APRENDER LOS NÚMEROS. COMPOSICIÓN Y DESCOMPOSICIÓN

 Fotos 10 y 11 

Entre las muchas actividades para aprender los números consideramos imprescindible que el alumnado realice actividades de composición y de descomposición de los números.

 El objetivo es tratar tanto el  aspecto convergente como divergente de la construcción de los números naturales. Es decir,  tanto el proceso analítico, que es pasar del número como un todo a las  partes numéricas en las que se puede dividir dicho número, como en el  proceso sintético, que consiste en pasar de las partes al todo. En otras palabras, el número 8 se puede descomponer en 2 y 6; 1, 2 y 5; ó  2, 2, 2 y 2, etc.  en un proceso analítico o divergente, y desde el proceso sintético o de composición podemos decir que a partir de 3 y 5; 4 y 3 y 1; y,  4 y 4 conseguiremos llegar al  número 8.

Las actividades deben ser en un principio lo más manipulativas posibles. Algunos materiales que podemos utilizar son por ejemplo:

Bolsas herméticas y fichas:

Descomponemos el número 5 en 4 y 1 o en 2 y 3 y todas las formas  posibles. Utilizando una raya separadora como vemos en las fotos 1 y 2.

                                                                         Fotos 1 y 2

Usamos las regletas Cuisiniere:

Descomponemos la regleta del número 6 de todas las formas posibles como  vemos en la foto 3

     Fotos 3 y 4

Con la caja de Sonia Dillon:  formamos la descomposición del número 3, como vemos en la foto 4,  y del número 5 y todas las formas posibles , como vemos en las fotos 5- 7.

Fotos 5, 6 y 7

 Con Cartulinas y pinzas de colores podemos hacer la Descomposición del número 5 en 2 y 3,  en 4 y 1 y todas las formas posibles  como vemos en las fotos  8 y 9.

                                                                        Fotos 8 y 9

Unos palitos y unos vasos de plásticos o unos helados, también son buenas ideas para hacer descomposiciones simbólicas  como vemos en las fotos 10 y 11  que encabeza esta entrega. 

Dejamos en mano del maestro el planteamiento de las actividades, nuestro objetivo ha sido solamente presentar el material y sembrar la idea.

 Dicha idea es que: No son  necesario sofisticados materiales para aprender las matemáticas y en nuestro caso los números.   

PARA LOS MÁS CURIOSOS:

Para la caja de Sonia Dillon :

DILLON, SONIA G.L.de (1968). Una nueva técnica para la enseñanza de la matemática. Buenos Aires: Kapelusz.

 En nuestro manual puede encontrar la descripción y muchas actividades de los materiales descritos.

Barrantes, M., Zapata, M. y Barrantes, M.C. (2022). Didáctica de los números y las operaciones en la Educación Primaria. Ed. Universidad de Piura. Piura (Perú).

Estamos en proceso de publicar un manual de Números, online y de descarga libre, informaremos en su momento.

LOS NÚMEROS Y LA GEOMETRÍA

 

La geometría es el arte de razonar bien sobre figuras mal hechas. Una figura o un diagrama siguen siendo en matemáticas una ayuda inestimable para captar fórmulas algebraicas o propiedades.

La idea no es nueva. Los antiguos egipcios las emplearon con éxito y  también los griegos. Quinientos años antes de nuestra era, los pitagóricos tenían sus números figurados (triángulares, cuadrados, pentagonales, etc.) en los que hacían confluir ciencia arte y religión.

Un diagrama no va a ser una demostración matemática pero viene bien encaminado hacia esa prueba.  Si empezamos observando la propiedad distributiva:  

b.a + c.a = (b + c). a     se puede presentar mediante rectángulos como vemos en la  figura 1. 

4. 5 + 4. 2 = 4. ( 5 + 2 ) hay que tener en cuenta que 4.5, 4.2  se pueden representar por la figura geométrica: rectángulo de lados 4 y 5 o 4 y 2  que en general sería a.b. 

Igualmente  a²  se representa geométricamente por un cuadrado de lado a, con lo que también, es muy intuitivo presentar de forma geométrica, el desarrollo de el cuadrado de la suma de un binomio :  

(a + b)² = a² + 2ab + b² como vemos en la figura 2, teniendo en cuenta  lo explicado anteriormente. 

