LECTURAS DE VACACIONES

Llegadas las vacaciones de Navidad  nos gusta recomendar algunas lecturas didácticas relacionadas con las Matemáticas y su enseñanza-aprendizaje. La mayoría de las lecturas recomendadas se pueden conseguir en papel pero también se encuentra online.

Una de las lecturas y película básicas en la enseñanza aprendizaje de la geometría es Flatland, que ha sido traducido al español como Planilandia basada en una novela antigua escrita en 1884 por el matemático Edwin A. Abbott. Esta novela nos introduce dentro de la piel y las reflexiones de A. Cuadrado, un habitante del mundo bien llamado Planilandia. Aunque es fácil adquirirlo en librerías, en este enlace encuentras el libro:

http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/docencia/abbott-planilandia.pdf 

El libro transcurre, esencialmente, en dos partes importantes. La primera parte es un pequeño tratado que “Cuadrado”, abogado y habitante de Planilandia, nos hace a nosotros, los habitantes de Espaciolandia, de cómo es su mundo, como viven, cómo se mueven, cómo se organizan…En la segunda parte, “Cuadrado” recibe la visita de una esfera tridimensional, a la cual no puede comprender hasta ver la tercera dimensión por sí mismo. El libro ha sido llevado al cine en varias ocasiones, aquí tienes dos muestras.

Versión en inglés con subtitulos en español

 https://www.youtube.com/watch?v=OgiO32MDq3k

 

https://www.youtube.com/watch?v=6FLUvOpvb3g&t=795s

                                                     

El hombre que calculaba es un famoso libro del Brasilero Júlio César de Mello Souza más conocido como Malba Tahan. Este libro nos trae aventuras en escenarios árabes típicos junto con atractivas soluciones de problemas de álgebra y aritmética. Fue publicado por primera vez en 1938, ha sido traducido a más de 12 idiomas, incluyendo el Inglés, Español, Italiano, Francés, y  es uno de los libros para adolescentes más vendidos. El libro cuenta las aventuras de Beremiz Samir, un hombre con una gran habilidad para los cálculos. Beremiz resolvía problemas y situaciones complicadas de todos los estilos con gran talento, simplicidad, y precisión, de cualquier índole con el uso de las matemáticas. Un libro curioso, divertido y con mucha fantasía. Podemos encontrarlo en el enlace de abajo aunque para los que le gusten las ediciones en papel  o libro electrónico también es fácil conseguirlo.  

http://www.librosmaravillosos.com/hombrecalculaba/pdf/El%20Hombre%20que%20Calculaba%20-%20Malba%20Tahan.pdf

El libro, Lilavati es un texto de divulgación en la que un padre se dirige a su hija con cariño y benevolencia para mostrarle los secretos de las matemáticas. El autor es  Bhaskara II (1114-1185), natural de India y famoso matemático.

Lilavati está escrito en verso del siglo XII con explicaciones y comentarios actuales (en la edición en español de Angel Requena y Jesús Malia).Y es que el verso ha sido también para matemáticos y científicos un recurso didáctico esencial.  Su contenido son las matemáticas de niveles básicos y medio que incluye aritmética, álgebra, combinatoria, geometría y trigonometría. El respeto a la mujer, la admiración y la contemplación de la naturaleza, multitud de ejercicios para cultivar el cuidado de la economía doméstica y financiera, la educación para la paz... son valores en plena vigencia que Lilavati cultiva con muy buen gusto y belleza. Este texto solo está publicado en papel.

Una novela negra muy conocida y además relacionada con las matemáticas titulada El asesinato de Pitágoras (Duomo editorial, 2013), de Marcos Chicot y que  fue finalista del Premio Planeta  (cuarta posición)  y se ha  publicado en una veintena de países, fue el libro electrónico en lengua española más vendido del mundo ese año. Por esa misma novela, la ciudad de  Crotona le otorgó la distinción Alabanza Solemne, y también le fue concedido el Premio por la Cultura Mediterranea, 2015 como reconocimiento a su labor de difusión cultural. También obtuvo el premio a la Mejor Novela publicada en Italia.  

