Tetraedros de papel fáciles de construir

El tetraedro es un poliedro regular cuyas caras son triángulos equiláteros y como podemos ver en la fotografía, un elemento utilizado por los constructores más vanguardistas.

En la enseñanza tradicional, los alumnos no lo construían, sino que  lo recortaban de una plantilla comprada. Actualmente podemos ver en Internet que los tetraedros que se construyen son a base de dibujar el desarrollo plano y mediante unas pestañas pegar las caras. 

Otra forma más complicada  es mediante construcción de módulos que se unen convenientemente.

Nuestra manera de construirlo   tiene un proceso más sencillo basado en construir las caras equiláteras, mediante doblados, de forma que no hay que pegar ni construir pestañas solamente nos queda una arista abierta que se puede cerrar fácilmente.

Tenemos que partir de un sobre cerrado de carta, se dobla el sobre por el lado más largo obteniéndose un eje de simetría E. 

Según la figura 1b  hacemos una doblez que pasando por B lleve al vértice A a coincidir con dicho eje. Marcamos dicho punto C donde ha caído A, trazamos la perpendicular por C al eje E como vemos en la figura 2 a.

Cortamos el sobre por dicha línea perpendicular y trazamos doblando CA y CB, marcando bien las dobleces sobre los dos lados (Observar que el triángulo ABC es equilátero). El lado donde está C está abierto por el corte hecho, luego podemos meter la mano y doblando por CA y CB (aristas), adecuadamente, obtenemos el tetraedro. 

Tetraedros construidos por alumnos de Primaria.

El proceso es más difícil de contar que de hacer como podrá comprobar el lector. Para que no se quede en una sola construcción plástica y veamos la importancia de esta figura, el maestro puede realizar las siguientes actividades con los alumnos: 

- Damos un nombre a la figura por ejemplo la llamamos “La tienda del Indio” y  Coloreamos la figura.

- Estudiamos el número de aristas, caras, vértices, ángulos diedros, ángulos triedros y comprobamos que es regular.

- Objetos de la vida real que tienen esa forma. Busca fotos en internet.

- ¿Cuánto papel se ha utilizado para construirla? Describe como calcularlo.

Sin fórmulas solo calculando área de un triángulo y multiplicando por cuatro. ¿Cuánto papel ha utilizado toda la clase para construirlos? Da la medida en  papeles A4.

- Dibuja dicha figura tridimensional en un papel de manera que todos sepan de qué figura se trata (introducción a la perspectiva).

-Vamos a dibujar el desarrollo plano y comprobar que si recortamos el desarrollo plano y lo montamos nos sale la misma figura.

- El alumno va a  reproducir el cuerpo mediante el material Polydron o Plot o material orbital. El material orbital puede consistir simplemente en sorbetes de plástico  y plastilina.

Polydron 

Plot 

Orbital 

Todas estas actividades le hacen profundizar en el conocimiento de esta figura de una manera activa y lúdica basada en la metodología de laboratorio.

En nuestro manual Geometría ¡prohibido no tocar! en el apartado 4.3. encontramos estas actividades y muchas más relacionadas con el doblado de papel .

En el siguiente enlace se puede descargar el manual.    

(PDF) Geometría prohibido no tocar

PARA LOS MÁS CURIOSOS

Tetraedro de papel  en origami

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El número áureo en nuestro mundo

 El número de oro es un concepto matemático y estético, se representa con la letra griega ϕ, o “phi” (se pronuncia “fi”), en honor al gran escultor griego Fidías.  Pero este número es conocido desde la época de los griegos, y también se le llama proporción dorada, divina proporción, número áureo.Vamos a ver porqué es tan importante. Primero debemos saber en qué consiste.

El número en cuestión, se define así: Si uno divide una línea, de tal forma que la parte larga, dividida entre la parte corta, es igual a la línea completa, dividida entre la parte larga, tenemos la proporción áurea. (En el dibujo se entiende un poco mejor).

Otra forma de encontrarla, es usando la famosa sucesión de Fibonacci. Esa sucesión se construye sumando los dos términos anteriores, así después del 2 y 3 viene el 5.

