LOS NÚMEROS Y LA GEOMETRÍA

 

La geometría es el arte de razonar bien sobre figuras mal hechas. Una figura o un diagrama siguen siendo en matemáticas una ayuda inestimable para captar fórmulas algebraicas o propiedades.

La idea no es nueva. Los antiguos egipcios las emplearon con éxito y  también los griegos. Quinientos años antes de nuestra era, los pitagóricos tenían sus números figurados (triángulares, cuadrados, pentagonales, etc.) en los que hacían confluir ciencia arte y religión.

Un diagrama no va a ser una demostración matemática pero viene bien encaminado hacia esa prueba.  Si empezamos observando la propiedad distributiva:  

b.a + c.a = (b + c). a     se puede presentar mediante rectángulos como vemos en la  figura 1. 

4. 5 + 4. 2 = 4. ( 5 + 2 ) hay que tener en cuenta que 4.5, 4.2  se pueden representar por la figura geométrica: rectángulo de lados 4 y 5 o 4 y 2  que en general sería a.b. 

Igualmente  a²  se representa geométricamente por un cuadrado de lado a, con lo que también, es muy intuitivo presentar de forma geométrica, el desarrollo de el cuadrado de la suma de un binomio :  

(a + b)² = a² + 2ab + b² como vemos en la figura 2, teniendo en cuenta  lo explicado anteriormente. 

Trabajar las desigualdades geométricamente también ayuda bastante a comprenderlas por ejemplo: 

4AB < (A + B)²  que se representa en la figura 3, y como podemos observar 4 rectángulos de medida 

A x B es menor que todo el cuadrado de la figura de lado A + B. Esta actividad se puede realizar con los alumnos de forma concreta.

 1  +  1/2 +  1/4 + 1/8 +1/16 +….= ?

Y como último ejemplo presentamos el desarrollo de una serie cuya representación geométrica se ve en la figura 4. Se dIvide un folio en dos partes que consideramos de medida 1, y partiendo dicha medida obtenemos un medio, un cuarto un octavo y así sucesivamente. La imagen  nos da intuitivamente el resultado suma que es 2 ya que la sucesión suma de los restantes sumando, menos el 1, tienden a 1 como claramente muestra el dibujo. 

 

Debemos como profesores  tener en cuenta que muchas expresiones o demostraciones son mucho más intuitivas cuando podemos hacer un dibujo geométrico, que ayude a comprender dicha expresión o demostración. 

La papelera de los matemáticos famosos seguro que estaban llenas de dibujos y esquemas.