El anciano filósofo Pitágoras, uno de los personajes con más poder político de su época, está a punto de nombrar un sucesor entre sus grandes maestros cuando éstos empiezan a ser asesinados. Cada muerte tiene lugar de un modo más desconcertante e imprevisible, reflejando tras ellas una mente oscura y poderosa que parece superar a la del mismísimo Pitágoras. La enigmática Ariadna y el investigador egipcio Akenón tratarán de identificar al asesino a la vez que resuelven sus propios sentimientos. Un reto en el que los fantasmas del pasado se unen a las oscuras amenazas del presente. Un desafío del que resulta casi imposible salir con vida.

Sin embargo, “El asesinato de Pitágoras” no es tan solo una novela negra ambientada en Crotona y en la escuela pitagórica que el gran matemático y filósofo griego Pitágoras fundó en la misma, sino que realmente es una novela histórica que reconstruye los últimos meses de la comunidad crotoniata de los pitagóricos (al menos bajo la dirección de Pitágoras) y el inicio del declive de la hermandad. Se puede conseguir en papel.

 Recomendamos también nuestros textos sobre la Didáctica de la medida  en Primaria (Barrantes, M., Barrantes, M.C. y Zamora, V.) de la que nuestra compañera María Luisa Novo ha realizado una recensión, que merece la pena leer, muy didáctica e interesante El enlace del trabajo de María Luisa es: 

https://www.researchgate.net/publication/348454169_Recension_Didactica_de_la_medida_en_Primaria_Manuel_Barrantes_Consuelo_Barrantes_Victor_Zamora

El texto ha sido publicado online por la Universidad de Extremadura y lleva más de 22000 descargas.  El enlace de descarga gratis es:

(10) (PDF) Didáctica de la medida en Primaria. (researchgate.net)

Por último, Geometría ¡Prohibido no tocar! (Barrantes, M. y  Barrantes, M.C.)con más de 7000 descargas es un  manual pensado para preparar convenientemente a los estudiantes para profesores de Primaria y profesores en el contenido didáctico de la Geometría de acuerdo con las metodologías y currículos actuales. Una gran cantidad de actividades con manipulación de materiales, manuales o informáticos, ofrece a los alumnos una variedad de formas, para llegar a los contenidos geométricos, basadas en la observación de las propiedades y en el posterior análisis. Este libro también se puede conseguir en papel (ponerse en contacto conmigo para indicarle librerías, solo España) o en el enlace gratis :

(10) (PDF) Geometría prohibido no tocar (researchgate.net)

        

OS DESEAMOS UNA FELICES FIESTAS Y NOS VOLVEMOS A ENCONTRAR  EN ENERO

UN DESPERTADOR MEDIEVAL: -EL RELOJ DE VELA.

 

Los primeros relojes tienen miles de años, y usaban el Sol y las sombras para marcas las horas. Pero obviamente no funcionaban por la noche, o en interiores.

La vela, como unidad o graduada con marcas regulares en su longitud. Se han utilizado desde la Edad Media en las iglesias para controlar los tiempos de vigilia, también eran comunes en la sociedad de la Antigua Roma, con marcas regulares a lo largo de la cera para regular el tiempo transcurrido con mayor precisión.

Reloj de fuego en el museo del Reloj. Zacatlán, Puebla. México.

Hoy en día, la luz de las velas se usa principalmente para cenas especiales o una solución rápida cuando se va a la luz. No obstante, antes de que la electricidad fuese algo común, las velas tenían muchos usos; eran una fuente de luz fundamental, podían colocarse en candelabros o transportarse en prácticos soportes de latón. Además, su cera podría usarse para sellar correspondencia, ya fuese para mantener la privacidad o servir como lienzo para un sello oficial.

El reloj de vela es una tecnología antigua. La primera referencia de la que se tiene registro data del año 520 d.C. en un poema chino de You Jiangu. En él, describió seis velas uniformes de igual peso y grosor, cada una de 30 centímetros de alto. Las velas estaban marcadas en secciones de una pulgada. Cada pulgada tardaba 20 minutos en arder y una vela entera duraba 4 horas. Encerradas en estructuras para proteger la llama, las velas podían usarse para medir el paso del tiempo, una técnica perfecta para cuando el sol no estaba a la vista.

Otras referencias antiguas a los relojes de vela aparecieron en Japón durante el primer milenio de nuestra era. También el rey Alfredo el Grande de Inglaterra usaba este método en las iglesias inglesas. Se podía usar una vela de cualquier tamaño, siempre que el tiempo de combustión fuese establecido y regular. A través de las marcas, las velas se podrían subdividir para medir el paso del tiempo.