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…

Lo importante, es que si dividen un término por el anterior,  cuanto más grandes sean los términos  se acerca cada vez más a la famosa proporción áurea o número de oro. ¿Y cuál es ese número? Con “precisión precisa”, el número es éste:

En primer lugar, se trata de un número que es número irracional tiene infinitos decimales no periódicos como el número pi. Es un número con muchas propiedades.

Esta proporción, ha sido muy importante desde tiempos muy antiguos. Así, el Partenón está construido sobre un “rectángulo dorado”  que son los que si dividimos entre sí sus lados no dan el número de oro.

El número de oro lo encontramos en el  cuerpo humano, en la figura de abajo, encontramos el número de oro, por ejemplo si medimos nuestra altura (a+b) y la dividimos por la medida desde el ombligo al suelo (a) nos dará el número de oro 1,618…  que la medida será más exacta cuanto más perfectos seamos. Y así todas las medidas que mostramos en la imagen de abajo. 

El número de oro está en la naturaleza . Los pétalos de muchas flores, se distribuyen siguiendo una secuencia de Fibonacci: las lilas tienen 3, los ranúnculos 5, etc., etc. Abajo  pueden ver una bella y exhaustiva lista. Esto ocurre, pues una organización de esa forma, garantiza una distribución óptima. Lo mismo pasa con las semillas en la flor del girasol, la distribución sigue una secuencia de Fibonacci, y de esta manera caben más semillas que si se ordenaran, digamos, de una manera lineal. Las ramas de los árboles también aparecen usando una secuencia de Fibonacci. Al irse sucesivamente dividiendo en dos, forman otra vez esta secuencia.

Además, los huracanes y las galaxias en espiral, tienden a formar una espiral dorada. Es más, ¡nuestro propio ADN contiene el número! Esto es porque un ciclo completo de la molécula, mide 34 por 21 angstroms  Sí, 21 y 34 son números consecutivos, de la serie de Fibonacci.

  El número de oro está en la arquitectura, la pintura y la fotografía. La proporción dorada está en el Partenón   como ya mencionamos. En la pintura, Leonardo Da Vinci hizo un uso intensivo del número (está en su Última Cena  y en la famosa Gioconda ) Miguel Ángel lo usó en también  y aparece en múltiples obras… desde Boticelli, hasta Dalí.

       Última cena de Dalí 

Incluso muchas tarjetas como nuestro carnet de identidad, en España, son un rectángulo de oro, si dividimos las medidas de sus lados podemos observar que nos da el número de oro.

 El número de oro está en la música. La proporción áurea está en algo tan esencial como son los acordes musicales. Un ciclo completo desde la nota Do, hasta la nota Do que sigue (llamado “octava”), incluye trece notas, que es número de la sucesión de Fibonacci. En una octava, hay 8 teclas blancas y 5 negras, agrupadas en conjuntos de 2 y 3. Sí. 2, 3, 5 y 8 son parte de Fibonacci.

La proporción dorada, en las armonías musicales fundamentales en el piano. Yolanda Toledo A.

Es más, si yo toco la nota Do, y al mismo tiempo, toco una nota separada dos teclas, y otra nota separada tres teclas, hago un acorde “mayor”. Y así, para definir la nota “tónica”, o sea, la que “predomina” en un acorde, también se recurre a números que siguen esta serie, y así sucesivamente. Por lo tanto, mucha de la música que escuchamos, incluye esta increíblemente versátil y hermosa proporción.

Como podemos apreciar con toda esta explicación y estos múltiples ejemplos, las matemáticas están en todas partes, y hace que percibamos el mundo un poco más bello, aun cuando no sepamos que están ahí.

PARA LOS MÁS CURIOSOS  

En el enlace de abajo tenemos el Pato Donald y el Número de oro, un segmento de la película El Pato Donald en el país de las Matemáticas que incluimos también a continuación.  

Pato Donald y el Número de oro (segmento)

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El Pato Donald en el país de las Matemáticas.

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Velázquez, Las Meninas y las Matemáticas

 

¿Dónde reside el secreto de la magia de Velázquez? ¿Por qué sus pinturas han fascinado a tantos y tan diferentes observadores, estudiosos o simples curiosos, españoles o extranjeros, desde el siglo XVII al XXI? ¿Y qué nos están diciendo? ¿Cómo debemos interpretarlas?