Trabajar las desigualdades geométricamente también ayuda bastante a comprenderlas por ejemplo: 

4AB < (A + B)²  que se representa en la figura 3, y como podemos observar 4 rectángulos de medida 

A x B es menor que todo el cuadrado de la figura de lado A + B. Esta actividad se puede realizar con los alumnos de forma concreta.

 1  +  1/2 +  1/4 + 1/8 +1/16 +….= ?

Y como último ejemplo presentamos el desarrollo de una serie cuya representación geométrica se ve en la figura 4. Se dIvide un folio en dos partes que consideramos de medida 1, y partiendo dicha medida obtenemos un medio, un cuarto un octavo y así sucesivamente. La imagen  nos da intuitivamente el resultado suma que es 2 ya que la sucesión suma de los restantes sumando, menos el 1, tienden a 1 como claramente muestra el dibujo. 

 

Debemos como profesores  tener en cuenta que muchas expresiones o demostraciones son mucho más intuitivas cuando podemos hacer un dibujo geométrico, que ayude a comprender dicha expresión o demostración. 

La papelera de los matemáticos famosos seguro que estaban llenas de dibujos y esquemas. 

Construcciones geométricas ¡Fácil! doblando papel

Las actividades con papel son una gran ayuda en la educación geométrica, pues además de aprender los contenidos, no sólo conceptuales sino de procedimiento, también desarrolla la psicomotricidad, fundamentalmente la psicomotricidad fina, así como la percepción espacial.

En esta ocasión vamos a construir un pentágono  y un tetraedro regular.

1-      Pentágono regular

Vamos a  construir fácilmente un pentágono regular con papel, a diferencia de la dificultad que entraña su construcción con regla y compás.

Un pentágono regular se construye con una tira  de papel de anchura el lado del pentágono que queremos construir. Hacemos en ella, simplemente, un nudo y aplanamos la figura para que nos quede un pentágono plano, luego recortamos lo que sobra o lo doblamos hacía atrás y lo pegamos. Es importante que el nudo quede bien ajustado de forma que el alumno puede comprobar, midiendo los lados, que el pentágono  que nos sale es totalmente regular.

Después podemos estudiar las propiedades del pentágono regular, lados, medidas de ángulos, diagonales, trazar apotemas, etc. En la clase de artísticas pueden decorar el pentágono desarrollando su imaginación. 

2-      Construcción de un tetraedro regular de papel. 

 

Si buscamos en Internet veremos que los tetraedros que se construyen son a base de dibujar el desarrollo plano y mediante unas pestañas pegar las caras. Otra forma es mediante construcción de módulos que se unen convenientemente. Nuestra manera   tiene un proceso más sencillo basado en construir las caras equiláteras, mediante doblados, de forma que no hay que pegar ni construir pestañas solamente nos queda una arista abierta que se puede cerrar fácilmente.

Tenemos que partir de un sobre cerrado de carta, se dobla el sobre por el lado más largo obteniéndose un eje de simetría E.

1a1b

Según la figura 1b  hacemos una doblez que pasando por B lleve al vértice A a coincidir con dicho eje. Marcamos dicho punto C donde ha caído A, trazamos la perpendicular por C al eje E como vemos en la figura 2 a.

 2a2b

2c2d

Cortamos el sobre por dicha línea perpendicular y trazamos doblando CA y CB, marcando bien las dobleces sobre los dos lados (Observar que el triángulo ABC es equilátero). El lado donde está C está abierto por el corte hecho, luego podemos meter la mano y doblando por CA y CB (aristas), adecuadamente, obtenemos el tetraedro.

El proceso es más difícil de contar que de hacer como podrá comprobar el lector. Para que no se quede en una sola construcción plástica, el maestro puede realizar las siguientes actividades con los alumnos:

- Damos un nombre a la figura por ejemplo la llamamos “La tienda del Indio” y  Coloreamos la figura.

- Estudiamos el número de aristas, caras, vértices, ángulos diedros, ángulos triedros y comprobamos que es regular.

- Objetos de la vida real que tienen esa forma. Busca fotos en internet.

- ¿Cuánto papel se ha utilizado para construirla? Describe como calcularlo.

Sin fórmulas solo calculando área de un triángulo y multiplicando por cuatro. ¿Cuánto papel ha utilizado toda la clase para construirlos? Da la medida en  papeles A4.

- Dibuja dicha figura tridimensional en un papel de manera que todos sepan de qué figura se trata (introducción a la perspectiva).