Un ejemplo famoso de un reloj de vela complejo son los relojes de Al-Jazari, un ingeniero y erudito musulmán del siglo XII. Conocido por sus inventos de bombas de agua y relojes, creó un reloj de vela que usaba un sistema de poleas y pesas para transformar la flama continua de la vela en intervalo de tiempos que se podía leer en un marcador frontal. Este sistema avanzado fue solo uno de los relojes del inventor; también diseñó relojes a base de agua que rastreaban los movimientos astrológicos.

Además de indicar la hora, las velas también servían como despertadores. Los usuarios colocaban clavos de metal en una vela en el intervalo de tiempo deseado y colocaban la vela en un soporte de metal. Una vez que la cera se derretía hasta el nivel deseado, el clavo caía sobre la base de metal, provocando el ruido suficiente para funcionar como una alarma. Esta era otra opción para aquellos que buscaban levantarse temprano. El sonido de la chimenea de las fábricas, los pregoneros y (por supuesto) los gallos también cumplían este propósito.

Existían variantes mucho más sofisticadas. En algunos monasterios usaban bolas de metal metidas dentro de la vela, que rodaban por el suelo. En otros casos se ataba una cuerda con un aro de metal al clavo, y cuando la cera se derretía la anilla se balanceaba en la cuerda y golpeaba varias veces un plato metálico.

Estos métodos se usaron hasta el siglo XVIII, a pesar de que los relojes tradicionales de cuerda eran cada vez más comunes.

Como reflexión podemos pensar como la tecnología nos ha ayudado en estos tiempos a medir el tiempo o ¿quizás,   es el tiempo quien nos mide a nosotros?

PARA LOS MÁS CURIOSOS

En nuestro manual Didáctica de la Medida en Primaria encontramos un capítulo dedicado a la Enseñanza y Aprendizaje de la magnitud Tiempo.

(12) (PDF) Didáctica de la medida en Primaria. (researchgate.net)

LA FORMACIÓN DE PROFESORES : EL CURRICULUM DEL NADADOR

Traemos,  en esta nueva entrega, un texto ya clásico de hace ya unos cuantos años (1974) pero a pesar de ello, creemos que sigue todavía vigente como vamos a comentar a continuación. Jacques Busquet escribió estas líneas en un trabajo que tituló: ¿Pueden fabricarse los profesores?

Imagínese una escuela de natación que dedicara un año a enseñar anatomía y fisiología de la natación, psicología del nadador, química del agua y formación de los océanos, costos unitarios de las piscinas por usuario, sociología de la natación (natación y clases sociales), antropología de la natación (el hombre y el agua) y, desde luego, la historia mundial de la natación, desde los egipcios hasta nuestros días.

Todo esto, evidentemente, a base de cursos magistrales, libros y pizarras, pero sin agua.

En una segunda etapa se llevaría a los alumnos-nadadores a observar durante otros varios meses a nadadores experimentados.

Y después de esta sólida preparación, se les lanzaría al mar, en aguas bien profundas, un día de temporal de enero.

La formación de los profesores tiene todavía hoy, aproximadamente, este esquema. Se empieza con cursos teóricos, se sigue con el período de prácticas, generalmente consistente en la observación de un aula, para acabar aceptando un modelo oficialmente reconocido. Por fin, después de una oposición que muchas veces poco que ver con lo estudiado y con la realidad que hay que afrontar, se sitúa al profesor delante de una clase casi siempre numerosa.

El currículum del nadador es una metáfora que se utiliza  para referirse  a las complejas relaciones entre teoría y práctica en la formación del profesor. Y, concretamente, a la escasa o nula reflexión práctica o de la práctica reflexiva en la formación de los profesores. Como toda metáfora que pretende iluminar la comprensión de un hecho o fenómeno, ésta de la formación del nadador deja en la sombra algunas parcelas de la realidad que son importantes. Es cierto que la dimensión puramente teórica es insuficiente. Las disciplinas del currículum arriba indicado no pueden formar las destrezas del nadador. Ni ésas, ni muchas otras que se podrían añadir: Historia de la navegación, Biografía de los campeones olímpicos, Estilos de natación, Marcas conseguidas, Análisis de vídeos...