Para sus contemporáneos, Velázquez era un excelente pintor realista. Esta ha sido asimismo la interpretación tradicional de Las Meninas, como una instantánea de la vida cotidiana en el interior del Alcázar, una pintura extraordinaria en la que Velázquez ha conseguido congelar en el tiempo un momento intranscendente. La calidad de su técnica, lo inusual del tema, la naturalidad de los personajes, todo contribuye a convertir Las Meninas en una obra maestra. Colocada en el lugar adecuado, la pintura podría confundirse con la realidad: ¿Dónde está el cuadro? es el famoso comentario de Théophile Gautier (poeta, dramaturgo, crítico literario y fotógrafo francés) al contemplarlo en 1882, que resume concisamente la interpretación realista.

Velázquez era un pintor culto pues analizados  los libros que se inventariaron a la muerte del pintor, se descubrió que poseía un total de 156 libros acerca de un gran número de temas, entre los que destacan especialmente tratados muy técnicos sobre Geometría, Perspectiva, Aritmética, Algebra, Astronomía, Cartografía, Navegación, Arquitectura y otras materias afines. Parece sin duda la biblioteca de un científico, y más en concreto de un matemático.

Así, en 1935, el crítico de arte Michael Alpatoff publicara un artículo en la Revista de Occidente sugiriendo varias interpretaciones “simbólicas” de Las Meninas y el uso continuado de la Proporción Áurea en el diseño del cuadro. Para Alpatoff, “hay algo más en Las Meninas que un simple retrato-grupo”. De hecho, hay muchas cosas más, y algunas de ellas tienen que ver con “las formas geométricas, que de ningún modo asustan a Velázquez. (…) Cuadrados y rectángulos se armonizan a imagen de los números pitagóricos (…) El cuadro nos transporta al reinado de la lógica fácilmente mensurable, al mundo de las formas geométricas del número áureo”.  Resulta curioso que Alpatoff no base sus afirmaciones en mediciones rigurosas, sino en un sentido de la armonía y el equilibrio que él parece identificar apriorísticamente con la proporción áurea. 

Otros investigadores posteriores han procedido con un método más científico, partiendo de cuidadosas mediciones, o al menos todo lo cuidadosas que puedan ser en el contexto que nos ocupa. Cabe destacar, en este sentido, los análisis del ingeniero de caminos y también pintor Ángel del Campo y Francés (1978), para quien la habitación entera de Las Meninas tal y como aparece en el cuadro está diseñada a partir de múltiplos y potencias del número áureo,  como vemos en el diagrama adjunto.

Ángel del Campo y Francés no solo defendió que sus estimaciones eran las medidas correctas de la habitación tal y como aparece en el cuadro, sino también que eran las medidas reales de dicha habitación (el “Cuarto Bajo del Príncipe”). El Número Áureo estaría así representado en la propia arquitectura del Alcázar, y sería precisamente Velázquez quien habría planificado conscientemente dicho diseño cuando dirigió las tareas de renovación de una parte del viejo Alcázar para convertirlo en un palacio de estilo italiano. Ángel del Campo promovió por tanto una interpretación a la vez realista y simbólica de las medidas de Las Meninas.

 Hay también estudios sobre la inclusión en el cuadro de algunas de las figuras geométricas asociadas con la Proporción Áurea (rectángulos o triángulos áureos, espirales, pentágonos…). Por ejemplo, en esta línea de razonamiento, Rafael Pérez defiende la división de Las Meninas en rectángulos áureos sucesivos que se muestra a continuación, y que gobierna la distribución de la luz que entra por las ventanas de la derecha hasta llegar a la que sería la paleta del propio pintor. 

Resulta interesante mencionar que también se han encontrado posibles diagramas geométricos relacionados con la Proporción Áurea en algunas pinturas del maestro y suegro de Velázquez, Francisco Pacheco.

De todo lo anteriormente expuesto se deduce que, aunque a primera vista pudiera parecer lo contrario, el cuadro de Las Meninas puede ser de utilidad en una clase de Matemáticas. Por supuesto, puede servir para ilustrar importantes conceptos matemáticos concretos como los de número irracional (el número áureo), sucesión (de Fibonacci), fractal, etc. Pero puede ser mucho más interesante utilizar el cuadro para discutir el importante y muchas veces olvidado problema de la relación entre las Matemáticas y el mundo real.  

