TODOS LOS MIÉRCOLES , UNA NUEVA ENTREGA

martes, 8 de abril de 2025

OBSTÁCULOS EN LAS IMÁGENES DE LIBROS DE TEXTO.

 

(PDF) Geometría prohibido no tocar

En las enseñanzas de tendencia tradicional y en los libros de textos es frecuente encontrarse con ciertas presentaciones sobre las  figuras que crean esquemas mentales inadecuados para que el alumno desarrolle un pensamiento abierto y divergente. Dichas presentaciones  obstaculizan los proceso de abstracción y la agilidad en el manejo de ideas y contenidos.

Uno de los distractores más conocidos son los distractores de orientación, que se refieren a aquellas propiedades visuales que se incluyen en el esquema conceptual del alumno y que no tienen nada que ver con la definición del concepto.

Por ejemplo, en el tema de Ángulos podemos observar como éstos suelen ser  presentados con un lado horizontal paralelo al borde inferior del libro. Los alumnos incluyen en su esquema conceptual de ángulo dicho atributo de forma que consideran que siempre tienen que dibujarlos con un lado horizontal, sobre todo el ángulo obtuso.

Igualmente ocurre con la construcción del triángulo rectángulo que se presenta apoyado sobre el cateto o los rombos apoyados siempre en un vértice.

También los trapecios se encuentran dibujados, en los libros de texto, con los lados paralelos a los márgenes inferior y superior del libro de texto, y apoyados en el lado paralelo mayor.


 De esta forma los alumnos pueden no interiorizar como ejemplos, también válidos, las rectas perpendiculares no paralelas a los bordes del libro, triángulos rectos colocados en otras orientaciones, rombos apoyados en uno de sus lados y trapecios apoyados en la base pequeña.


El profesor debe utilizar los materiales correspondientes como geoplanos, mecanos, o programas como GeoGebra, para hacer ver a los  alumnos que las orientaciones, comúnmente utilizadas,  no tienen nada que ver con la definición del concepto, son solamente distractores que influyen en la verdadera comprensión de dicho concepto.

PARA LOS MÁS CURIOSOS.

 Para los que quieran seguir indagando en estas cuestiones de las representaciones geométricas en los libros de textos, os proponemos diferentes artículos  realizados por nuestro equipo de trabajo.

Libro Geometría ¡ prohibido no tocar! Capítulo  7. Obstáculos y errores en la enseñanza de las figuras.

 https://www.researchgate.net/publication/349222640_Geometria_prohibido_no_tocar

Las representaciones geométricas en los libros de textos utilizados en la Comunidad Autónoma de Extremadura.  

https://www.researchgate.net/publication/280076331_Barrantes_M_Lopez_M_y_Fernandez_M_A_2014_Las_representaciones_geometricas_en_los_libros_de_textos_utilizados_en_la_Comunidad_Autonoma_de_Extremadura_Campo_abierto_Revista_de_educacion_Vol_33_N_1_pags_

Análisis de las representaciones geométricas en los Libros de textos.

https://www.researchgate.net/publication/270959897_ANALISIS_DE_LAS_REPRESENTACIONES_GEOMETRICAS_EN_LOS_LIBROS_DE_TEXTO

La componente visual de la Geometría en los libros de texto de Secundaria.

https://www.researchgate.net/publication/270959793_LA_COMPONENTE_VISUAL_DE_LA_GEOMETRIA_EN_LOS_LIBROS_DE_TEXTOS_DE_SECUNDARIA

Os recomendamos también el manual Didáctica de la Medida cuyos enlaces tenéis a la derecha arriba en esta misma página y que es de descarga gratuita.


Por las festividades de la Semana Santa, volvemos dentro de dos semanas.

 


miércoles, 2 de abril de 2025

DURERO Y EL CUADRADO MÁGICO


 Alberto Durero ​ (en alemán, Albrecht Dürer; Núremberg, 21 de mayo de 1471-ib., 6 de abril de 1528) ​ fue uno de los artistas más famosos del Renacimiento alemán, conocido en todo el mundo por sus pinturas, dibujos, grabados y escritos teóricos sobre arte.

