Si alguna vez has visto en el campo una colmena, habrás observado que las
abejas construyen sus panales a base de celdillas hexagonales regulares y
pegadas unas a otras; los tabiques son de cera elaborada por ellas mismas.
Este hecho ya fue constatado por Pappus de Alejandría, matemático griego (282- 305). Su afirmación se basaba en la forma hexagonal que imprimen a sus
celdillas las abejas para guardar la miel. Las abejas, cuando guardan la miel,
tienen que resolver varios problemas. Necesitan guardar la miel en celdillas
individuales, de tal manera que formen un mosaico sin huecos ni salientes entre
las celdillas, ya que hay que aprovechar el espacio al máximo pero esto solo
podrían hacerlo con triángulos, cuadrados y hexágonos ¿Por qué eligieron
entonces los hexágonos, si son más difícil de construir?
La respuesta es un problema isoperimétrico (del griego «igual perímetro»). Pappus había demostrado que, entre todos los polígonos regulares con el mismo perímetro, encierran más área aquellos que tengan mayor número de lados, además los único polígonos regulares que podían cubrir todo el plano, sin dejar hueco, son los triángulos equiláteros, cuadrados o pentágonos regulares.
Por ello, la forma de
construcción elegida por las abejas es el polígono exagonal porque cubre todo el espacio sin dejar huecos y
además es el de mayor área de las tres
formas, lo que significa que cabe más miel en su interior.
En resumen, las abejas construyen sus celdillas de forma
hexagonal, ya que, gastando la misma cantidad de cera en las celdillas,
consiguen mayor superficie para guardar su miel.
Desde siempre estos panales han llamado la atención de los hombres y, en particular, de los científicos: la regularidad no sólo en la forma de las celdillas, sino también en su tamaño hizo que en el siglo pasado se llegase a proponer la medida del diámetro de una celdilla (5´15 mm) como nueva unidad de longitud. Un cometido fundamental de las celdillas es almacenar la miel que las abejas van fabricando con el polen de las flores. También en ellas la reina pone huevos que, tras un período de metamorfosis, se convierten en individuos adultos.
La pregunta es: ¿y quién le enseñó esto a las abejas?
En 1872, Charles Darwin propuso
que los animales expresaban emociones. Le llovieron las
críticas e incluso las burlas. Hasta entonces se consideraba a toda especie,
distinta de la humana, como poco más que un objeto animado, una bestia
programada solo para la satisfacción de sus instintos. Pero poco podía
sospechar el padre de la teoría evolutiva que las capacidades de los animales
van aún mucho más lejos: en los últimos años se han desvelado las habilidades
de numerosas especies para algo que creíamos tan exclusivamente humano como las
matemáticas. Y ni siquiera se requiere para esto el complejo cerebro de un
primate: con menos de un millón de neuronas —frente a nuestros 86.000
millones—, las abejas son capaces de aprender los fundamentos
abstractos de las matemáticas.
Cuando las sentimos zumbando
molestamente a nuestro alrededor, apenas se diría que las abejas sean capaces
de algo más que buscar flores para sorber su néctar. Con los años, la ciencia
nos ha enseñado que su danza encierra un complejo sistema de
comunicación capaz de codificar el camino, la distancia y la
dirección hacia una fuente de alimento, lo que requiere no solo un
reconocimiento del entorno y una sólida memoria, sino también un proceso de
abstracción. En 2012 un estudio mostró que estas capacidades se sustentan en la
destreza de las abejas para comprender conceptos como arriba, abajo, izquierda, derecha, igual y diferente que son conceptos matemáticos previos al aprendizaje del número.
Pero por si esto no fuera
suficiente logro para un cerebro de medio milímetro, en 2018, Adrian Dyer y sus
colaboradores en la Universidad RMIT de Melbourne (Australia) descubrieron que
las abejas saben contar. Los investigadores entrenaron a los insectos para
distinguir entre cantidades distintas de formas geométricas, como cuadrados o
círculos, de modo que tuviesen que elegir, desde 1 hasta 6, el número menor. Se
ha demostrado que incluso pueden llegar a entender el cero y distinguir entre
pares e impares y hacer operaciones.
Vamos por último a plantear un
problema para los alumnos que puede proponer el profesor después de dar la información que hemos
desarrollado en esta entrega.
El mecanismo natural de
selección de las especies hace que prosperen las soluciones óptimas: las más
económicas en términos de gasto energético. Salen adelante las variantes
genéticas que consiguen la supervivencia con menor trabajo.
Por eso la forma y el
tamaño de las celdillas deben ser las
que se ajustan estrictamente a las necesidades de las abejas. ¿Y cómo lo
consiguen? Pues, por una parte, haciendo que las celdillas encajen
perfectamente unas en otras, con lo que un mismo tabique sirve para dos celdas.
Es el clásico problema del teselado (cubrir todo el plano sin dejar huecos) con
polígonos regulares. Se puede conseguir de varias maneras.
a) ¿Recuerdas con qué
polígonos regulares (todos iguales) es posible hacerlo?
Veamos otra condición:
la abeja necesita que las celdillas tengan una superficie determinada, pongamos
4 cm2 (en realidad es mucho menor), que le permita introducir su cuerpo en
ellas. El objetivo de esta actividad es investigar el por qué, de entre todas
las formas posibles, ha prevalecido el hexágono:
b) ¿Qué perímetro tiene
un triángulo equilátero cuya superficie es de 4 cm2?
c) ¿Qué perímetro
tendría un cuadrado de la misma superficie?
d) Estudia la
misma cuestión con un hexágono regular.
e) Relaciona las
anteriores respuestas con el problema de las abejas.
Si has hecho bien los cálculos
habrás llegado a la conclusión de que:
Entre todas las formas poligonales regulares que llenan el plano, el
hexágono regular es la que consigue encerrar una superficie con el menor
perímetro.
f) Las cuestiones
precedentes se referían a una superficie de 4 cm2 para simplificar
los cálculos. Ahora intenta demostrar la anterior conclusión en general, para
una superficie S cualquiera.
PARA LOS MÁS CURIOSOS
Los siguientes enlaces dan cuenta de todo lo que hemos afirmado.
Dominio simultáneo
de dos conceptos abstractos por el cerebro en miniatura de las abejas | PNAS
Ordenación numérica
de cero en abejas melíferas (science.org)
Abejas
que saben matemáticas: cuentan, ordenan, suman y restan | OpenMind
(bbvaopenmind.com)
Las
abejas aprenden matemáticas: saben distinguir entre números pares e impares
(lavanguardia.com)
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