PARA LOS MÁS CURIOSOS

Todo lo dicho en esta entrega es un resumen de un artículo,  más exacto y riguroso,  de Antonio Heras cuyo enlace mostramos abajo.

Antonio_Heras._LAS_MENINAS_Y_LAS_MATEMATICAS.pdf

De las abejas, su mundo y las matemáticas

 

Si alguna vez has visto en el campo una colmena, habrás observado que las abejas construyen sus panales a base de celdillas hexagonales regulares y pegadas unas a otras; los tabiques son de cera elaborada por ellas mismas.

Este hecho ya fue constatado por Pappus de Alejandría,  matemático griego (282- 305). Su afirmación se basaba en la forma hexagonal que imprimen a sus celdillas las abejas para guardar la miel. Las abejas, cuando guardan la miel, tienen que resolver varios problemas. Necesitan guardar la miel en celdillas individuales, de tal manera que formen un mosaico sin huecos ni salientes entre las celdillas, ya que hay que aprovechar el espacio al máximo pero esto solo podrían hacerlo con triángulos, cuadrados y hexágonos ¿Por qué eligieron entonces los hexágonos, si son más difícil de construir?

La respuesta es un problema isoperimétrico  (del griego «igual perímetro»). Pappus había demostrado que, entre todos los polígonos regulares con el mismo perímetro, encierran más área aquellos que tengan mayor número de lados, además  los único polígonos  regulares que podían cubrir todo el plano, sin dejar hueco, son los triángulos equiláteros, cuadrados o pentágonos regulares.

            Por ello, la forma de construcción elegida por las abejas es el polígono exagonal porque cubre todo el espacio sin dejar huecos y además es el de mayor área  de las tres formas, lo que significa que cabe más miel en su interior.

En resumen,  las abejas construyen sus celdillas de forma hexagonal, ya que, gastando la misma cantidad de cera en las celdillas, consiguen mayor superficie para guardar su miel.

Desde siempre estos panales han llamado la atención de los hombres y, en particular, de los científicos: la regularidad no sólo en la forma de las celdillas, sino también en su tamaño hizo que en el siglo pasado se llegase a proponer la medida del diámetro de una celdilla (5´15 mm) como nueva unidad de longitud. Un cometido fundamental de las celdillas es almacenar la miel que las abejas van fabricando con el polen de las flores. También en ellas la reina pone huevos que, tras un período de metamorfosis, se convierten en individuos adultos.

La pregunta es: ¿y quién le enseñó esto a las abejas? 

En 1872, Charles Darwin  propuso que los animales expresaban emociones. Le llovieron las críticas e incluso las burlas. Hasta entonces se consideraba a toda especie, distinta de la humana, como poco más que un objeto animado, una bestia programada solo para la satisfacción de sus instintos. Pero poco podía sospechar el padre de la teoría evolutiva que las capacidades de los animales van aún mucho más lejos: en los últimos años se han desvelado las habilidades de numerosas especies para algo que creíamos tan exclusivamente humano como las matemáticas. Y ni siquiera se requiere para esto el complejo cerebro de un primate: con menos de un millón de neuronas —frente a nuestros 86.000 millones—, las abejas son capaces de aprender los fundamentos abstractos de las matemáticas.

Cuando las sentimos zumbando molestamente a nuestro alrededor, apenas se diría que las abejas sean capaces de algo más que buscar flores para sorber su néctar. Con los años, la ciencia nos ha enseñado que su danza encierra un complejo sistema de comunicación capaz de codificar el camino, la distancia y la dirección hacia una fuente de alimento, lo que requiere no solo un reconocimiento del entorno y una sólida memoria, sino también un proceso de abstracción. En 2012 un estudio mostró que estas capacidades se sustentan en la destreza de las abejas para comprender conceptos como arriba, abajo, izquierda, derecha, igual y diferente   que son conceptos matemáticos previos  al aprendizaje del número.