En el  famoso grabado Melancolía de Durero  hay muchos elementos relacionados con la geometría, la aritmética y la medida del tiempo. Hay una esfera de madera torneada, un romboedro truncado formado por pentágonos irregulares y triángulos (en el que se puede apreciar un rostro humano difuminado), una regla, un reloj  de arena, una balanza  y un cuadrado mágico de 4x4, en el  que nos vamos a centrar. 

Estos cuadrados mágicos habían sido inventados casi 4.000 años antes por los egipcios, pero cabe el honor a Albert Durero y a su Melancolía I de ser el primer cuadro en Europa que incluía un cuadrado de este tipo, y por lo tanto, se ha considerado históricamente, como un cuadro con un valor simbólico sin precedentes. Este cuadrado mágico no es un cuadrado  cualquiera en los que las filas y columnas suman un número sino que va más allá como vemos a continuación.

 Como ya hemos dicho, la suma de todas las filas y columnas es 34 y también se cumple para las diagonales luego la constante mágica del cuadrado es 34.   

 SUMA FILAS 

SUMA COLUMNAS 

La suma de las cuatro esquinas es 34. 

Si desplazamos los campos en el sentido de las agujas del reloj la suma sigue siendo 34.

 Si lo desplazamos de nuevo sigue siendo 34. 

La suma de los campos centrales y  de los extremos medios es también 34. Y así siempre 34.

  El siguiente cuadro nos muestra todas las posibilidades de sumar 34, se distinguen por los cambios de color. Podemos ver que los números que suman 34 tienen una cadencia o regularidad dentro del mismo cuadro. 

Alguien acabará pensando ¿por qué 34?

 La razón es que cualquier cuadrado mágico que construyas con los 16 primeros números naturales, está condenado a usar el 34 como número ‘mágico’. Sólo tienes que sumar todos los números (16 x 17) / 2 = 136, y puesto que cada una de las cuatro filas (o cada columna) debe sumar lo mismo, necesariamente tiene que ser 136: 4 = 34 

Ah!! Las dos cifras centrales de la última columna forman 1514, año en el que se realizó el cuadro.

Sería interesante introducir la historia y el análisis de este cuadro  en nuestras aulas.  Estamos relacionando el Arte con las Matemáticas. Al final, los alumnos pueden buscar cuaternas de números que sumen 34, la tarea es motivante y no es difícil.

PARA LOS MÁS CURIOSOS.

 Melancolía es considerada la imagen más misteriosa diseñada por Durero y se caracteriza, como muchas de sus obras, por su iconografía compleja y su simbolismo. Es una composición alegórica que ha suscitado diversas interpretaciones.

Para los que quieren profundizar en el cuadro hay mucha literatura en internet, por ejemplo:

https://es.wikipedia.org/wiki/Melancol%C3%ADa_I

Para los que quieren completar más nuestro estudio matemático.

https://www.gaussianos.com/el-cuadrado-magico-del-pintor/

 

martes, 25 de marzo de 2025

Aprender áreas jugando con palillos

 





El concepto de área es un concepto básico pero a la vez mucho más complejo que el concepto cualitativo de longitud, y su adquisición es posterior al de éste. El área es, pues, la extensión de un cuerpo; el espacio barrido por una línea o un espacio vacío delimitado.

 Así pues, los palillos (palitos) son un material  importante para el estudio del área como espacio vacío delimitado. Son un material sencillo y barato que podemos utilizar para la enseñanza-aprendizaje de las figuras geométricas y de longitudes, en particular el perímetro. Con los palillos, los alumnos pueden trabajar los conceptos de segmentos y su clasificación. También pueden construir todos los tipos de ángulos, clasificarlos y estudiar su medida.

La construcción de los polígonos es también tarea sencilla, así como el cálculo de sus áreas considerando como unidad de medida el área cuadrada formada por cuatro palillos o bien el área triangular formada por tres palillos. Los palillos son un material idóneo para trabajar las fracciones, y en Secundaria, el teorema de Pitágoras y las semejanzas.

