Llega la Navidad, el Árbol pitagórico

  En estas épocas navideñas, con sabor a fiesta, vamos a hablar de los árboles pitagóricos que no son más que fractales usando el gráfico de  la demostración  del Teorema de Pitágoras.

Partimos de que un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o aparentemente irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus, que significa quebrado o fracturado.

En otras palabras, en nuestro caso consiste en coger el elemento básico que es el gráfico de la figura anterior y vamos convenientemente enlazándolo con dicho mismo gráfico pero reducido en diferentes tamaños. 

Al hacer muchas interacciones donde las figuras son cada vez más pequeñas  podemos observar las figuras complejas que se forman. Para estas construcciones son imprescindibles los programas adecuados de informática, aunque como veremos también, se pueden hacer manualmente.  

El primer Árbol de Pitágoras que encontramos es un plano fractal  inventado por el profesor Albert E. Bosman en 1942 y es el que mostramos a continuación.

Como ya hemos dicho, a partir de este modelo y usando herramientas informáticas como GeoGebra, el alumno puede construir su propio fractal. 

El que mostramos, abajo, es un árbol pitagórico fractal de cartulina elaborado por los  alumnos  de 2º y 3er ciclo de primaria (8-12 años) en el CEIP San Fernando de Almería.

 En la página de Amadeo Artacho podemos encontrar estos árboles en tres dimensiones que mostramos, y las explicaciones de su construcción. El enlace es:

El Árbol de Pitágoras – MatematicasCercanas

PARA LOS MÁS CURIOSOS

Con la referencia Fractal Árbol Pitagórico u otras similares encontramos una gran cantidad de imágenes y videos referentes a estos fractales. Dejamos dos ejemplos: el primero nos presenta al Fractalien pitagórico.

Fractalien 👽 - Bing video

En este video construimos el fractal de Pitágoras con Geogebra

Bing Vídeos

Cálculo mental en el aula de antaño.

Nikolai Bogdanov-Belsky (1868-1945) era un pedagogo, escultor y arquitecto ruso, muy conocido en su época, que en su juventud fue alumno del profesor Serguéi Rachinski (1833- 1902) que desarrolló un método de cálculo mental para sus alumnos.

 En  1895 dicho pintor  retrató a a Rachinski y sus alumnos en un cuadro titulado: Cálculo mental en  la Escuela Pública de S. A. Rachinsky.

El cuadro representa una escuela rural con paredes de madera de finales del siglo XIX, durante una clase de aritmética, en el momento de la posible o probable resolución de un problema. El maestro Serguéi Rachinski retratado en el cuadro, era botánico y matemático, profesor de la Universidad Estatal de Moscú. Bajo la influencia del movimiento populista conocido como Naródnik, Rachinski regresó a su pueblo natal de Tatevo, en la gobernación de Tver, en 1872 y allí estableció una escuela dormitorio para niños campesinos. Allí desarrolló un método único de enseñanza del cálculo mental, inculcando a los niños los principios fundamentales del pensamiento matemático.

El pintor ruso ​ Bogdanov-Belski  supo captar en su pintura la atmósfera creativa que allí reinaba. 

El profesor ha planteado a los alumnos una operación de cálculo mental que aparece en la pizarra. Todos los estudiantes están activando sus mentes para calcular el resultado final.  La operación propuesta sería impensable en nuestro sistema actual y menos como cálculo mental para unos alumnos de unos 12 años y, sin embargo, parece una situación cotidiana a la que están acostumbrados los alumnos.

La operación es pues  (10²+11²+12²+13²+14²)/365

 

¿Podemos razonar por qué se planteaban?

 

Lo primero que tenemos que tener en cuenta es que era tradicional en las escuelas  rusas  memorizar la tabla de los primeros cuadrados:

 

10² = 100 , 11²= 121, 12² = 144, 13² = 169, 14² = 196, ...

Claro, pero así y todo, seguimos pensando que hacer cinco sumando y luego dividir es dificultoso.

Vamos a penetrar en el cuadro y aceptar el reto ¿os parece bien?.

Lo primero que nos planteamos es ¿por qué 365 en el cociente? Mosquea el número.

