trabajo de María Luisa es: 

https://www.researchgate.net/publication/348454169_Recension_Didactica_de_la_medida_en_Primaria_Manuel_Barrantes_Consuelo_Barrantes_Victor_Zamora

El texto ha sido publicado online por la Universidad de Extremadura, lleva más de 22000 descargas y el enlace es:

(10) (PDF) Didáctica de la medida en Primaria. (researchgate.net)

Por último, Geometría ¡Prohibido no tocar! (Barrantes, M. y  Barrantes, M.C.) con más de 7000 descargas es un  manual pensado para preparar convenientemente a los estudiantes para profesores de Primaria y profesores en el contenido didáctico de la Geometría de acuerdo con las metodologías y currículos actuales. Una gran cantidad de actividades con manipulación de materiales, manuales o informáticos, ofrece a los alumnos una variedad de formas, para llegar a los contenidos geométricos, basadas en la observación de las propiedades y en el posterior análisis. Este libro también se puede conseguir en el enlace gratis:

(10) (PDF) Geometría prohibido no tocar (researchgate.net)

                                                  

 OS DESEAMOS UNA FELICES FIESTAS Y NOS VOLVEMOS A ENCONTRAR  EN ENERO.    

CURVA DE KOCH. CURVA CERRADA Y DE PERÍMETRO INFINITO.

 

El Copo de Nieve de Koch es un tipo de curva fractal en el que el perímetro crece infinitamente mientras su área solo crece de forma finita, con cada iteración. El Copo de Koch fue uno de los primeros en ser descubiertos y se originó gracias al trabajo del matemático sueco Helge von Koch, y ha recibido múltiples nombres, todos aceptables, tales como: Curva de Koch o Fractal de Koch, cuando se hace referencia a su progresión, o Estrella de Koch e Isla de Koch, cuando se hace referencia a su forma geométrica.

Para construir un Copo de Nieve de Koch se requiere un proceso iterativo (etapas sucesivas) que inicia de forma sencilla: un triángulo equilátero. En cada etapa sucesiva, se añade un triángulo equilátero más pequeño, en el centro cada lado de la figura, con una longitud de una 1/3 de la longitud del lado. Con lo que progresivamente, va adquiriendo su forma característica de un copo de nieve. 

Una característica notable del Copo de Nieve de Koch es la convergencia de su área y la expansión de su perímetro. A medida que se avanza en las etapas de construcción, las áreas encerradas por estas convergen hacia el infinito en un valor que es 8/5 veces mayor que el área del triángulo original. Mientras por otro lado, el perímetro del copo de nieve sigue aumentando infinitamente. Este fenómeno resulta en una figura que, aunque encierra una zona finita, posee un perímetro infinito.

La Curva del Copo de Koch, fue descrita por primera vez en su artículo de 1904, "Sobre una curva continua sin tangentes, construible a partir de la geometría elemental". Desde ese momento es un ejemplo clásico de cómo un proceso iterativo simple puede generar un patrón altamente complejo y detallado, y se usa a menudo en matemáticas y ciencias de la computación para ilustrar los conceptos de auto-similitud y fractales.

El copo de nieve de Koch se puede construir comenzando con un triángulo equilátero y luego modificando recursivamente cada segmento de línea de la siguiente manera:

1. dividir el segmento de línea en tres segmentos de igual longitud.
2. dibujar un triángulo equilátero que tiene el segmento medio del paso 1 como su base y apunta hacia fuera.
3. eliminar el segmento de línea que es la base del triángulo del paso 2.

La primera iteración de este proceso produce el contorno de un hexagrama.

El copo de nieve de Koch es el límite al que se acerca a medida que se siguen los pasos anteriores indefinidamente. La curva de Koch descrita originalmente por Helge von Koch se construye usando solo uno de los tres lados del triángulo original. En otras palabras, tres curvas de Koch forman un copo de nieve de Koch.