Ahora bien, ni la profesión docente puede compararse con el ejercicio de la natación ni puede despreciarse toda la teoría como un lastre o una pérdida de tiempo respecto a una formación que vaya más allá de la simple adquisición de habilidades. Una práctica mecanicista, vacía de significados, pretendidamente aséptica, desvirtuarían la auténtica competencia profesional

Téngase además en cuenta que la finalidad de la formación del docente no es sólo que éste aprenda, sino que aprenda a enseñar. Es decir, que no se trata sólo de enseñarle a nadar sino de que aprenda, además, a enseñar a que otros lo hagan.

La formación de profesionales de la enseñanza encierra una pluralidad de facetas que conviene tratar de manera simultánea, para evitar el riesgo de que una de ellas quede sin atender y, como consecuencia, que los problemas sigan sin solución.

Todo lo dicho no nos referimos solamente a la aplicación en Didáctica de las Matemáticas, sino en todas las materias que implican la formación del profesorado tanto de Primaria como de Secundaria. Si se nos permite partir de lo que muchos consideran lema acuñado, la calidad de la escuela tendrá  como techo la calidad sus docentes.

Para acabar dos frases que que tiene que ver con  la enseñanza y el aprendizaje.

Dime y lo olvido, enséñame y lo recuerdo, involúcrame y lo aprendo (Benjamin Franklin).

El pesimista de queja del viento; el optimista espera que cambie; el realista ajusta las velas  (WARD, William George)

PARA LOS MÁS CURIOSOS.

El artículo de J. Busquet (1974) ¿Pueden fabricarse los profesores? Se puede leer en el libro del mismo autor titulado: La problemática de las reformas educativas. INCIE. Madrid. El artículo que nos ocupa está en las páginas 115-125 .

En los siguientes enlaces se puede descargar dicho texto de forma gratuita.

00876_19.pdf 

La problemática de las reformas educativas - Publicaciones - Ministerio de Educación y Formación Profesional (educacion.gob.es)

DIVISIONES CONFUSAS PARA REIR

Algunas veces el cine ha utilizado cálculos matemáticos para provocar las carcajadas del espectador. Se trata de cálculos disparatados, como el que mostramos en el segmento de video  donde se "demuestra" que 28 : 7 = 13 o que 13 x 7 = 28.  Este gag fue explotado repetidas veces,  por ejemplo, en la película In the navy (Arthur Lubin, 1941)  protagonizada por Bud Abbott y Lou Costello y titulada en España: Marineros mareados.

Ese mismo gag lo presentaron varias veces, como vemos en un episodio de TV (1952) realizado por ellos  mismos,  y cuyo enlace adjuntamos. 

 

Bing Vídeos

 

La escena anterior fue imitada de forma igualmente exitosa ocho años más tarde en la película  The futher adventures of Ma and Pa Kettle (Charles Lamont,  1949). entonces "demostrando" que 25 : 5 = 14 o que 14 x 5 = 25. Ma y Pa eran un matrimonio de granjeros con 15 hijos, parodia de una familia rural de la América profunda.

En ambas escenas la fuente de confusión está en ignorar el valor posicional de las cifras, mezclando decenas con unidades.  No nos debe despistar que la ordenación de las cifras en la caja  del algoritmo de la división es  al contrario (primero divisor y luego dividendo)  a la que utilizamos nosotros. Espero disfruten del gag y sería interesante  trabajarlo con los alumnos en una sesión debate posterior para descubrir qué errores se comenten, y afianzar más  el concepto de operación división.

PARA LOS MÁS CURIOSOS 

Este es el enlace para la misma escena,   pero en la  la película  The further adventures of Ma and Pa Kettle en versión original 

Bing Vídeos

 

ÁRBOL DE PITÁGORAS

Hoy hablamos de los árboles pitagóricos que no son más que fractales usando las demostraciones del Teorema de Pitágoras.  Partimos de que un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o aparentemente irregular, se repite a diferentes escalas. En nuestro caso, esa estructura básica es el esquema del Teorema de Pitágoras que se repite, como podemos ver, en distintas escalas.

La construcción del árbol de Pitágoras comienza con un cuadrado. Sobre este cuadrado se construyen otros dos cuadrados reducidos de tal manera que las esquinas de los cuadrados coinciden dos a dos y cumplen el teorema de Pitágoras. Este mismo procedimiento se aplica de forma  recursiva para las dos cuadrados más pequeños, repitiéndose el proceso indefinidamente. La siguiente imagen muestra las primeras iteracciones en el proceso de construcción.