 

Vamos moviendo la memoria y sumamos los tres primeros cuadrados. 

 100 + 121 = 221,    221+144=365 Los tres primeros nos dan el divisor, dejamos este dato aparcado en nuestra mente, por ser un buen dato,  y sumandos los otros dos.

 

 Sumamos 169+196=365 otra vez nos sale 365 luego tenemos dos veces 365,  por tanto el resultado de la división ya es bien fácil, pues tenemos dos veces 365 que al dividir por 365  nos da 2.

Este cuadro es una lección preciosa del cálculo mental. El profesor en actitud tranquila y relajada deja a los alumnos que descubran este método que él sabe perfectamente. Éste se mantiene en un lateral, expectante, dando todo el protagonismo a los alumnos que absortos buscan el proceso de resolución. 

El cuadro nos muestra que en el aprendizaje la memorización de las tablas y la comprensión de las operaciones matemáticas se complementan y se enriquecen mutuamente. La pretensión de un aprendizaje sin memorización ninguna es una manifestación más de la pretensión de “aprender sin estudiar” de la quimera de un aprendizaje sin esfuerzo.

PARA LOS MÁS CURIOSOS 

Nilkolav Bogdanov- Blesky. Maestro del realismo ruso,  realizó pinturas impresionistas de paisajes y obras realistas donde retrataba especialmente a niños y adultos en las escuelas. En este enlace te puedes deleitar con muchos de sus cuadros. 

Nikolay Bogdanov-Belsky: Maestro del realismo ruso – Trianarts

  

 

UNA DE MOSAICOS

Una  forma de realizar arte es mediante piezas encajables, que es lo que se denomina un mosaico. El mosaico primitivo se construye con guijarros y era utilizado por los griegos para decorar las paredes o los suelos de sus estancias y sus patios. 

                            mosaico griego

Estos mosaicos representaban escenas cotidianas como la caza o bien algún hecho  importante de guerra. En el mundo romano se sigue utilizando los mosaicos con el mismo fin, pero ahora el mosaico es cuadrado y se denomina tesela.  En los mosaicos podemos encontrar diferentes diseños geométricos donde además de aparecer figuras geométricas se juega con las simetrías, traslaciones o giros. En esta etapa, las piezas se dejaban más o menos separadas para poder formar motivos curvos como  círculos como podemos ver en los mosaicos romanos localizados en Mérida (Extremadura) o en el MAN (Museo Arqueológico Nacional de España) y en otros muchos museos que tengan una sección dedicada a Roma.   

  

Museo Romano de Mérida 

                            MAN Museo Arqueológico Nacional en Madrid.

Posteriormente, la tesela pasa a transformase en formas poligonales clásicas como son rectángulos, trapecios isósceles, pero con la idea de que las piezas cubran todo el suelo, es decir, compacten de forma que la uniones son los lados de los polígonos. En la Mezquita de Córdoba encontramos  mosaicos califales del siglo X. 

                                    Mosaico de la Mezquita de Córdoba.

De aquí se pasa a piezas recortadas  de forma que puedan seguir encajando. Este arte tiene su máximo esplendor en España en el siglo XIV y los alicatados de La Alhambra son una buena muestra de ello.

                        Alhambra de Granada.

El artista MC. Escher (1898-1972),  conocedor del arte islámico, basó parte de su obra en las ideas recogidas de los alicatados junto con nuevas ideas geométricas que estudia convenientemente. Así desarrolla toda una serie de estudios sobre división regular del plano con figuras humanas o animales.

De tal forma, nos resulta interesante como profesores hacer un estudio de las decoraciones y mosaicos artísticos en nuestras clases, ya que nos da oportunidad para tratar  temas, dentro de la Geometría, como son las formas geométricas y  transformaciones geométricas, que podemos observar en los distintos mosaicos griegos, romanos o árabes de nuestra ciudad o bien mediante fotografías, obtenidas en internet.

Es interesante también mostrar a los alumnos como ha ido evolucionando los mosaicos hasta llegar a los  de Escher, excelente matemático y artista, como podemos ver en las fotografías mostradas, y realizar actividades como:

Descubre figuras geométricas que conozcas en mosaicos romanos.