Evidentemente, su construcción es más fácil con un programa de ordenador como Cabri Geometry. Ésta puede ser una interesante actividad para trabajar con los alumnos dicho programa.  

Entre las muchas propiedades que tiene esta curva, es posible teselar (cubrir completamente) el plano con copias de los copos de nieve de Koch en dos tamaños diferentes. Sin embargo, dicha teselación no es posible usando solo copos de nieve de un tamaño. Dado que cada copo de nieve de Koch en el mosaico se puede subdividir en siete copos de nieve más pequeños de dos tamaños diferentes, también es posible encontrar mosaicos que usen más de dos tamaños a la vez.

 

PARA LOS MÁS CURIOSOS

...que quieran hacer un estudio más concreto o saber de sus propiedades dejamos estos enlaces.

Copo de nieve de Koch - Wikipedia, la enciclopedia libre

curva de koch - Búsqueda

En esta página vemos una construcción con Cabri Geometry:

Curva de Koch y Copo de Nieve

HELÉNIDES DE SALAMINA. Un maestro especial

 

Como homenaje a los maestros que me siguen y a todos con los que  he trabajado, contamos hoy esta historia tan peculiar. 

D. Ángel Rodríguez Campos. Maestro Nacional en Casar de Cáceres desde 1913 hasta su fallecimiento en 1956. Nació en el pueblo salmantino de Mogarraz el 28 de julio de 1884 (España). Huérfano de padre, se aseguraba que perdió a su madre a los 7 años, muriendo al lado del hijo en un colchón en el suelo. Su única hermana entró en un convento de clausura en Salamanca, y él fue enviado a un seminario, en donde causó asombro su capacidad con el latín y el griego. Con 14 años ya componía versos latinos con rara perfección, llamando la atención de Marcelino Menéndez Pelayo (1856-1912), a quien le dedicó una poesía. Sin vocación eclesiástica, Ángel Rodríguez hizo caso al consejo de Menéndez Pelayo y estudió en Salamanca la carrera de Magisterio, asistiendo a las clases de griego de Miguel de Unamuno, con el que llegó a cartearse después.

Fue en 1913 cuando llega a Casar de Cáceres (España) como maestro, en donde estuvo 40 años educando a los jóvenes. Creó un grupo de exploradores con sus alumnos, con banda de trompetas y tambores que desfilaban en las fiestas del pueblo y procesiones, con uniforme de color caqui. Prestaba libros a los niños, a los que enseñaba a cultivar un jardín, haciendo de su casa huerto una prolongación de la escuela.

Se hizo muy amigo del párroco Saturnino Martín Moreno, con el que hablaba en griego, latín y francés, y entonces ocurrió que decidió transformarse en Helénides de Salamina y empezó a vestirse de grecorromano. Usaba túnicas de colores que hacía él mismo, calzaba sandalias y sujetaba su media melena negra con una cinta.

Ya aparece de esa guisa en  la fotografías tomada en 1935, en la inauguración del Grupo Escolar León Leal de Casar de Cáceres (Está a la izquierda en la foto, no es el redondeado).

 Helénides de Salamina escribió varios libros de poesías, destacando su gran obra maestra, El Panelenio, que tardó siete años en escribir, consta de 20 libros y 21.000 versos, escritos en tercetos, en los que cuenta la odisea del héroe Teucro hasta que funda Salamanca. 

Hay gente que entonces se empezó a referir a él como 'el maestro loco del Casar'; pero no en el pueblo, en donde era muy respetado. Era atendido por un matrimonio formado por María Sánchez Vivas y Basilio Jiménez Carrero. El matrimonio tuvo seis hijos y él apadrino al cuarto, al que puso su nombre. A su ahijado, a Ángel Jiménez Sánchez le pagó la carrera de Magisterio, como hizo con otros dos discípulos: Nicomedes Martín y Máximo Barrantes.

Su último curso como profesor fue el de 1953-54, y que el 15 de enero de 1956, estando enfermo, pasó a vivir con su discípulo y ahijado Ángel Jiménez, muriendo el 26 de agosto de 1956.