Mostramos sencillas actividades para trabajar las figuras,  el área y las distintas unidades de áreas con las que se puede medir.  

- Formamos la figura dada con doce palillos

a) Descubre por lo menos cuatro formas geométricas en dicha figura ¿Cuánto mide el área de dicha figuras, tomando como medida la unidad triangular?  ¿Cuánto mide el área de la figura total?

b) Quitando cuatro palillos forma solamente tres triángulos equiláteros. Mide sus áreas tomando como medida la unidad triangular.

c)  Quitando dos palillos observa qué formas quedan. Las formas son distintas según los palillos que quitemos, pues haz una lista  de las posibilidades que encuentres y calcula el área de las figuras resultantes con unidad triangular.

- Coloca 17 palillos como en la figura dada, formando un rectángulo cuya área es 6 unidades cuadradas.

a) Quita 1 palillo de manera que el área de la figura resultante sea 5 u2.

b) Quita 2 palillos de manera que queden 5 u2.

c) Quita 3 palillos de manera que queden 4 u2.

Estudia en cada caso el tipo de polígono que se ha formado.

Planteamos una última actividad, como refuerzo, en la que se presentan diferentes unidades de medida para calcular el área de una figura. Con este tipo de ejercicio se afianza la idea de unidad genérica, no necesariamente cuadrada, y además que el valor de la medida depende claramente de la unidad de medida a utilizar.

- Calcula ¿Cuántas figuras 1 caben en el triángulo grande? ¿Después cuántas figuras 2?  y luego ¿Cuántas figuras 3?

El alumno debe observar si caben exactamente o no. El profesor puede animar al alumno para que si no se puede hacer con una sola utilice dos o más unidades sembrando lo que llamamos medidas mixtas.

PARA LOS MÁS CURIOSOS.

En nuestro manual Didáctica de la medida en Primaria puedes encontrar más actividades y un estudio completo de la enseñanza de la medida de superficies entre otras medidas.  

https://www.researchgate.net/publication/343555837_Didactica_de_la_medida_en_Primaria

En internet con las palabras claves: palillos, matemáticas podemos hallar un sinfín de juegos y videos. 

martes, 18 de marzo de 2025

Geometría más fácil con mecanos

 

Hay conceptos y  propiedades que son difíciles de mostrar en la pizarra o mediante fichas pero que mediante la utilización de materiales son fácilmente comprensibles.

Un material muy útil para estas labores son los mecanos,   unas  varillas de distintas longitudes con agujeros que se unen mediante  encuadernadores, tornillos, tuercas o cualquier otra pieza que no sujete firmemente las piezas  y nos permita girarlas.

Una de las principales ventajas de estas varillas es que no son deformables y  dinámicas por lo que  nos permite trabajar de forma continua algunas propiedades.

Por ejemplo,  el mecano nos permite estudiar la relación entre los lados de un triángulo. El profesor propone al alumno que construya triángulos y que diga con qué varillas puede construirlas y con cuáles no. El alumno observa que cuando son más cortas al girarlas no se pueden encontrar los lados.


 

El alumno puede llegar a la conclusión de que la suma de los dos lados que queremos unir tiene que ser mayor que el lado base.

Otra propiedad importante del triángulo es su rigidez.

Si el alumno construye un triángulo podrá observar que haciendo presión en sus ángulos, no es posible deformarlo ni desplazarlo. Incluso esta actividad se puede hacer con tiras de papel y encuadernadores y comprobar que empujando en las esquinas no es posible deformarlo, dentro del plano.

Triángulos  con Tiras de papel y encuadernadores

 

 Si construye cualquier polígono con los mecanos, por ejemplo un pentágono,  puede comprobar que la mínima presión sobre uno de sus vértices deformará el pentágono. Sin embargo, si triangula el polígono mediante otras varillas de mecano, una vez triangulado completamente, el polígono se convierte en indeformable. Por tanto, la propiedad de rigidez del triángulo se traspasa al polígono en cuestión.