El límite de esta sucesión de conjuntos existe y es el fractal llamado árbol de Pitágoras. Evidentemente su construcción se hace con un programa de ordenador, como Geogebra, como se muestra en los enlaces posteriores. El primer Árbol de Pitágoras que encontramos es un plano fractal  inventado por el profesor Albert E. Bosman en 1942 (imagen 1)

Imagen 1

 A partir de este modelo y usando herramientas como GeoGebra el lector puede construir su propio árbol. El que mostramos es un árbol pitagórico fractal de cartulina elaborado por los  alumnos  de 2º y 3er ciclo de primaria (8-12 años) en el CEIP San Fernando de Almería (Imagen 2).

Imagen 2

 En la página de Amadeo Artacho tenemos también estos árboles que mostramos y las explicaciones de su construcción (Imágenes 3 y 4) en el siguiente enlace:  

El Árbol de Pitágoras – MatematicasCercanas

En este caso, se han sustituido los cuadrados por cubos, de manera que la relación entre las aristas cumple el teorema de Pitágoras, el resultado se muestra bastante espectacular (imagen 5 y 6 ):

Imagen 5 y 6

Con la referencia Fractal Árbol Pitagórico u otras similares encontramos una gran cantidad de imágenes y videos referentes a estos fractales. Dejamos dos ejemplos:

Fractalien 👽 - Bing video

Árbol de Pitágoras (bestiariotopologico.blogspot.com)

PARA LOS MÁS CURIOSOS

 En el siguiente enlace tenemos un Tutorial de cómo  hacer un Árbol Pitagórico con GeoGebra.

Bing Vídeos

Esta semana tenemos bastante entretenimiento para los más curiosos. 

EPITAFIOS MATEMÁTICOS

 

Hay muchas formas de perpetuarse y burlar la muerte: tener hijos, plantar un árbol, escribir un libro.  Un método muy sencillo y que deja una huella imborrable es el epitafio. Hay epitafios originales, graciosos, poéticos y, por qué no, también matemáticos.

 Uno de los más famoso es el de Diofanto de Alejandría, que vivió en el siglo III y es considerado el padre del álgebra. En su epitafio aparecía escrito:

Caminante, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad.

Unas sencillas cuenta que se pueden hacer con los alumnos nos dan su edad 84 años y la de su hijo 49.

Hay otros famosos epitafios como el de Arquímedes, en su desaparecida tumba  se dice que había tallado un dibujo de una esfera contenida dentro de un cilindro. Esto se debe a que fue el propio Arquímedes el que demostró que el volumen de una esfera corresponde a dos terceras partes del cilindro con el mismo radio y altura.

En la tumba de Jakob Bernoulli aparece una espiral equiangular, que él mismo estudió en profundidad, y la frase Aunque cambiado resurgiré (Eadem mutata resurgo).

En la tumba de Isaac Newton, uno de los mejores matemáticos y físicos que ha existido, aparece la fórmula de uno de sus resultados más célebres: el Binomio que lleva su nombre.

Otro mensaje interesante no los que nos dejó  René Descartes, que dice  Está disfrutando de la Verdad que persiguió durante toda su vida.

Paul Erdös, fue un  matemático húngaro inmensamente prolífico y famoso por su excentricidad que, con cientos de colaboradores, trabajó en problemas matemáticos.  En su epitafio dice : “Por fin ya no me vuelvo más y más estúpido”.

Évariste Galois,fue un matemático que murió con 21 años, por alma de fuego, en un duelo en 1832. Sin embargo, la Teoría de Galois constituye una de las bases matemáticas de la modulación CDMA utilizada en comunicaciones y, especialmente, en los sistemas de navegación por satélite como GPS, GLONASS y otros.  Su epitafio dice “Sin saber aún si la pasión es racional o irracional, pero con la certeza de que has sentido y has vivido”.

Curiosa es también la tumba de Ludolf van Ceulen, matemático alemán que halló los 35 primeros decimales de Pi, en la que aparece grabado dicho número. Como curiosidad, cabe destacar que al número Pi se le conoció durante muchos años como “número ludalfiano”. Entre 1603 y 1610 calculó la aproximación con los 15 dígitos exactos:

3,14159265358979323846264338327950288.