Pero por si esto no fuera suficiente logro para un cerebro de medio milímetro, en 2018, Adrian Dyer y sus colaboradores en la Universidad RMIT de Melbourne (Australia) descubrieron que las abejas saben contar. Los investigadores entrenaron a los insectos para distinguir entre cantidades distintas de formas geométricas, como cuadrados o círculos, de modo que tuviesen que elegir, desde 1 hasta 6, el número menor. Se ha demostrado que incluso pueden llegar a entender el cero y distinguir entre pares e impares y hacer operaciones.

 

 Vamos por último a plantear un problema para los alumnos que puede proponer el profesor  después de dar la información que hemos desarrollado en esta entrega.

 

El mecanismo natural de selección de las especies hace que prosperen las soluciones óptimas: las más económicas en términos de gasto energético. Salen adelante las variantes genéticas que consiguen la supervivencia con menor trabajo. 

Por eso la forma y el tamaño de las celdillas deben ser las  que se ajustan estrictamente a las necesidades de las abejas. ¿Y cómo lo consiguen? Pues, por una parte, haciendo que las celdillas encajen perfectamente unas en otras, con lo que un mismo tabique sirve para dos celdas. Es el clásico problema del teselado (cubrir todo el plano sin dejar huecos) con polígonos regulares. Se puede conseguir de varias maneras.

a) ¿Recuerdas con qué polígonos regulares (todos iguales) es posible hacerlo? 

 

Veamos otra condición: la abeja necesita que las celdillas tengan una superficie determinada, pongamos 4 cm2 (en realidad es mucho menor), que le permita introducir su cuerpo en ellas. El objetivo de esta actividad es investigar el por qué, de entre todas las formas posibles, ha prevalecido el hexágono:

b) ¿Qué perímetro tiene un triángulo equilátero cuya superficie es de 4 cm2?

c) ¿Qué perímetro tendría un cuadrado de la misma superficie?

d)  Estudia la misma cuestión con un hexágono regular.

e)  Relaciona las anteriores respuestas con el problema de las abejas.

 

Si has hecho bien los cálculos habrás llegado a la conclusión de que:

Entre todas las formas poligonales regulares que llenan el plano, el hexágono regular es la que consigue encerrar una superficie con el menor perímetro.

f) Las cuestiones precedentes se referían a una superficie de 4 cm2  para simplificar los cálculos. Ahora intenta demostrar la anterior conclusión en general, para una superficie S cualquiera.

   

PARA LOS MÁS CURIOSOS

Los siguientes enlaces dan cuenta de todo lo que hemos afirmado.  

Dominio simultáneo de dos conceptos abstractos por el cerebro en miniatura de las abejas | PNAS

 

Ordenación numérica de cero en abejas melíferas (science.org)

 

Abejas que saben matemáticas: cuentan, ordenan, suman y restan | OpenMind (bbvaopenmind.com)

 

Las abejas aprenden matemáticas: saben distinguir entre números pares e impares (lavanguardia.com)

Fórmula de Herón o como calcular áreas facilmente.

 

Normalmente para calcular el área de un triángulo se calcula mediante la fórmula conocida de la mitad de la base por la altura. Sin embargo en la práctica sería más fácil si no tuviéramos que elegir una base y trazar una perpendicular (altura) para calcular el área y pudiéramos hacerlo solo conociendo la medida de los tres lados. Esa es la ventaja que tiene la fórmula de Herón que para hacer cualquier medida  del área de un campo o una superficie grande o pequeña, triangular, nos basta con conocer sus tres lados. 

Triangulación de polígonos

Además sabiendo que  cualquier polígono simple  puede ser partido en triángulos. Esta subdivisión y la aplicación de la fórmula  herodiana para el área triangular, facilita el cálculo del área de la región plana encerrada por cualquier polígono simple de lados rectos  con solo medir longitudes, allí radica su importancia de la fórmula de Herón.

Así pues la  la fórmula de Herón, cuya invención se atribuye al matemático griego Herón de Alejandría  da el área del triángulo conociendo las longitudes de sus tres lados a, b y c y donde s es el semiperímetro del triángulo.