El triángulo es el ladrillo de la Geometría. Podemos observar que para construir estabilidad por ejemplo en una estantería, un techado, etc. colocamos en la base triángulos o escuadras como vemos en la figura, pues su resistencia es mayor que la de cualquier otra figura y como hemos comprobado al no deformarse soportan muy bien la carga. Lo mismo ocurre con los tejados, por eso los más resistentes son los triangulares.  

Las varillas de mecano nos permiten también  realizar el estudio de los elementos notables de un triángulo  como las alturas o las medianas. Una varilla que cuelga libremente del vértice hace de altura, como vemos en las fotos. En la primero fotografía el triángulo es acutángulo y la altura blanca queda dentro de la figura, pero  se pueden observar que si el triángulo es obtusángulo (segunda foto) la altura amarilla correspondiente al ángulo obtuso es exterior al triángulo (El triángulo siempre tiene que estar apoyado en un lado sobre una superficie lisa).

Los alumnos estudian la mediana.  Ahora ya no apoyan el triángulo en una base y lo dejan caer libremente, sujetándolo por el vértice, podrán ver que el hilo o la varilla amarilla suelta pasa justamente por el punto medio del lado opuesto al vértice sujetado que es la definición de mediana.  


Todas estas propiedades que son difíciles de poder comprobar sobre el papel o sobre una pizarra son fácilmente mostradas a los alumnos con estos mecanos, que  también pueden ser sustituidos por tiras de papel (cartón duro) y encuadernadores si no se dispone de esta material.

PARA LOS MÁS CURIOSOS

Más actividades y otros materiales manipulativos para trabajar la Geometría en la Educación Primaria o Secundaria podemos encontrarlos en nuestro manual, de descarga gratis, de las que le dejamos dos enlaces posibles.

(PDF) Geometría prohibido no tocar

Geometría ¡Prohibido no tocar! - Universidad de Extremadura. Servicio de Publicaciones

En su momento también se ha publicado esta manual en papel.

Barrantes, M. y Barrantes, M.C. (2017). Geometría en la Educación Primaria. Ed. Indugrafic digital. Badajoz. 

martes, 11 de marzo de 2025

Influencia de Escher en las creaciones actuales


En esta entrega continuamos la entrega anterior y vamos a ver como la obra de Escher está presente, no solo en las imágenes actuales, sino también en el cine y en los videojuegos. Comenzamos mostrando algunas variaciones de diferentes autores que tienen claras influencias las litografías de Escher.

En la figura de arriba vemos una  variación del cuadro Relatividad creada por el dibujante Michael Domaradz. Sobre esta  litografia también hay otras muchas creaciones como las hechas con Legos.


De la litografia Cascada encontramos nuevas creaciones como ésta con dragones y todo, y otras  hechas con Legos.  


De la litografía Belvedere encontramos algunas imágenes curiosas como ésta.  

 

Esta fotografía está basada en la misma idea donde los hombres están  abajo,  dentro del recinto, y arriba,  fuera. 

Pero la importancia y la influencia de Escher podemos verla también en películas como Origen  (Christopher Nolan, 2010). Para comprender la película, y tal vez para explicarla, habría olvidarnos un poco de la lógica racional y recurrir a esa imagen de Escher en la que aparece una escalera. En ella sitúa a dos personas en el mismo tramo de escalera y en el mismo sentido y una parece que sube y la otra que baja.


Origen: La escalera de Escher llevada al cine | Revista Atticus

  En Dentro del laberinto (Jim  Henson, 1986) vemos en una escena que  Jareth (David Bowie) aparece cantando “Within You”, mientras Sarah (Jennifer Connelly) trata de alcanzar a su hermano, Toby (Toby Froud) en un laberinto inspirado en la obra de Escher. El director, Jim Henson, y el diseñador de producción, Elliot Scott, trasladaron la litografía del artista holandés a un set tridimensional, donde las escaleras conducen a los personajes hacia arriba y hacia abajo al mismo tiempo.

En la película  Harry Potter y la piedra filosofalChris Columbus,  Daniel Radcliffe, Rupert Grint, Emma Watson, Robbie Coltrane, 2001) la escalera imposible de Relatividad  vuelve a ser usada cuando el joven mago junto a sus amigos Hermione y Ron suben la Gran Escalera del Castillo de Hogwarts.