En la siguiente página del NO-DO del 27 de noviembre de 1950, encontramos un reportaje de este singular maestro. Es el primer reportaje del noticiero, la pena es que el sonido se ha perdido.

http://www.rtve.es/filmoteca/no-do/not-412/1487355/

 PARA LOS MÁS CURIOSOS 

Casar de Cáceres honra a su sabio maestro. Ha puesto su nombre a la Universidad Popular y a un Certamen  literario de más de 25 años. Tiene una estatua de bronce que rinde honor a una persona que puede ser considerada, el profesor más curioso que ha dado clase en las aulas de España.

BUSCANDO ICOSAEDROS

 

 

Sabemos que los icosaedros son cuerpos regulares que tiene 20 caras en forma de triángulos equiláteros y tiene 12 vértices, 30 aristas y 4 aristas concurrentes.

En el aula son muchos los ejemplos de este poliedro que podemos utilizar para un mejor conocimiento de dicho cuerpo. Por ejemplo, los restos arqueológicos más antiguos en los que aparecen figuras poliedrales, son unas piedras talladas del neolítico (aproximadamente 2000 a. C.) encontradas en Escocia y entre ellas tenemos un  rudimentario icosaedro (cuerpo 4º de la imagen1).  También se conservan un par de dados icosaédricos de la época de la dinastía de Tolomeo en el Brithish Museum de Londres. 

1

 Parece que este tipo de figuras geométricas ya tenían una utilidad lúdica como ocurre en la actualidad, así encontramos un dado romano del siglo tercero d.C.  y un objeto de dicha forma de la que no se sabe su utilidad 

 ( 2 y 3 ). 

2

3

En mineralogía, entre las rocas encontramos el icosaedro de cuarzo cristal procedente de Brasil (4). También los virus de distintas enfermedades como las Hepatitis  o el Sida tienen formas icosaédricas (5 y 6 ).

4

5

6

Los icosaedros los encontramos adornando parques y jardines de varias ciudades. Concretamente en Madrid en el parque de Peñuelas, está este monumento diseñado por el arquitecto Manuel Ayllón en 1996 (7).

7

 La firma holandesa Verblifa, para conmemorar, en 1993, el 75 aniversario de la empresa, regaló ,en 1993, una caja de metal para caramelos, en forma de icosaedro con diseños de esmalte de conchas y estrellas de mar. La caja consta de 20 lados triangulares con tapa abatible de 5 triángulos. Dimensiones: 14 cm. (Colecciones Europeana) y que todavía se puede adquirir en internet (8, 9 y 10).

 8, 9,10 

El diseño de la caja era unos de los patrones regulares que representan figuras animadas de  M.C. Escher neerlandés conocidos por los grabados y dibujos imposibles relacionados con la geometría. A lo largo de su carrera, Escher creó más de 150 coloridos bocetos de patrones y de todos los sólidos ideados por él, éste es el único producido materialmente.

11

Buscando un poco en internet seguro que encontramos muchos más ejemplos para afianzar en los alumnos el conocimiento de este cuerpo. Por ejemplo:  El icosaedro vacío en una rotonda de Alcalá de Henares, en el cruce de la calle Lope de Figueroa con Luis Madrona. (11)

 PARA LOS MÁS CURIOSOS

En nuestro texto para maestros Geometría ¡Prohibido no tocar!, encontramos varios materiales y actividades para trabajar el icosaedro y los demás poliedros regulares. Su descarga es gratis.

(5) (PDF) Geometría prohibido no tocar (researchgate.net)

En este enlace podemos encontrar  una presentación  relacionada con los poliedros regulares y el arte. Se puede descargar:

02-Polyhedra.ppt (live.com)

Si quiere conocer más sobre la obra de  Escher:

M.C. Escher - 470 obras de arte - impresión (wikiart.org)

 

UNA DE NÚMEROS MÁGICOS

 

Existen una serie de números que podemos llamar mágicos que por sus propiedades y particularidades son muy útiles para que el alumno maneje la calculadora.