A´rea=s(s−a)(s−b)(s−c)

La fórmula de Herón ofrece varias ventajas en el cálculo de áreas de triángulos

Simplicidad: Es fácil de entender y aplicar, incluso con conocimientos matemáticos básicos como pueden ser nuestros alumnos del aula.

Eficiencia: A menudo converge rápidamente hacia la respuesta correcta lo que lo hace útil para cálculos manuales.

Versatilidad: Puede ser utilizada para encontrar áreas de cualquier triángulo, siempre que se conozca las longitudes de los lados.

Aplicaciones prácticas: Se utiliza en diversas disciplinas, como la construcción, la topografía y la ingeniería, donde ser requieren calcular áreas de terrenos en forma triangular o en cualquier forma irregular con lados rectos, pues como ya hemos dicho cualquier polígono se puede triangular.

 Hablamos, para acabar de Herón de Alejandría, que  fue un ingeniero, físico y matemático (10-75, Alejandría) considerado un personaje clave de la ciencia antigua. Se sabe muy poco de su vida pero vivió en el siglo I d.C. cuando Alejandría ya estaba un poco en decadencia.

Se supone que ejerció durante años como profesor del Museo de Alejandría. Sabía  matemáticas, física y astronomía pero sobre todo era lo que hoy en día llamaríamos un ingeniero. Desplegó una actitud casi moderna para la mecánica, ya que descubrió de forma arcaica la ley de acción y reacción. Describió muchas máquinas sencillas y generalizó el principio de Arquímedes. 

Eolípila

Algunos de sus dispositivos representan la primera investigación formal sobre cibernética. Fue el inventor de la eolípila, una esfera que giraba con vapor que fue  una máquina precursora de la máquina de vapor que se inventaría en el siglo XVIII.

También se le atribuye la invención del primer instrumento musical eólico, una forma de órgano que utilizaba la fuerza del viento para generar sonidos. Además, fue el inventor de la máquina expendedora más antigua que permitía dispensar agua bendita. Y también inventó muchos mecanismos para el teatro griego de marionetas como el teatro automático de Garza de Alejandría realizado con sistemas de cuerdas, nudos y mecanismos sencillo accionados por una rueda dentada cilíndrica giratoria. En matemáticas Herón ideó, también,  una técnica para calcular raíces cuadradas mediante iteraciones.

Su obra principal es La Neumática, donde trata sobre el uso del aire, agua y el vapor. Otras tratan sobre las catapultas, sobre la propagación y reflexión de la luz y  Mecánica que trata sobre la construcción de mecanismos y máquinas sencillas.

PARA LOS MÁS CURIOSOS

Historia de Heron y sus inventos en el enlace: 

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Demostración que la fórmula de Heron es equivalente a la conocida área de cálculo de área de un triángulo en el enlace:

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María Gaetana Agnesi: Religiosa, matemática y ¿bruja?

 

María Gaetana Agnesi nació en Milán, el 16 de mayo de 1718, y procedía de una familia pudiente e interesada en las artes y las ciencias. Su padre, Pietro Agnesi, fue profesor de matemáticas en la Universidad de Bolonia. Su madre, Anna Fortunata Brivio, era de  la familia aristocrática Brivio.

La joven María perdió a su madre a la edad de trece años, por lo que  su padre llegó a casarse dos veces más, y extendió la familia a 21 hijos.  María fue una niña muy brillante: a los cinco años hablaba francés perfectamente, como su italiano natal. Unos pocos años más tarde, dominaba el latín, el griego, el hebreo y el español, y ya desde una temprana edad, se preocupó por los derechos de la mujer y su acceso a la educación.

El ambiente familiar influyó muy positivamente en que pudiera explotar todo su potencial intelectual. De hecho, una de sus hermanas, Maria Teresa Agnesi Pinottini, fue una famosa compositora que deleitaba a las visitas tocando el clavicémbalo.

María era una chica retraída y muy devota, deseaba entrar en un convento pero su padre no se lo permitió. Cuando la madre de María muere durante el parto de su octavo hijo, ella misma se hizo cargo de la casa y de sus hermanos, apartándose de la vida pública. Sus deseos se redujeron a poder ir a misa siempre que quisiera, vestir sencilla y humildemente, y no tener que asistir a bailes y fiestas. Probablemente esta vida austera fuera el mejor derrotero para María, ya que su padre pecaba de un afán exhibicionista con sus dos talentosas hijas, en un salón de los más concurridos por los intelectuales de toda Italia.