 

Por último, el de David Hilbert  que vivió para ver a los nazis purgar a la mayoría de miembros facultativos sobresalientes de la Universidad de Göttingen, en 1933. Para cuando Hilbert murió en 1943, los nazis habían reestructurado casi por completo la universidad, ya que mucho del personal facultativo anterior era judío o estaba casado con judíos. Al funeral de Hilbert asistió menos de una docena de personas, y solo dos de ellas eran colegas académicos.  En su tumba se puede leer “Wir müssen wissen, wir werden wissen”, que significa Debemos saber, sabremos.

Muchas cosas haremos en la vida pero debemos ser conscientes de la dificultad que representa elegir el mensaje que queremos que hable por nosotros durante el resto de la humanidad ¿has elegido ya el tuyo?

¿PODRÍAMOS HABLAR SIN LA GEOMETRÍA?

 

¿Podríamos hablar sin la geometría? Se nos cuela por todas las costuras del idioma, sin casi darnos cuentas…

Esta frase es  de Lázaro Carreter, el que fuera director de la Real Academia Española y gran defensor de la lengua como un instrumento vivo, lejos de quedar fosilizada en los diccionarios. Como él mismo afirma: Escribo contra el uso ignorante de nuestro idioma. Dos de sus más conocidos  libros son:  El dardo en la palabra y El nuevo dardo en la palabra. En este último encontramos un capítulo titulado El espíritu de la Geometría, en que reflexiona sobre el uso de palabras geométricas en el lenguaje cotidiano. Los párrafos que viene a continuación son extraídos de dicho libro pues nadie como él puede expresarlo mejor.

Apenas a los chicos vascos o equivalentes les da por travesear algo, salen con eso de que va en aumento la espiral de la violencia. Nunca es una recta pujante o un zigzag que, a sacudidas, trepa como la fiebre de un colérico : es una espiral, sin excepción inimaginable. Se trata de una metáfora perfectamente válida, idiomáticamente bella, esta de la violencia vista como un tornado que se  empina vertiginoso hasta arriba girando alrededor de un punto…Bastaría decir que aumenta o crece la violencia, pero ese aumento, dicho así, parece sin alma, y, sobre todo, es ajeno al dialecto que muchos comunicadores emplean para dirigirse al público.

… La aportación de tropos geométricos al caudal de las lenguas ha sido desde siempre muy considerable: la nuestra es el lenguaje del amor, cuenta, por ejemplo con el triángulo… los narradores eróticos de principios de este siglo … llamaban horizontales a las damas de cama fácil. Hay gente que todo lo ven bajo un prisma; Galdós los llamaba prismáticos….

 El mundo social ha entrado a saco en el sacro recinto de Euclides; contamos con círculos de labradores, de bellas letras, aristocráticos, de fumadores: la tira. Existen las altas esferas, los sectores afectados, los polígonos de desarrollo y las curvas de crecimiento. En las demandas salariales, se piden a lo yanqui aumentos lineales( para todos) ; por lo contrario,  el también yanqui puntual es lo que afecta solo a algo  a concreto; se habla de las pirámides de edades; se ven las cosas desde un determinado ángulo . El Congreso se deja de asuntos centrales- la formación humanística-  y se sale por la tangente. Un juez – salvo excepciones es recto y su trayectoria, por tanto, rectilínea; pero hay ocasiones que se pasa de la raya … Cuando falta ya poco para que algo acabe( el curso, un partido de futbol, un proceso… ) dicen de ese algo que ha entrado en la recta final…

Nuestros indefectibles amigos los cronistas del deporte han lanzado no hace mucho otro en verdad útil: cuando, por ejemplo, un chavea de quince años muestra habilidad sobresaliente con el esférico en sus pies, se asegura de que él tiene una inmensa proyección. No es que su sombra se alargue por el campo, sino que lleva un carrerón: podrá integrarse pronto en esos conjuntos de millonarios que, miércoles tras sábados y domingos, cambian el pantalón largo por el corto, y encienden pasiones por los estadios. Sus bardos- son muchos- prefieren proyección a futuro o porvenir porque, claro es, tal nombre está más cerca del inglés projection.

 Hemos resumido el capítulo pero nos parece interesante que el lector curioso, interesado en el estudio de la lengua española, lo lea completo en algunas de las muchas ediciones que se han hecho. Igualmente se recomienda la lectura de los dos textos, que pueden enseñarnos mucho del uso de nuestra lengua.       

 

UNA DE CUADRADOS MÁGICOS

 

Los cuadrados mágicos, son un conjunto de números enteros diferentes colocados en las casillas de un cuadrado y que se caracterizan porque la sumas de sus filas, columnas y diagonales principales es siempre la misma, el valor de la suma es denominado Constante mágica del Cuadrado. El primer registro de un cuadrado mágico  que aparece en la historia es en China.