-Vamos a dibujar el desarrollo plano y comprobar que si recortamos el desarrollo plano y lo montamos nos sale la misma figura.

Todas estas actividades le hacen profundizar en el conocimiento de esta figura de una manera activa y lúdica basada en la metodología de laboratorio.

   PARA LOS MÁS CURIOSOS

 En este enlace se muestra como se construye un pentágono  usando Geogebra  y siguiendo las pautas de la construcción con lápiz y papel.  Podemos ver su complejidad incluso para los alumnos de Secundaria.

 https://www.youtube.com/watch?v=6HyfnJHhyM4

En nuestro manual Geometría ¡Prohibido no tocar! encuentran más construcciones, como éstas, para desarrollar el currículo de Primaria elemental doblando papel.

(18) (PDF) Geometría prohibido no tocar (researchgate.net)

Ancestros y progresiones geométricas.

 

Si estudiamos la genealogía ascendente de una persona nacida hacia la mitad del siglo XX y comenzamos por dos padres, cuatro abuelos y ocho bisabuelos…Podemos observar que, matemáticamente hablando, la cantidad de ancestros sigue una progresión geométrica donde cada término, en nuestro caso miembros de una generación, se multiplica por 2 llamada la razón de la progresión.

Así  la cantidad de nuestros antepasados sería:

1-      Tú  

2-      Padres: 2

3-       Abuelos: 4 ósea 2x2

4-       Bisabuelos: 8 ósea 4 x 2

5-      Tatarabuelos: 16 ósea 8 por 2

6-      Trastatarabuelos: 32

7-       Pentabuelos: 64

8-       Hexabuelos: 128

9-       Heptabuelos: 256

10-   Octabuelos: 512

11-  Eneabuelos: 1024

12-   Decabuelos: 2048

En un total de 13 términos de la progresión o, en este caso, generaciones que serían 4094 Ancestros, todo esto en aproximadamente 300 años antes de que tú o yo naciéramos.

Pero si seguimos multiplicando, saldría que hace 40 generaciones tendríamos 1.099.511.627.776 ancestros, todos viviendo a la vez en el año 405 antes de Cristo. Esto es imposible pues nunca hubo tantos humanos.

De nuestra era, los expertos dicen que en el año cero había un total aproximado de 100 millones de personas en el mundo, niño arriba, niño abajo. Comparado con ahora, el mundo estaba vacío.

 Si desde que nuestra especie apareció en escena 200.000 años atrás han existido unas 7.000 generaciones que conducen hasta la nuestra, ¿dónde están todos los ancestros perdidos? La respuesta es que en todas las épocas, se cruzaron unos con otros. Es decir, todos tenemos ancenstros comunes, una vieja tataratataratataraabuela común.

A lo largo de la historia ha sido más que popular la endogamia y compartimos muchos de nuestros ancestros. Por eso, todos los seres humanos del planeta tenemos al menos un ancestro común, una persona que vivió hace cerca de 3.000 años.

Como hemos visto teóricamente la 7ª generación está compuesta por 64 personas, la 10ª generación por 512 personas y la 15ª por 16.384 personas. Sin embargo, llegados ya a este punto es imposible que no se hayan producido en la familia uniones entre personas con algún vínculo de consanguinidad, lo que reduce el número real de individuos que componen esa generación. Esto se explica perfectamente por las uniones entre parientes con antepasados comunes, la mayoría de veces en un grado tan lejano que difícilmente se puede saber, sin un estudio genealógico, si eran parientes o no.

Veamos un ejemplo:

La segunda generación de ascendentes de un matrimonio está formado en teoría por ocho personas (los cuatro abuelos de cada cónyuge).

Pero si se diera el caso que los cónyuges fueran primos hermanos entre sí y tuvieran por tanto dos abuelos comunes, la cifra de antepasados en la segunda generación de ascendentes se limitaría a seis y como consecuencia, esta alteración afectaría también a las generaciones más antiguas, además de manera exponencial.

Por descontado que no es demasiado habitual el matrimonio entre primos hermanos, pero tampoco es algo extraño y mucho menos lo son los matrimonios entre primos segundos o terceros, sobretodo en pueblos pequeños o zonas aisladas geográficamente.

Como ejemplo, Carlos Habsburgo, el rey Carlos II de España (1661-1700), era tan endogámico que solo tenía 29 antepasados ​​y, como resultado, sufría de grandes discapacidades físicas.