A los doce años, María había sufrió una enfermedad que los médicos no fueron capaces de diagnosticar. Sus convulsiones se achacaron al estudio excesivo, por lo que se le indicó que se divertirse más y pasearse a caballo. Sin embargo, estos remedios no resolvieron el problema y se le pidió que fuera moderada en todas sus actividades.

Portada de la  primera edición de las Instituciones Analíticas

María tuvo una excelente formación matemática; por ejemplo, a los catorce años ya estudiaba balística y geometría. Tuvo tutores que la iniciaron en estos estudios matemáticos, como el monje Ramiro Rampinelli, que había enseñado matemáticas en Roma y en Bolonia, y fue quién la puso en contacto con los Ricatti. Su fama matemática se consolidó con su obra Instituzioni analítiche ad uso della gioventú italiana, publicada en Milán en 1748, y dedicada al análisis matemático. La obra fue editada por ella misma, y adquirió rápidamente notoriedad entre los matemáticos de la época, porque puede considerarse como el primer texto completo de Cálculo, incluyendo el cálculo diferencial y el cálculo integral. Es un gran trabajo con unas 1000 páginas repletas de ilustraciones y ejemplos.

Fue traducida a varios idiomas y utilizada para aprender matemáticas durante más de cincuenta años en muchos países de Europa.

Entre 1750 y 1752 consta que era catedrática de matemáticas en la Universidad de Bolonia, ciudad que en esa época pertenecía a los Estados Pontificios. El Papa escribió a Agnesi el 2 de septiembre de 1750: En tiempos pasados Bolonia ha tenido en puestos públicos a personas de vuestro sexo. Nos parece adecuado continuar con esa honorable tradición. Hemos decidido que se le adjudique la bien conocida cátedra de matemáticas…. 

¿La bruja de Agnesi?

Hoy en día, María Gaetana es también recordada por su curva “embrujada”, pero que no se trata de ningún hechizo, ni María era una bruja. La historia por la que la curva recibió este nombre surge de la mala traducción del término versiera, del latín vertere, que es un término naval, que identifica la cuerda o cabo que hace girar la vela. John Colson, el traductor inglés, la confundió con la palabra avversiera, que significa diablesa o bruja. La ecuación de su curva embrujada es la siguiente:

donde a es un parámetro (de hecho, el radio de la circunferencia inicial con la que se construye la curva). Para a = 1/2, resulta:

y esta es su representación gráfica:

La magia de esta curva es que aunque su contorno sea infinito, el área encerrada bajo la curva es finita y proporcional al área de un círculo; además, el volumen engendrado por la revolución de esta curva alrededor de su asíntota es cuatro veces su hipotético volumen.

La curva tiene interesantes aplicaciones en física y en estadística. Desde el punto de vista de la estadística, la distribución de Cauchy de una variable aleatoria se expresa como una curva de Agnesi. Así mismo, en la física, pueden explicarse fenómenos de resonancia atómica cuando incide radiación monocromática sobre un electrón. La intensidad de esta radiación dependerá de la longitud de onda con que incide esta luz, y la relación entre estos dos parámetros puede modelizarse mediante la curva bruja de Agnesi.

Su padre Pietro Agnesi muere en 1752, y a partir de ese momento, María se siente libre y abandona las matemáticas para atender a sus tendencias religiosas, dedicando mucho tiempo al estudio de la Teología, especialmente de la Patrística. De hecho, María se desprendió de gran parte de su fortuna en obras de caridad y ejerció, desde 1771, por designación del arzobispo Tozzobonelli, el cargo de directora del Hospicio Trivulzio de Milán donde se concentró en el cuidado de los menesterosos y enfermos, sobre todo mujeres mayores, y donde ella misma muere el 9 de enero de 1799.

Al final de su vida era famosa en toda Europa como una de las mujeres de ciencia más capaces del siglo XVIII. Un cráter de Venus lleva su nombre en su honor. En la Biblioteca Ambrosiana de Milán se guardan sus obras inéditas que ocupan veinticinco volúmenes.