También aparece la obra de Escher en el cortometraje húngaro Mind the Step!  (Istvan Orosz, 1989) o en varios capítulos de los Simsons (temporada 2 x capitulo18, 5 x 05, 6 x 12, 21 x 12).

La serie Doctor Who  dedica cuatro capítulos de su 19 temporada titulados Castrocalva (1982), y no podemos olvidar la influencia de Escher en la película Suspiria (1977)  de Dario Argenta donde las litografías de Escher  aparecen decorando las paredes interiores.




Por último, también encontramos la obra de Escher en los videojuegos como Cod of War (2010) o los juegos de lógica de Portal (2007) o el escenario de Antichamber (2013) entre otros.

Videojuego Portal (2007)

Después de este pequeño repaso de la influencia de Escher en las creaciones actuales, recomendamos estos enlaces  donde podemos ver escenas de todas estas películas, series y videojuegos nombrados anteriormente y otros más que complementan esta información.

Bing Vídeos

CINE Y ARTE: ‘Relativity’, de M. C. Escher, y su influencia en 10 filmes - ENFILME.COM


miércoles, 5 de marzo de 2025

Escher y las figuras imposibles


 Escalera arriba, escalera abajo (1960)

Las figuras imposibles  son ilusiones ópticas que representan formas que  se pueden dibujar en el plano pero no pueden existir en el mundo físico de 3 dimensiones,  aunque nuestro cerebro intente interpretarlas como objetos tridimensionales. Este tipo de figuras son un ejemplo de cómo la percepción visual puede ser manipulada, revelando limitaciones en la forma en que nuestro cerebro procesa la información visual.

Aquí tenemos algunos ejemplos.



Maurits Cornelis Escher (Leeuwarden, 17 de junio de 1898-Hilversum, 27 de marzo de 1972) es el maestro neerlandés  de las figuras imposibles, las ilusiones ópticas y los mundos imaginarios. Siempre interesado por representar con tridimensio-nalidad espacios paradójicos que desafían a los modos tradicionales de representación, se podría decir que abrazó el relativismo de su época. El mundo es mucho más de lo que se nos presenta ante el ojo, como bien sabían los artistas, literatos, intelectuales y científicos de la época. El mundo es inquietantemente relativo.

En su familia no había habido nunca un gran interés por las artes. Su padre era un ingeniero que siempre deseó ver a su hijo estudiando una carrera de ciencias, así que Escher inició arquitectura. No estuvo, sin embargo, mucho tiempo allí, pues prefirió dedicarse al dibujo. Y, con tal deseo, marchó en 1922 a Italia, en donde comenzó a realizar, sin gran éxito, grabados paisajistas. Hasta que, preocupado por el rumbo de Mussolini, decidió marchar en la década de 1930 a Suiza en busca de tranquilidad.


Mano con esfera reflectante.(1935)

Fue entonces cuando, cansado de lo convencional, quiso encontrar algo nuevo. Y a eso le ayudó mucho uno de sus viajes a Granada (España), pues allí visitó la Alhambra y quedó maravillado por los patrones matemáticos de sus elementos decorativos y el modo en que sus creadores no dejaban un espacio sin ocupar.

Por aquel entonces era un hombre cercano a los 40 años de edad que  ya estaba fraguando las ideas que le harían famoso; esos dibujos y mundos imposibles en donde se desafiaba la lógica; representando espacios paradójicos de un modo nunca dado antes y que él resumió del siguiente modo:

En mis grabados trato de mostrar que vivimos en un mundo hermoso y ordenado y no en un caos sin normas, como a veces parecemos. Mis temas también son a menudo juguetones. No puedo evitar burlarme de todas nuestras certezas inquebrantables. Es, por ejemplo, muy divertido confundir deliberadamente dos y tres dimensiones, el plano y el espacio, o burlarse de la gravedad. ¿Estás seguro de que un suelo no puede ser también un techo? ¿Estás absolutamente seguro de que subes cuando subes una escalera?