 Así pues las investigaciones genealógicas nos demuestran que estas circunstancias rebajan de manera considerable el número de ancestros reales de una persona.

Y tocante a las Matemáticas, éste es un ejemplo bastante motivador en el estudio de las progresiones geométricas y su utilidad.

 

CALCULADORAS EN EL AULA DE PRIMARIA

 

A veces el profesorado, atraído con el uso de la Tablet,  no utiliza en clase un recurso tan importante como es la calculadora, para realizar tareas del aula que introduzcan al alumno en la resolución de problemas y el aprendizaje,  mediante la comprensión, la investigación, y un aprendizaje más acorde con los nuevos métodos de enseñanza. Vamos a desarrollar en esta entrega una serie de actividades que pueden ser implementadas en los primeros cursos de Primaria.

 Usaremos calculadora elemental, es decir que solo tiene las operaciones básicas y una memoria. Hay unos conocimientos previos sobre la calculadora que el alumno debe tener y que planteamos en forma de actividades:

- Descubre en la calculadora las teclas de acumular o restar memoria

(Normalmente son las teclas M+ y M- ).

- Descubre las  teclas que devuelven a la pantalla el contenido de la memoria

 (MR (memory recall) o bien,  RM  o RCL )

- Descubre las teclas que borran la memoria (suelen ser  CM o  MC ). Algunas calculadoras tienen una sola tecla denotada como MRC  que sirve para llamar y borrar la memoria. Suele funcionar con una pulsación para presentar la memoria y con dos pulsaciones para borrar la memoria.

- Construye una tabla resumen de cómo funcionan las teclas de memoria de tu calculadora.

Para no complicar la actividad, sería deseable que todos los alumnos tengan el mismo modelo de calculadora.

 1- Actividades de teclas estropeadas. Un tipo de actividades muy motivantes para los alumnos y que refuerzan la importancia que tiene la memoria de la calculadora son las actividades que denominamos de teclas estropeadas. Por ejemplo:

- Hacer una suma, una resta, una multiplicación, sin usar la respectiva tecla de la operación.

Un ejemplo  para la suma sería:

- Calcula 273+129 sin usar la tecla de sumar.

Una solución sería  273M+129M+ = 402. También se puede hacer sin usar la memoria:

0 – 273-129 = -402  si tiene tecla +/- se cambia el signo.

Otro ejemplo: -Calcular 1000/ 43 usando solo la multiplicación.

El método es aproximarse a 1000 mediante productos de 43. Para ello, buscamos primero la decena que en este caso es 2, pues  43 x 20= 860  y el siguiente 30 se pasa de 1000.

Y ahora la unidad sabiendo que la decena es 2.

 43 x 2,  43 x 22,  43 x 23 = 989 y 43 x 24= 1032 luego el cociente es 23 y sobran 11.

Más problemas:

- Resolver 2348 x 7 sin usar la tecla de multiplicar.

Se puede sumar 7 veces con el factor constante o con la memoria. Pero y si el segundo factor es más grande. Por ejemplo: 

 - Resolver  1234 x 587 sin usar la tecla de multiplicar.

En este caso, se debe descomponer el primer factor: (1000 +200+30+4) x  587, ahora tendría el alumno que realizar las siguientes operaciones mediante cálculo mental y la calculadora:

587000 M+

587 dos veces y nos da  1174 añadimos  00 e introducimos en memoria  M+

587 tres veces y nos da  1761 añadimos un  0 e introducimos en  memoria M+

 587 cuatro veces (dos dobles) y nos da  2348 que introducimos en memoria  M+

Mediante la tecla de presentación de la memoria, que suele ser MR, obtenemos el resultado final que es  724358.

El manejo continuo de la calculadora hace que el alumno aumente sus estrategias de cálculo, por ejemplo, el siguiente producto lo resolvemos de otra manera.

- Calcular 30 x 20 sin usar la tecla de multiplicar

 Entonces calculamos el inverso de 20 y lo introducimos en memoria para después dividir 30 por el resultado de la memoria, es decir: 

20/=M+                      30/MR =600

Este método está basado en que A X B = A //B

Otras Actividades.

- Hacer una división usando sólo la tecla de sumar o sólo la de restar o sólo la de multiplicar.

- Hacer una división usando sólo la tecla de sumar o sólo la de restar o sólo la de multiplicar.