A partir de las figuras de Escher intenta construir alguna, observando que las figuras tienen que cubrir todo el plano como las que vemos aquí.

En nuestro manual Geometría ¡prohibido no tocar! , en el Tema 3, encontramos actividades de cómo trabajar con los alumnos los mosaicos y otros recursos que nos relacionan la Geometría con el Arte.

(PDF) Geometría prohibido no tocar   

PARA LOS MÁS CURIOSOS

Todo sobre Escher y su obra.

M.C. Escher - Historia Arte (HA!)

Bing Vídeos

Museo Nacional de Arte Romano de Mérida

Inicio - Museo Nacional de Arte Romano | Ministerio de Cultura

Museo Arqueológico Nacional en Madrid

MAN - Museo Arqueológico Nacional - | Ministerio de Cultura

Reloj de Sol romano de plaza pública.

  En el museo MAN (Museo Arqueólogico Naciona) de Madrid, en la sección Hispania Romana encontramos el Reloj solar de Baelo Claudia (Bolonia, Cádiz) que es datado en el siglo I d.C. y construido en mármol.

Este reloj de sol estaba situado en el foro, o en un lugar muy cercano a él, de la ciudad de Baelo Claudia. El reloj estaría colocado en el centro de la ciudad para que todos pudieran saber la hora y organizar las actividades. Solo había que mirar en el interior de la semiesfera y observar donde cae el rayo de sol que entra por el orificio superior. 

 Este reloj está grabado en el interior de un huso esférico de 52° de amplitud vaciado en un prisma recto-triangular, siguiendo el modelo que los tratados de Vitruvio atribuyen al caldeo Beroso. 

En el grabado, que es una proyección cónica de la bóveda celeste sobre una superficie esférica, aparecen una serie de líneas: 3 arcos de circunferencia paralelos al borde inferior del huso, que corresponden a la proyección de los solsticios y equinoccios; y 11 líneas que dividen el huso en los segmentos correspondientes a las 12 horas.

Además, se pueden apreciar cuatro orificios en las intersecciones de las líneas horarias tercera y novena con los arcos del equinoccio y los solsticios, y que probablemente servirían para sustentar el elemento que proyectaría la sombra sobre el reloj y que permitiría leer la hora. 

La medición de la hora en la antigua Roma era muy diferente a la actual: al depender del sol para ello, la duración de las horas variaba según la latitud del lugar donde se midiera –por lo que era diferente en cada territorio del Imperio- y la estación del año en la que se estuviera –por ejemplo, en verano las horas de luz eran más que en invierno. Por ello, no podía existir una medida común en todo el Imperio sobre este particular.

La pieza fue hallada en la escena del Teatro Romano de Mérida durante las excavaciones realizadas por José Ramón Mélida en torno a 1915. El reloj apareció incompleto, pero en un fragmento suficientemente grande como para poder reconstruir la totalidad de la pieza con un pequeño margen de error. Se trata de una pieza arqueológica muy interesante, no solo por su función, sino también porque nos permite ahondar sobre el conocimiento científico de la sociedad que lo elaboró y utilizó.

Este reloj de sol, es especial porque normalmente los relojes que se presentan a los alumnos son relojes planos en fachadas de iglesias o monumentos.

El MAN es un museo interesante por todas las aportaciones matemáticas  que nos puede hacer desde las distintas secciones que abarcan desde la Prehistoria hasta la Edad Moderna y son: Prehistoria, Protohistoria, Hispania Romana, Edad Media, Edad Moderna, Egipto, Nubia y Oriente Próximo, Grecia y Numismática.

PARA LOS MÁS CURIOSOS

Si quieres saber más sobre los equinoccios y solsticios

Equinoccios y solsticios | Asociación Amigos de los Relojes de Sol (AARS)

Museo Arqueólogico Nacional de Madrid.

MAN - Museo Arqueológico Nacional - | Ministerio de Cultura

En nuestro manual Didáctica de la Medida, también encuentra todo un tema dedicado a la medida del tiempo. 

(PDF) Didáctica de la medida en Primaria.