Cuando en 1954 se expusieron algunos de sus grabados en el Congreso Internacional de Matemáticas de Ámsterdam, el idilio entre Escher y el mundo de las ciencias se inició.  Y, pronto, empezó a ser conocido en todo el mundo como uno de los artistas más originales de su tiempo. De este modo, el joven que había abandonado su carrera acabó convirtiéndose en uno de los autores que mejor lograron ilustrar los principios del pensamiento científico.

Claro, que ese fue solo el inicio. La influencia de Escher fue mucho más allá. Sus imágenes llegaron a la propia cultura pop hasta formar parte de la sociedad, En los años sesenta se convirtió –muy a su pesar- en un icono hippie, al contemplarse su trabajo como algo contracultural; y luego dejó su impronta en el mundo del cine (lo hubiera hecho más de no haber rechazado trabajar con Kubrick en 2001: una odisea del espacio), el cómic, la animación o, más recientemente, el videojuego. Cuando falleció, en, 1972, era toda una celebridad a quien hombres como Mick Jagger, de los Rolling Stones habían tratado de convencer, sin éxito, para que ilustrara alguno de sus álbumes. Al final, en sus últimos veinte años de vida, había gozado del reconocimiento y la estabilidad económica que siempre había deseado. Así había sido el genio tranquilo, el hombre que, contra todo pronóstico, había pasado a la historia por su genial fusión entre matemática y arte.

En la siguiente entrega expondremos la influencia del Escher en el mundo actual de la imagen.

Mostramos algunas de sus más famosas obras:

Manos dibujando (1948). Dos manos, cada una dibujando a la otra con un lápiz. Espacio y plano coexisten aquí.


Relatividad (1953). Aquí se aplican tres puntos de gravedad distintos en un mundo espacio, provocando gran confusión al espectador. Podemos ver a personas que viven en tres mundos distintos que no se intersecan nunca.

Belvedere (1958).El propio castillo de Belvedere es un edificio imposible. El joven encaramado en lo alto de la escalera está fuera del edificio, mientras que la base de la escalera está dentro. El hombre que hay en el calabozo quizá haya perdido la razón tratando de compaginar las estructuras contradictorias de su mundo.


En esta litografía el muchacho que está sentado en el banco sostiene un cubo en el que el modo en que se cruzan las aristas no puede realizarse en el mundo real, como podemos ver abajo en un estudio que Escher hizo para esta obra. 


Detalle de Escalera arriba y escalera abajo (1960) que mostramos completa al principio de esta entrega.  Es el  más conocido de los objetos imposibles de Escher, con sus dos filas de figuras humanas que suben y bajan de forma eterna. Si nos fijamos en una de las figuras y la seguimos podemos ver que sube y vuelve a llegar al mismo sitio. Igualmente los que bajan.


 
Esta obra está basada en la famosa escalera de Penrose que es también una figura imposible. Bajemos o subamos siempre llegamos al mismo sitio.


Cascada (1961). Otra de sus obras más famosas. Aquí rompe las reglas de la perspectiva y, una vez más, nos plantea una paradoja visual. El agua cae por la cascada baja por el canal y vuelve a caer otra vez por la cascada.


Cóncavo y convexo (1955)

Representa una estructura arquitectónica ornamentada con muchas escaleras, pilares y otras formas. Este es un muy buen ejemplo de la maestría de Escher a la hora de crear ilusiones de "arquitectura imposible". Las ventanas, caminos, escaleras y otras formas pueden percibirse como abriéndose en formas y posiciones aparentemente imposibles.  

Todos los elementos adicionales y la decoración de la izquierda son consistentes con un punto de vista desde arriba, mientras que los de la derecha con un punto de vista desde abajo: ocultar la mitad de la imagen  con un folio hace que sea muy fácil cambiar entre convexo y cóncavo.


PARA LOS MÁS CURIOSOS

Os damos algunas páginas para seguir la obra de Escher que es mucho más extensa que la pequeña muestra de esta entrega.

M.C. Escher - The Official Website

M. C. Escher - Wikipedia, la enciclopedia libre

M.C. Escher - 470 obras de arte - impresión