Los resultados con estos números  hacen que el alumno se implique y, a la vez que usa la calculadora, realice pequeñas investigaciones que le pueden ayudar al gusto por las matemáticas.   

Uno de nuestros preferidos es el número 142857.

Si el alumno  construye  su tabla con la calculadora  observará  que en los 6 primeros números vuelven a aparecer los mismos dígitos. 

142857 * 1 = 142857
142857 * 2 = 285714
142857 * 3 = 428571
142857 * 4 = 571428
142857 * 5 = 714285
142857 * 6 = 857142 

 Además el producto del 7 nos da todos nueves. Habrá que investigar por qué se rompe la cadencia.

Los restantes productos nos dan otra vez los mismos dígitos ordenados pero uno de ellos descompuesto en suma.

Por ejemplo

142857 * 8 = 1142856 que es 14285 y el 7 descompuesto en 6 +1 (el uno al principio)

142957* 9 = 1285713 que es  28571 y el 4 como 3+1

142857*10 = 1428570 igualmente 42857 y  1 como 0+1 

El alumno puede seguir haciendo la tabla y ver lo que pasa.

Vimos que al multiplicar por 7 fallaba la cadencia, vamos a ver qué pasa cuando dividimos los primeros dígitos por 7.

1/7 = 0′142857142857142857142857142857…
2/7 = 0,285714285714285714285714285714…
3/7 = 0,428571428571428571428571428571…
4/7 = 0,571428571428571428571428571428…
5/7 = 0,714285714285714285714285714285…
6/7 = 0,857142857142857142857142857142…
8/7 = 1,142857142857142857142857142857…
9/7 = 1,285714285714285714285714285714…

 ¿Qué observamos? Invitamos al lector a seguir la serie.

¿Qué pasa si lo elevamos al cuadrado?

1428572 = 20.408.122.449 parece que no pasa nada, pero si sumamos los dígitos del  número, como se indica, tenemos otra vez nuestro número mágico.
20.408 + 122.449 = 142.857

Entran ganas de seguir investigando y descubrir más propiedades de este mágico número.

PARA LOS MÁS CURIOSOS

Para los que les sepa a poco, otro número más.

- El número 15873 es un número mágico. Observa qué ocurre si lo multiplicas por 56, 14, 28, 7. ¿Porqué número tendrías que multiplicarlo para que te salieran  varios seis? Dan ganas de seguir investigando.

 

LOS NÚMEROS Y EL CINE

Si nos pusiéramos a pensar un poquito y con la ayuda de internet, observaríamos que son muchas las películas en cuyo título aparece algún número. Nosotros hemos hecho una recopilación teniendo en cuenta, un poco, su calidad o su éxito en la época en la que fue proyectada.

Nuestro objetivo es mostrar como los números también participan en los títulos de películas, en general, algunas son: musicales (Siete  novias para siete hermanos), acción o aventura (Las cuatro plumas), religiosas (Los Diez Mandamientos) y otros géneros del cine. Esta relación nos puede también recordar algunas películas ya olvidadas y desear buscarlas y verlas de nuevo. Espero que la disfruten.

Sus títulos pueden variar un poco dependiendo del país de habla hispana. 

Uno (D. Fernández ,2011)    

Transformers  One (J. Cooley, 2024 )

Dos hombres y un destino (Georde Roy Hill, 1969).   

 El cartero siempre llama dos veces (T.  Garnett, 1946).

El cartero siempre llama dos veces (Bob Rafelson, 1981).

Tres anuncios en las afueras (Martin McDonagh, 2017).

Pi. Fé en el caos (Darren Areonofsky, 1998).

Las cuatro plumas (Zoltan Korda, 1939).

Cuatro bodas y un funeral (Mike Newell, 1994).

Nacido el 4 de julio (Oliver Stone, 1989).

Las cuatro bodas de Marisol (Luis Lucia, 1967)

El Hobbit: La batalla de los cinco ejércitos (Peter Jackson, 2014).