En occidente la primera vez que aparecen es en el año 130 d. C. en los trabajos de un astrónomo griego llamado Teón de Smyma. En 1300 d. C. eran muy conocidos y usados por los  astrólogos y médicos medievales para predecir el futuro o curar enfermedades. Eran también usados como amuletos para prevenir plagas y enfermedades. En algunas cortes europeas aparecían inscritos en los platos para prevenir a los comensales de posibles envenenamientos.

En el renacimiento los cuadrados mágicos empezaron a estudiarse por los matemáticos. El Cuadrado Mágico de Durero, es el más conocido y más enigmático, utilizado en un grabado titulado Melancolía I. (Museo Británico, Burton de 1989, Gellert et al. 1989). El grabado muestra una mezcla desordenada de los equipos científicos de la época, mientras que un intelectual se encuentra absorto en sus pensamientos. El cuadrado es de orden cuatro en el que la suma de las filas, columnas y diagonales es 34, y los números centrales de la última fila forman el año en el que fue pintado 15 y 14, es decir 1514. Hay otras muchas propiedades de este cuadrado que pueden ver en los enlaces que se ofrecen al final.

Hasta la actualidad los cuadrados mágicos son un tema de interés para matemáticos o no. Ya a finales del siglo diecisiete, y de forma póstuma, se publicaron los ochocientos ochenta cuadrados mágicos de orden cuatro descubiertos por el eminente matemático francés Frénicle Bessy, uno de los investigadores más importantes en esta materia. Por cierto, hay tan sólo un único cuadrado mágico de orden uno, no hay ninguno de orden dos y la cifra se eleva hasta 275.305.224 para los cuadrados mágicos de orden cinco.

Otro cuadrado mágico muy conocido es el de la Sagrada Familia de Barcelona. 

El escultor Josep María Subirachs (1927), recibió el encargo de proseguir el recubrimiento escultórico de la Fachada de la Pasión en el templo inacabado de La Sagrada Familia, diseñado e ideado por el arquitecto Antonio Gaudí (1852 – 1926) y junto al grupo escultórico del Beso de Judas se encuentra este peculiar cuadrado mágico.

La peculiaridad del cuadrado mágico de la Sagrada Familia es que no es realmente un cuadrado mágico. En primer lugar, no están todos los números del 1 al 16 (condición necesaria para ser cuadrado mágico de orden 4), sino que faltan el 12 y el mismo 16 y, en segundo lugar, observamos que hay números repetidos (el 10 y el 14). De este modo, la constante mágica no resulta 34, sino 33: la edad con la que Jesucristo fue crucificado que también es el grado mayor en la masonería por lo que quedaría por ver si existe una relación de Antoni Gaudí con esta secta.

Pero quizás lo más curioso de este juego matemático es que este cuadrado mágico aparece representado en la Sagrada Familia en un total de 33 ocasiones. Es una manera de rizar el rizo en torno a este número y de revelarnos el encomiable esfuerzo por mostrarnos la presencia continua de Cristo en este lugar sagrado.

Este mismo cuadrado mágico aparece en la fachada de la Parroquia Nuestra Señora de Europa de Madrid y posiblemente en algunas iglesias más de España.  

Los cuadrados mágicos han aparecido también en el arte figurativo. La escultura que mostramos en la  foto de abajo, es obra del artista Patricio Irlanda y se encuentra en el jardín de la galería de arte de Eaton (Eaton Fine Art Gallery) en West Palm Beach, Florida. Representa un cuadrado mágico de orden 3 en el que los números se han sustituido por bloques de diferentes tamaños.

Este es un tema que puede también ser trabajado con los alumnos de Primaria como podemos ver en los siguientes enlaces donde se proponen actividades para éstos.

A jugar (ilce.edu.mx)

Cuadrados mágicos (ilce.edu.mx)

 
PARA LOS MÁS CURIOSOS

(24) (PDF) La magia de los cuadrados mágicos. Available from: https://www.researchgate.net/publication/38291387_La_magia_de_los_cuadrados_magicos [accessed Oct 17 2023].

Propiedades del cuadrado mágico  de Durero

Cuadrado mágico de Alberto Durero | Adicción Matemática (juntadeandalucia.es)