- Suponemos que en una calculadora no científica, las teclas 2, 4, 5, 6, 7 y 8  no funcionan (¡vaya una calculadora!), es decir, sólo funcionan las teclas 1,3, 9 y  0. Calcula el producto 2456 x 78. Este último  problema es típico de afianzamiento del valor posicional de los números, además es abierto pues admite varias maneras diferentes de resolución.  

- Comenta como futuro profesor la utilidad de estas actividades de teclas estropeadas.    

2- Calcular los divisores de un número 

Mostramos lo motivante que puede ser calcular los divisores de un número con la calculadora básica. Vamos a hacerlo con un ejemplo.

- Calcular lo divisores del número 18634.

Los pasos a seguir serían:

- Guardamos en memoria 18634 M+ y vamos dividiendo por los primos correspondientes.

- Dividimos por 2 y nos da 9317, como nos da exacto ya sabemos que es un divisor por lo que borramos la memoria con MC y guardamos 9317 en memoria M+ ,

- Buscamos los divisores de este número mediante el mismo proceso.

- Dividimos por 3. Como el resultado no es exacto, mostramos en pantalla otra vez el número mediante MR y lo mismo nos ocurre para 5. Dividimos por 7 y el resultado es exacto otra vez y nos da 1331, borramos memoria con MC y guardamos 1331 y seguimos dividiendo hasta llegar a uno.   

El proceso es sencillo  y recursivo el resultado es 18634 = 2. 7.11.11.11

El alumno puede ir apuntando en una tabla como la que se muestra los resultados.

18634	2
9317	7
1331	11
121	11
11	11
1

 

 Realizar esta actividad con los alumnos es mucho más motivante que  hacerlo con lápiz y papel donde  el objetivo principal que el alumno comprenda la descomposición de un número en sus primos correspondientes se puede diluir mediante el ejercicio tedioso y cansado de realizar divisiones.

Podemos observar, como en este caso, que el alumno puede descubrir divisores que normalmente con el cálculo de lápiz y papel le sería mucho más complicado de encontrar pues normalmente las actividades que se proponen no incluyen divisores más allá del 7. Buscar divisores mayores de 7 como por ejemplo 11, sería para el alumno un proceso largo y cansado que le puede llevar al aburrimiento.

Por ejemplo proponemos al lector que resuelva los siguientes  ejercicios.

- Calcular los divisores de 9025, 2607, 24531.

Esta serie de actividades nos muestra cómo de valida es la calculadora en la actividad matemática pues:

- Nos permite acercar la matemática a la realidad, facilitando el cálculo de operaciones que se presentan en medidas u otras actividades de la vida cotidiana.

- Permite que el alumno investigue y  obtenga resultados en problemas de indagación como  el comportamiento de algunos números especiales y las operaciones. La calculadora permite de forma inmediata realizar ensayos que producen errores o aciertos en los cálculos, experimentación que sería muy costosa de realizar sin ella.

- La calculadora es, en sí misma, una importante fuente de problemas, no solo de investigación, sino de estimaciones, de cálculo mental, de porcentajes, etc.

-  La calculadora obliga al alumno a adoptar un lenguaje que coincide con el utilizado en la aritmética y que es externo, estructurado y estructurador.

-  Es la herramienta idónea para los cálculos largos y complejos, ahora bien, construyendo el mismo usuario la estructura de los cálculos, lo que hace que el alumno reflexione e interiorice la técnica de la operación correspondiente

-El alumno debe considerar, también, que la calculadora no siempre es el medio más rápido. El cálculo mental supera a veces a la calculadora en cálculos como 22 x 1000 ó 25 x 8. El profesor debe crear en los alumnos hábitos para que no realice estas operaciones con la calculadora aunque la tenga delante. 

Por tanto, la calculadora es una herramienta potente como máquina de cálculo  y como herramienta didáctica para el aprendizaje de las matemáticas. Sería un gran error  que el profesor de Primaria no la utilizara en sus actividades de aula, bajo las dos posibilidades.

PARA LOS MÁS CURIOSOS

En este artículo de nuestro grupo puede descubrir alguna otras actividades con calculadoras:

(14) (PDF) MI CALCULADORA NO FUNCIONA BIEN (researchgate.net)

     En este manual editado en Perú también podemos encontrar actividades de calculadoras.

 Barrantes, M., Zapata, M. y Barrantes, M.C. (2022). Didáctica de los números y las operaciones en la Educación Primaria. Ed. Universidad de Piura. Piura (Perú).