 Cinco (Cintia Varela y otros, 2010)

Seis días y siete noches (Ivan Reitman, 1998).

007 es James Bond, agente del MI6 protagonista de 27 películas (hasta hoy).

Blancanieves y los siete enanitos (David Hand, 1937).

Siete novias para siete hermanos (Stanley Donen, 1954).

Los siete magníficos (John Sturges, 1960).

Los siete samuráis (Akira Kurosawa, 1954).

Siete almas (Gabriele Muccino, 2008)

Ocho ( Jane Campion y otros,2008)

Las ocho montañas (F. Groeningen, C. Vandermeersch, 2022)

Los odiosos ocho (Quentin Tarantino, 2015).

8½ (Federico Fellini, 1963).

9 (Shane Acker, 2009)

9 semanas y media (Adrian Line, 1986).

Los diez mandamientos (Cecil B. DeMille, 1956).

Ocean´s 11 (Steven Soderbergh).

Doce hombres sin piedad (Sidney Lumet, 1957).

Ocean´s 12 (Steven Soderbergh).

Apolo 13 (Ron Howard, 1995).

Ocean´s 13 (Steven Soderbergh).

14 de julio (René Clair, 1933).

15:17 Tren a París (Clint Eastwood, 2018).

16 calles (Richard Donner, 2006).

Cuando tienes 17 años (André Techiné 2016).

Appollo 18 (Gonzalo López-Gallego, 2011).

21 Blackjack (Robert Luketic, 2008).

21 gramos (Alejandro González Iñárritu, 2003).

Trampa 22 (Mike Nichols, 1970).

El número 23 (Joel Schumacher, 2007).

39 escalones (Alfred Hitchcock, 1935).

 

El ataque de la mujer de 50 pies de altura (Nathan Juran, 1958).

50 sombras de Grey (Sam Taylor-Johnson, 2015).

55 días en Pekín (Nicholas Ray, 1963).

101 dálmatas (Reiterman, Geromini y Luske, 1960).

237 es la habitación del horror en El resplandor (Stanley Kubrick, 1980).

 300 (Zack Snyder, 2006).

Los 400 golpes (François Truffaut, 1959).

Farhenheit 451 (François Truffaut, 1966).

800 balas (Alex de la Iglesia, 2002).

 

Ana de los mil días (Charles Jarrott, 1969).

El hombre de las mil caras (Alberto Rodríguez, 2016).

1492 La conquista del paraíso (Ridley Scott, 1992).

1917 (Sam Mendes, 2019).

1984 (Michael Radford, 1984).

Novecento (Bernardo Bertolucci, 1976).

2001: Una odisea del espacio (Stanley Kubrick, 1968).

20.000 años en Sing Sing (Michael Curtiz, 1932.

20.000 leguas de viaje submarino (Richard Fleischer, 1954).

Hace un millón de años (Don Chaffey, 1966).

Million Dollar Baby (Clint Eastwood, 2004).

Y también podemos hacer la recopilación de películas con títulos con números ordinales:

El primer día del resto de tu vida (Rémi Bezançon, 2005).

Segundo premio (Isaki Lacuesta,, Pol Rodríguez,2024)

El tercer hombre (Carol Reed, 1949).

El cuarto mandamiento (Orson Welles, 1942)

No desearás al vecino del quinto (Ramon Fernández, 1977).

El sexto sentido (M. Night Shyamalan, 1999).

El séptimo sello (Ingmar Bergman, 1957).

Séptimo (Patxi Amezcua, 2013)

Alien, el octavo pasajero (Ridley Scott, 1979).

 La Novena puerta ( Roman Polanski, 1999)

El Décimo hombre ( J. Gold, 1988)

 Evidentemente no son todas las que están, seguro que el lector podría añadir alguna más pero consideramos que la muestra es ya bastante significativa.

Para terminar podíamos hacer un estadística de cuántas películas de éstas hemos visto.